Aussteifung von Tragwerken
Fachbeitrag
Bauwerke müssen so konstruiert und durchgebildet werden, dass sowohl vertikale Lasten als auch horizontale Lasten sicher und ohne zu große Verformungen in den Baugrund geleitet werden. Beispiele für Horizontallasten sind Wind, ungewollte Schiefstellung, Erdbeben sowie Anprall.
Die Schnittgrößenermittlung und Bemessung der aussteifenden Bauteile ist mit Finite-Elemente-Programmen wie RFEM möglich. Das Gebäude kann darin mit allen tragenden Gebäudeteilen, Öffnungen und so weiter abgebildet und als Gesamtmodell berechnet werden.
Die Vordimensionierung von Aussteifungssystemen kann mit den in [1] dargestellten Berechnungsverfahren mittels Handrechnung oder unter Verwendung von Programmen wie DUENQ erfolgen. Sie eröffnen dem Ingenieur ein besseres Verständnis für den Lastabtrag des Systems sowie den Tragfähigkeitsbeitrag der einzelnen Bauteile.
Verteilung der Horizontalkräfte
Die Horizontallastverteilung für Biege- oder Torsionsbeanspruchung auf die aussteifenden Bauteile kann gemäß den nachfolgenden Formeln berechnet werden.
Kräfte infolge Biegung
$$\begin{array}{l}{\mathrm V}_{\mathrm y,\mathrm i}\;=\;\frac{{\mathrm V}_\mathrm y\;\cdot\;({\mathrm I}_{\mathrm z,\mathrm i}\;\cdot\;{\mathrm I}_\mathrm y\;-\;{\mathrm I}_{\mathrm{yz},\mathrm i}\;\cdot\;{\mathrm I}_\mathrm{yz})\;-\;{\mathrm V}_\mathrm z\;\cdot\;({\mathrm I}_{\mathrm z,\mathrm i}\;\cdot\;{\mathrm I}_\mathrm{yz}\;-\;{\mathrm I}_{\mathrm{yz},\mathrm i}\;\cdot\;{\mathrm I}_\mathrm z)}{{\mathrm I}_\mathrm y\;\cdot\;{\mathrm I}_\mathrm z\;-\;{\mathrm I}_\mathrm{yz}²}\\{\mathrm V}_{\mathrm z,\mathrm i}\;=\;\frac{{\mathrm V}_\mathrm y\;\cdot\;({\mathrm I}_{\mathrm{yz},\mathrm i}\;\cdot\;{\mathrm I}_\mathrm y\;-\;{\mathrm I}_{\mathrm y,\mathrm i}\;\cdot\;{\mathrm I}_\mathrm{yz})\;-\;{\mathrm V}_\mathrm z\;\cdot\;({\mathrm I}_{\mathrm{yz},\mathrm i}\;\cdot\;{\mathrm I}_\mathrm{yz}\;-\;{\mathrm I}_{\mathrm y,\mathrm i}\;\cdot\;{\mathrm I}_\mathrm z)}{{\mathrm I}_\mathrm y\;\cdot\;{\mathrm I}_\mathrm z\;-\;{\mathrm I}_\mathrm{yz}²}\end{array}$$
mit
Vy,i, Vz,i: Querkraft in y- beziehungsweise z-Richtung, die den Teilquerschnitt i belastet
Vy, Vz: Querkraft in y- beziehungsweise z-Richtung, die den Gesamtquerschnitt belastet
Iy,i, Iz,i, Iyz,i: Trägheitsmomente des Teilquerschnitts i, bezogen auf die zu Y und Z parallelen Achsen durch den Teilquerschnitts-Schwerpunkt Si
Iy, Iz: Gesamtträgheitsmomente bezogen auf den Gesamtschwerpunkt S
Kräfte infolge Torsion
$$\begin{array}{l}{\mathrm V}_{\mathrm y,\mathrm i}\;=\;\frac{{\mathrm M}_\mathrm{xs}\;\cdot\;\lbrack{\mathrm I}_{\mathrm{yz},\mathrm i}\;\cdot\;({\mathrm y}_{\mathrm M,\mathrm i}\;-\;{\mathrm y}_\mathrm M)\;-\;{\mathrm I}_{\mathrm z,\mathrm i}\;\cdot\;({\mathrm z}_{\mathrm M,\mathrm i}\;-\;{\mathrm z}_\mathrm M)\rbrack}{\mathrm\Sigma\;\lbrack{\mathrm I}_{\mathrm\omega,\mathrm i}\;+\;{\mathrm I}_{\mathrm y,\mathrm i}\;\cdot\;({\mathrm y}_{\mathrm M,\mathrm i}\;-\;{\mathrm y}_\mathrm M)²\;-\;2\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm{yz},\mathrm i}\;\cdot\;({\mathrm y}_{\mathrm M,\mathrm i}\;-\;{\mathrm y}_\mathrm M)\;\cdot\;({\mathrm z}_{\mathrm M,\mathrm i}\;-\;{\mathrm z}_\mathrm M)\;+\;{\mathrm I}_{\mathrm z,\mathrm i}\;\cdot\;({\mathrm z}_{\mathrm M,\mathrm i}\;-\;{\mathrm z}_\mathrm M)²\rbrack}\\{\mathrm V}_{\mathrm z,\mathrm i}\;=\;\frac{{\mathrm M}_\mathrm{xs}\;\cdot\;\lbrack{\mathrm I}_{\mathrm y,\mathrm i}\;\cdot\;({\mathrm