Coefficient de sensibilité θ
Le coefficient de sensibilité θ est défini comme suit [1] :
| θ | Coefficient de la sensibilité du déplacement entre les étages |
| Ptot | Charge de gravité totale sur et au-dessus de l'étage considéré dans la situation de calcul sismique |
| dr | le déplacement entre les étages de calcul déterminé comme la différence entre les déplacements latéraux moyensds entre le haut et le bas de l'étage concerné; dans ce cas, les déplacements sont déterminés à l'aide du spectre de réponse de calcul linéaire avec q = 1,0 |
| Vtot | Effort tranchant sismique total déterminé à l'aide du spectre de réponse de calcul linéaire |
| h | Hauteur d'étage |
Les effets de l’analyse du second ordre peuvent être pris en compte approximativement par un facteur égal à 1/(1 - θ), si 0,1 < θ ≤ 0,2.
Pour θ > 0,2, la matrice de rigidité géométrique doit être considérée lors du calcul des valeurs propres et de l’analyse du spectre de réponse multimodal.
Le facteur de sensibilité peut également être calculé dans RFEM 6 et RSTAB 9. En savoir plus : ko | Détermination du coefficient de sensibilité pour étudier le besoin de théorie du second ordre pour les analyses dynamiques .
Matrice de rigidité géométrique
Les calculs itératifs pour la détermination non linéaire de la théorie du second ordre ne sont pas appropriés pour les analyses dynamiques. Le problème peut être linéarisé et il suffit d’utiliser la matrice de rigidité géométrique basée sur les charges axiales pour considérer la théorie du second ordre. Pour cela, on suppose que les charges verticales ne changent pas à cause des effets horizontaux et que les déformations sont limitées par rapport aux dimensions du bâtiment [2]. Les charges à considérer doivent correspondre à celles des situations de projet sismiques selon l’EN 1990, 6.4.3.4 [3] :
Les efforts de traction axiaux augmentent par exemple la rigidité d’un câble précontraint. Les efforts de compression réduisent la rigidité et peuvent entraîner une singularité dans la matrice de rigidité. La rigidité géométrique Kg ne dépend pas des propriétés mécaniques de la structure, mais uniquement de la longueur L et de l’effort normal N de la barre. Pour illustrer ce problème, un exemple de porte-à-faux est affiché sur la Figure 01. Les points de masse individuels du porte-à-faux représentent les différents étages d’un bâtiment. Le bâtiment est soumis à une analyse dynamique selon la théorie du second ordre. Les efforts normaux Ni sur les différents étages i = 1...n, résultent des efforts verticaux dans la situation de projet sismique. La hauteur de l'étage est définie par hi.
La matrice de rigidité géométrique Kg peut être déduite des conditions d’équilibre statique :
Par souci de simplification, seuls les degrés de liberté des déplacements horizontaux sont indiqués ici. La dérivation indiquée s’appuie sur l’approche du moment de basculement basée sur une approche linéaire des déplacements. Il s’agit d’une simplification de l’élément en flexion, d’une hypothèse exacte pour l’élément en treillis. La matrice de rigidité géométrique pour les poutres en flexion peut être déterminée avec plus de précision à l’aide d’une approche cubique des déplacements ou de la solution analytique de l’équation différentielle de la ligne en flexion. Plus d’informations sont fournies par Werle [4]. La matrice de rigidité géométrique Kg est ajoutée à la matrice de rigidité K, ce qui permet d’obtenir la matrice de rigidité modifiée Kmod :
Kmod = K + Kg
Dans le cas d’efforts normaux de compression, la rigidité est donc réduite.
Exemple : Analyse des fréquences propres et du spectre de réponse multimodal selon la théorie du second ordre
Voici comment la matrice de rigidité géométrique peut être considérée dans RFEM 6 et RSTAB 9. Le porte-à-faux représenté sur la Figure 01 est utilisé comme exemple. Le porte-à-faux est composé de cinq points de masse concentrée. Ici, 4 000 kg agissent dans la direction X globale dans chaque cas.
La section est un IPE 300 en matériau S 235 avec Iy = 8,356 ∙10-5 m4 et E = 2,1 ∙ 1011 N/m2. Pour pouvoir considérer la matrice de rigidité géométrique dans l’analyse dynamique, une situation de projet de la combinaison sismique/de masse est d’abord définie dans le logiciel principal RFEM. La combinaison de charges (CO1) utilisée par la suite est créée automatiquement par la combinatoire intégrée dans le logiciel.
Le module complémentaire Analyse modale vous permet de déterminer les modes propres et les masses modales efficaces d’une structure. Dans ce cas, les états initiaux peuvent être sélectionnés pour considérer les modifications de rigidité en fonction des cas de charge et des combinaisons de charges.
Deux cas de charge d’analyse modale sont définis. Dans le CC4, la CO1 est importé afin de considérer la matrice de rigidité géométrique et donc la théorie du second ordre. À des fins de comparaison, le CC3 est défini, celui-ci n’incluant aucune modification de rigidité.
Le tableau suivant affiche les fréquences propres déterminées f [Hz], les périodes propres T [sec] et les valeurs d’accélération Sa [m/s2 ] basées sur le spectre de réponse, avec et sans la matrice de rigidité géométrique Kg résultant de efforts normaux de la CO1.
L’analyse du spectre de réponse multimodal utilise les fréquences propres pour déterminer les valeurs d’accélération à partir du spectre de réponse défini. Les efforts internes et les moments de l’analyse du spectre de réponse sont déterminés à partir de ces valeurs d’accélération. L’affichage graphique du spectre de réponse défini par l’utilisateur est montré dans la Figure 06 et les valeurs d’accélération Sa [m/s2 ] déterminées à partir du spectre de réponse pour chaque valeur propre sont répertoriées dans le tableau ci-dessus.
Afin d’assurer une assignation correcte des fréquences modifiées, l’analyse modale souhaitée doit être utilisée comme base lors de la création d’un cas de charge de spectre de réponse.
Dans le cas d’efforts normaux de compression, la considération de la matrice de rigidité géométrique entraîne une réduction de la fréquence propre et peut entraîner des valeurs d'accélération Sa plus faibles, comme dans notre exemple. La modification des fréquences propres n’est pas suffisante pour considérer la théorie du second ordre. Cette méthode permet d'obtenir des résultats plus petits et pouvant donc être erronés. Il est très important d'utiliser la matrice de rigidité modifiée pour la détermination des efforts internes et des déformations. Dans l’analyse du spectre de réponse, la rigidité modifiée de l’analyse modale est automatiquement utilisée pour déterminer les résultats de l’analyse du spectre de réponse. Les déformations, efforts internes et les réactions d’appui déterminées lors de l’analyse du spectre de réponse avec et sans la matrice de rigidité géométrique sont indiquées sur la Figure 08.
La considération de la matrice de rigidité géométrique engendre des déformations et des efforts internes plus importants. Les charges d’appui résultantes sont cependant légèrement plus faibles si la matrice de rigidité géométrique est considérée.