Rigidité des structures

Article technique

Les bâtiments doivent être conçus et dimensionnés de sorte que les descentes de charges verticales et horizontales soient sans danger et ne causent pas de grandes déformations. Les charges horizontales sont par exemple le vent, une pente non-voulue, un tremblement de terre ou encore une onde de choc.

Les logiciels de calcul aux éléments finis comme RFEM permettent de déterminer les efforts internes et de calculer les éléments de rigidité de vos structures. Avec notre logiciel vous pouvez modéliser vos bâtiments avec tout type de composants structurels, d’ouvertures et d’autres éléments pour ensuite calculer le modèle entier.

Le pré-dimensionnement du système rigide peut être réalisé par un calcul manuel selon la méthode décrite dans [1] ou dans un programme comme SHAPE-THIN. Ce programme fournit aux ingénieurs une meilleure compréhension de la descente de charges d’une structure, ainsi que la contribution à la résistance des composants individuels de structure.

Distribution des forces horizontales

La distribution de charges horizontales pour la flexion ou torsion dans les éléments de contreventement peut être calculée avec les formules suivantes :

Forces dues à la flexion
Vy,i = (Vy ∙ (Iz,i ∙ Iy - Iyz,i ∙ Iyz) - Vz ∙ (Iz,i ∙ Iyz - Iyz,i ∙ Iz)) / (Iy ∙ Iz - Iyz2)
Vz,i = (Vy ∙ (Iyz,i ∙ Iy - Iy,i ∙ Iyz) - Vz ∙ (Iyz,i ∙ Iyz - Iy,i ∙ Iz)) / (Iy ∙ Iz - Iyz2)

Vy,i, Vz,i forces transverses dans les directions respectives y et z, qui affectent la section partielle i
Vy, Vz forces transverses dans les directions y ou z, qui affectent la section entière
Iy,i, Iz,i, Iyz,i sont les moments d’inertie de la section partielle i selon les axes parallèles Y et Z par la section partielle centroïdei
Iy, Iz sont les second moments totaux de l’aire selon le centroïde S

Forces dues à la torsion
Vy,i = Mxs ∙ [Iyz,i ∙ (yM,i - yM) - Iz,i ∙ (zM,i - zM)] / Σ [Iω,i + Iy,i ∙ (yM,i - yM)2 - 2 ∙ Iyz,i ∙ (yM,i - yM) ∙ (zM,i - zM) + Iz,i ∙ (zM,i - zM)2]
Vz,i = Mxs ∙ [Iy,i ∙ (yM,i - yM) - Iyz,i ∙ (zM,i - zM)] / Σ [Iω,i + Iy,i ∙ (yM,i - yM)2 - 2 ∙ Iyz,i ∙ (yM,i - yM) ∙ (zM,i - zM) + Iz,i ∙ (zM,i - zM)2]
avec
Vy,i, Vz,i Forces transverses dans les directions respectives y et z, qui affectent la section partielle
Mxs Moment de torsion secondaire qui affecte la section entière
Iy,i, Iz,i, Iyz,i Moments d’inertie de la section partielle i, relative aux axes parallèles à Y et Z selon le centroïde Si de la section partielle
Iω,i Constante de gauchissement relative au centre de cisaillement de la section partielle Mi
yM,i, zM,i est la coordonnée du centre de cisaillement de la section partielle Mi
yM, zM  est la coordonnée du centre de cisaillement global M

Exemple

La distribution de charges horizontales dans les éléments de rigidité est expliquée dans le système affiché dans la Figure 1.

Figure 01 - Système

Épaisseur du mur t = 30 cm

Propriétés de section

Section partielle 1
zS,1 = (2.15 ∙ 0.30 ∙ 0.30 / 2 + 4.70 ∙ 0.30 ∙ (4.70 / 2 + 0.30) + 2.15 ∙ 0.30 ∙ (0.30 + 4.70 + 0.30 / 2)) / (2.15 ∙ 0.30 ∙ 2 + 4.70 ∙ 0.30) = 2.65 m
yS,1 = (2.15 ∙ 0.30 ∙ 2.15 / 2 ∙ 2 + 4.70 ∙ 0.30 ∙ 0.30 / 2) / (2.15 ∙ 0.30 ∙ 2 + 4.70 ∙ 0.30) = 0.59 m
Iy,1 = 2.15 ∙ 0.303 / 12 ∙ 2 + 2.15 ∙ 0.30 ∙ (2.65 - 0.30 / 2)2 ∙ 2 + 0.30 ∙ 4.703 / 12 + 4.70 ∙ 0.30 ∙ (0.00)2 = 10.668 m4
Iz,1 = 0.30 ∙ 2.153 / 12 ∙ 2 + 2.15 ∙ 0.30 ∙ (2.15 / 2 - 0.59)2 ∙ 2 + 4.70 ∙ 0.303 / 12 + 4.70 ∙ 0.30 ∙ (0.59 - 0.30 / 2)2 = 1.084 m4

Section partielle 2
Iy,2 = 0.30 ∙ 4.003 / 12 = 1.600 m4
Iz,2 = 4.00 ∙ 0.303 / 12 = 0.009 m4

Section entière
Iy = 10.668 + 1.600 = 12.268 m4
Iz = 1.084 + 0.009 = 1.093 m4

Les propriétés de section déterminées dans SHAPE-THIN 8 sont affichées dans la Figure 2.

Figure 02 – Propriétés de section

Efforts tranchants de la section partielle
Vy,1 = 100 ∙ (1.084 ∙ 12.268) / (12.268 ∙ 1.093) = 99.18 kN
Vy,2 = 100 ∙ (0.009 ∙ 12.268) / (12.268 ∙ 1.093) = 0.823 kN

Les efforts tranchants de la section partielle déterminés dans SHAPE-THIN 8 sont affichés dans la Figure 3.

Figure 03 – Efforts tranchants de la section partielle

Littérature

[1] Beck, H. & Schäfer, H. (1969). Die Berechnung von Hochhäusern durch Zusammenfassung aller aussteifenden Bauteile zu einem Balken. Der Bauingenieur, (Heft 3).

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