y}_{\mathrm M,\mathrm i}\;-\;{\mathrm y}_\mathrm M)\;-\;{\mathrm I}_{\mathrm{yz},\mathrm i}\;\cdot\;({\mathrm z}_{\mathrm M,\mathrm i}\;-\;{\mathrm z}_\mathrm M)\rbrack}{\mathrm\Sigma\;\lbrack{\mathrm I}_{\mathrm\omega,\mathrm i}\;+\;{\mathrm I}_{\mathrm y,\mathrm i}\;\cdot\;({\mathrm y}_{\mathrm M,\mathrm i}\;-\;{\mathrm y}_\mathrm M)²\;-\;2\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm{yz},\mathrm i}\;\cdot\;({\mathrm y}_{\mathrm M,\mathrm i}\;-\;{\mathrm y}_\mathrm M)\;\cdot\;({\mathrm z}_{\mathrm M,\mathrm i}\;-\;{\mathrm z}_\mathrm M)\;+\;{\mathrm I}_{\mathrm z,\mathrm i}\;\cdot\;({\mathrm z}_{\mathrm M,\mathrm i}\;-\;{\mathrm z}_\mathrm M)²\rbrack}\end{array}$$
mit
Vy,i, Vz,i: Querkraft in y- beziehungsweise z-Richtung, die den Teilquerschnitt i belastet
Mxs: sekundäres Torsionsmoment, das den Gesamtquerschnitt belastet
Iy,i, Iz,i, Iyz,i: Trägheitsmomente des Teilquerschnitts i, bezogen auf die zu Y und Z parallelen Achsen durch den Teilquerschnitts-Schwerpunkt Si
Iω,i: Wölbwiderstand bezogen auf den Teilquerschnitts-Schubmittelpunkt Mi
yM,i, zM,i: Koordinate des Teilquerschnitts-Schubmittelpunkts Mi
yM, zM: Koordinate des Gesamtschubmittelpunktes M
Beispiel
Die Verteilung der horizontalen Lasten auf die aussteifenden Elemente soll an dem im Bild 1 dargestellten System exemplarisch ermittelt werden.
Wandstärke t = 30 cm
Querschnittskennwerte
Teilquerschnitt 1
$$\begin{array}{l}{\mathrm z}_{\mathrm S,1}\;=\;\frac{\displaystyle\frac{2,15\;\cdot\;0,30\;\cdot\;0,30}2\;+\;4,70\;\cdot\;0,30\;\cdot\;(\frac{4,70}2\;+\;0,30)\;+\;2,15\;\cdot\;0,30\;\cdot\;(0,30\;+\;4,70\;+\;\frac{0,30}2)}{2,15\;\cdot\;0,30\;\cdot\;2\;+\;4,70\;\cdot\;0,30}\;=\;2,65\;\mathrm m\\{\mathrm y}_{\mathrm S,1}\;=\;\frac{2,15\;\cdot\;0,30\;\cdot\;{\displaystyle\frac{2,15}2}\;\cdot\;2\;+\;4,70\;\cdot\;0,30\;\cdot\;{\displaystyle\frac{0,30}2}}{2,15\;\cdot\;0,30\;\cdot\;2\;+\;4,70\;\cdot\;0,30}\;=\;0,59\;\mathrm m\\{\mathrm I}_{\mathrm y,1}\;=\;2,15\;\cdot\;\frac{0,303}{12}\;\cdot\;2\;+\;2,15\;\cdot\;0,30\;\cdot\;(\frac{2,65\;-\;0,30}2)²\;\cdot\;2\;+\;0,30\;\cdot\;\frac{4,703}{12}\;+\;4,70\;\cdot\;0,30\;\cdot\;(0,00)²\;=\;10,668\;\mathrm m^4\\{\mathrm I}_{\mathrm z,1}\;=\;0,30\;\cdot\;\frac{2,153}{12}\;\cdot\;2\;+\;2,15\;\cdot\;0,30\;\cdot\;(\frac{2,15}2\;-\;0,59)²\;\cdot\;2\;+\;4,70\;\cdot\;\frac{0,303}{12}\;+\;4,70\;\cdot\;0,30\;\cdot\;(0,59\;-\;\frac{0,30}2)²\;=\;1,084\;\mathrm m^4\end{array}$$
Teilquerschnitt 2
$$\begin{array}{l}{\mathrm I}_{\mathrm y,2}\;=\;\frac{0,30\;\cdot\;4,003}{12}\;=\;1,600\;\mathrm m^4\\{\mathrm I}_{\mathrm z,2}\;=\;\frac{4,00\;\cdot\;0,303}{12}\;=\;0,009\;\mathrm m^4\end{array}$$
Gesamtquerschnitt
Iy = 10,668 + 1,600 = 12,268 m4
Iz = 1,084 + 0,009 = 1,093 m4
Die mit DUENQ 8 ermittelten Querschnittskennwerte sind im Bild 2 dargestellt.
Bild 02 - Querschnittskennwerte
Teilquerschnittsquerkräfte
$$\begin{array}{l}{\mathrm V}_{\mathrm y,1}\;=\;\frac{100\;\cdot\;(1,084\;\cdot\;12,268)}{12,268\;\cdot\;1,093}\;=\;99,18\;\mathrm{kN}\\{\mathrm V}_{\mathrm y,2}\;=\;\frac{100\;\cdot\;(0,009\;\cdot\;12,268)}{12,268\;\cdot\;1,093}\;=\;0,823\;\mathrm{kN}\end{array}$$
Die mit DUENQ 8 ermittelten Teilquerschnittsquerkräfte sind im Bild 3 dargestellt.
Bild 03 - Teilquerschnittsquerkräfte
Literatur
[1] Beck, H.; Schäfer, H.: Die Berechnung von Hochhäusern durch Zusammenfassung aller aussteifenden Bauteile zu einem Balken. Der Bauingenieur, Heft 3, 1969
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