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001867
2023-12-22

Consideração da teoria de segunda ordem numa análise dinâmica no RFEM 6 e no RSTAB 9

Para a verificação do estado limite último, a EN 1998-1, secção 2.2.2 e 4.4.2.2, requer que o cálculo seja efetuado considerando a teoria de segunda ordem (efeito P-Δ). Este efeito pode não ser considerado apenas se o coeficiente de sensibilidade do deslocamento entre os pisos θ for inferior a 0,1.

Coeficiente de sensibilidade θ

O coeficiente de sensibilidade θ é definido da seguinte forma [1]:


Os efeitos de segunda ordem podem ser considerados aproximadamente por um fator igual a 1/(1 - θ), se 0,1 < θ ≤ 0,2.
Para θ > 0,2, é necessário considerar a matriz de rigidez geométrica ao calcular os valores próprios e a análise de espectro de resposta multimodal.

O fator de sensibilidade também pode ser calculado no RFEM 6 e no RSTAB 9. Para obter informação mais detalhada, consulte o seguinte artigo técnico: KB 001866, "Determinação do coeficiente de sensibilidade para avaliar a necessidade de uma teoria de segunda ordem para análises dinâmicas" .

Matriz de rigidez geométrica

Para as análises dinâmicas, os cálculos iterativos para a determinação não linear da teoria de segunda ordem não são adequados. O problema pode ser linearizado e basta utilizar a matriz de rigidez geométrica com base nas cargas axiais para considerar a teoria de segunda ordem. Para isso, assume-se que as cargas verticais não se alteram devido aos efeitos horizontais e que as deformações são pequenas comparativamente às dimensões do edifício [2]. As cargas a serem consideradas devem corresponder às cargas para as situações de dimensionamenot sísmico de acordo com a EN 1990, secção 6.4.3.4 [3]:


As forças de tração axiais aumentam a rigidez, por exemplo, num cabo pré-esforçado. As forças de compressão reduzem a rigidez e podem levar a uma singularidade na matriz de rigidez. A rigidez geométrica "Kg" não depende das propriedades mecânicas da estrutura, mas apenas do comprimento da barra L e da força axial N. Para ilustrar o problema de base, é apresentado um exemplo simples de uma consola na Figura 01. Os pontos de massa individuais da consola representam os pisos individuais do edifício. O edifício é sujeito a uma análise dinâmica tendo em conta a teoria de segunda ordem. As forças axiais Ni nos pisos individuais i = 1...n resultam das forças verticais na situação de dimensionamento sísmica. A altura do piso é definida por hi.

A matriz de rigidez geométrica "Kg" pode ser derivada das condições de equilíbrio estático:

Por razões de simplificação, apenas os graus de liberdade dos deslocamentos horizontais são aqui apresentados. A derivação apresentada é baseada na abordagem do momento de desvio devido à aplicação do deslocamento linear. Esta é uma simplificação para o elemento de flexão e uma suposição exata para o elemento de treliça. Pode ser obtida uma determinação mais precisa da matriz de rigidez geométrica para vigas de flexão através da abordagem do deslocamento cúbico ou da solução analítica da equação diferencial da linha de flexão. Mais informação e derivações são fornecidas por Werkle [4] A matriz de rigidez geométrica "Kg" é adicionada à matriz de rigidez "K" e assim é obtida a matriz de rigidez modificada "Kmod":

Kmod = K + Kg

No caso de forças axiais de compressão, isso leva a uma redução na rigidez.

Beispiel: Eigenfrequenzen und multi-modales Antwortspektrenverfahren unter Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung

A seguir é demonstrado como a matriz de rigidez geométrica pode ser considerada no RFEM 6 e no RSTAB 9. A viga em consola apresentada na Figura 01 é utilizada como exemplo. A consola é constituída por cinco pontos de massa concentrados. Aqui, 4000 kg atuam na direção global X em cada caso.

A secção é IPE 300 feita a partir do material S 235 com Iy = 8356 ∙ 10-5 m4 e E = 2,1 ∙ 1011 N/m2. Para poder considerar a matriz de rigidez geométrica na análise dinâmica, é primeiro definida uma situação de dimensionamento da combinação sísmica/de massas no programa principal do RFEM. Assim, a combinação de cargas (CO1) utilizada posteriormente é criada automaticamente pelas combinações integradas no programa.

O módulo Análise modal permite determinar as formas próprias e as massas modais efetivas de uma estrutura. Neste caso, os estados iniciais podem ser selecionados para considerar as modificações de rigidez com base nos casos de carga e nas combinações de carga.
São definidos dois casos de carga da análise modal. No CC4, o CO1 é importado para considerar a matriz de rigidez geométrica e, portanto, a teoria de segunda ordem. Para comparação, é definido o CC3 que não inclui quaisquer modificações de rigidez.

A tabela seguinte mostra as frequências naturais determinadas f [Hz], os períodos naturais T [sec] e os valores de aceleração Sa [m/s2 ] com base no espectro de resposta, com e sem a matriz de rigidez geométrica "Kg" resultante da forças axiais de CO1.

A análise do espectro de resposta multimodal utiliza frequências naturais para determinar os valores de aceleração a partir do espectro de resposta definido. Com base nestes valores de aceleração, são determinados os esforços internos e os momentos da análise do espectro de resposta. A representação gráfica de um espectro de resposta definido pelo utilizador é apresentada na Figura 06 e os valores de aceleração Sa [m/s2] são determinados a partir do espectro de resposta para cada valor próprio estão listados na tabela acima.

De forma a garantir a atribuição correta das frequências modificadas, a análise modal desejada deve ser utilizada como base ao criar um caso de carga do espectro de resposta.

No caso de forças axiais de compressão, a consideração da matriz de rigidez geométrica leva à redução da frequência natural e pode causar valores de aceleração Sa mais baixos, como no nosso exemplo. Apenas uma modificação das frequências naturais não é suficiente para considerar a teoria de segunda ordem. Na verdade, isto pode na verdade levar a resultados inferiores, o que pode estar incorreto. É muito importante que a matriz de rigidez modificada também seja utilizada para a determinação das forças internas e das deformações. Na análise do espectro de resposta, a rigidez modificada da análise modal é utilizada automaticamente para determinar os resultados da análise do espectro de resposta. As deformações, os esforços internos, momentos e as reações de apoio determinadas na análise de espectro de resposta, com e sem a matriz de rigidez geométrica, são apresentados na Figura 08.

A consideração da matriz de rigidez geométrica leva a deformações e esforços internos maiores. No entanto, as cargas de apoio resultantes são ligeiramente menores quando consideramos a matriz de rigidez geométrica.


Autor

O Eng. Eichnerr é responsável pelo desenvolvimento de produtos para análises dinâmicas e fornece apoio técnico aos nossos clientes.

Ligações
Referências
  1. Eurocode 8: Dimensionamento de estruturas para resistência a sismos – Parte 1: Grundlagen, Erdbebeneinwirkungen und Regeln für Hochbauten; EN 1998-1:2004/A1:2013
  2. Eduardo L. Wilson. Análise estática e dinâmica tridimensional de estruturas. Computador e Estruturas, Inc. Berkeley, EUA.
  3. Eurocode 0: Grundlagen der Tragwerksplanung; DIN EN 1990:2010-12
  4. Werkle, H.: Finite Elemente in der Baustatik, 3. Auflage. Wiesbaden: Vieweg & Sohn, 2008