Redistribution des contraintes de cisaillement des objets nuls

Article technique

SHAPE-THIN permet de calculer les propriétés de section, ainsi que les contraintes de tout type de section. Si l’âme ou la semelle est affaiblie par des trous de boulons, vous pouvez les considérer grâce aux éléments nuls. Dans ce cas, il est nécessaire de porter une attention particulière aux contraintes de cisaillement. Elles sont, par défaut, définies à zéro dans l’aire des éléments nuls. Lors de l’analyse des contraintes de cisaillement avec les valeurs réduites de section et sans modification, l’intégrale des contraintes de cisaillement n’est plus égale à l’effort tranchant appliqué. L’exemple suivant explique en détails le calcul de la contrainte de cisaillement.

Exemple

Un élément a une longueur l de 200 m et une épaisseur t de 8 mm. L’effort tranchant est défini à 120 kN. Ceci résulte des distributions suivantes du moment statique, effort tranchant et contrainte de cisaillement. Le second moment résultant de l’aire est Iy = 533 cm4.

Figure 01 – Diagrammes de résultat de la section brute

Dans ce cas, l’effort tranchant est la contrainte de cisaillement multipliée par la longueur et l’épaisseur de l’élément respectif. L’intégrale est calculée comme suit :

$$\mathrm V\;=\;\mathrm t\;\cdot\;\int\frac{\mathrm Q\;\cdot\;\left(\mathrm t\;\cdot\;\mathrm z\;\cdot\;\left({\displaystyle\frac{\mathrm l}2\;-\;\frac{\mathrm z}2}\right)\right)}{{\mathrm I}_\mathrm y\;\cdot\;\mathrm t}\;\mathrm{dz}$$
avec
la valeur de la coordonnée z

L’ajout des trois forces résultantes de la division des éléments permet d’obtenir un effort tranchant de 120 kN.

Dans l’étape suivante, l’élément du milieu avec une longueur de 20 mm est converti en élément nul. Ceci correspond au trou mentionné auparavant. Le second moment résultant de l’aire résulte de Iy = 469 cm4. Les contraintes de cisaillement de l’élément nul sont maintenant à distribuer aux autres éléments. C’est pourquoi un facteur correcteur k est déterminé. Il décrit le coefficient de l’effort tranchant aux composants de l’effort tranchant efficace.

$$\begin{array}{l}\mathrm k\;=\;\frac{\mathrm{shear}\;\mathrm{force}}{\mathrm{sum}\;\mathrm{of}\;\mathrm{the}\;\mathrm{effective}\;\mathrm{shear}\;\mathrm{force}\;\mathrm{components}\;\mathrm{on}\;\mathrm{the}\;\mathrm{gross}\;\mathrm{cross}-\mathrm{section}}\end{array}$$ $$\begin{array}{l}\mathrm k\;=\;\frac{120}{101.1\;+\;7.3}\;=\;1.11\end{array}$$

Puis l’effort tranchant est multiplié par ce facteur :

$$\mathrm Q\;=\;120\;\cdot\;1.11\;=\;133.2\;\mathrm{kN}$$

Grâce à cet effort trenchant modifié, les contraintes de cisaillement du côté faible de la section sont maintenant calculés. Les diagrammes suivants résultent du premier moment de l’aire, de l’effort tranchant et de la contrainte de cisaillement.

Figure 02 - Diagrammes de résultats de la section affaiblie

L’ajout des efforts tranchants permet d’obtenir à nouveau un effort tranchant efficace de 120 kN. Les composants de l’élément nul ont été complètement redistribués.

Littérature

[1]  Manuel SHAPE‑THIN. (2012) (en anglais). Tiefenbach: Dlubal Software. Télécharger.

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