Umverteilung der Schubspannungen von Nullelementen

Fachbeitrag

Mit DUENQ lassen sich Querschnittswerte und Spannungen von beliebigen Profilen berechnen. Sind Flansch oder Steg durch Schraubenlöcher geschwächt, kann dies durch die Verwendung von Nullelementen abgebildet werden. Die Spannungen werden im Anschluss mit den abgeminderten Querschnittswerten neu berechnet. Ein besonderes Augenmerk ist hierfür auf die Schubspannungen zu legen. Diese werden standardmäßig im Bereich der Nullelemente zu Null gesetzt. Berechnet man die Schubspannungen mit den abgeminderten Querschnittswerten und ohne weitere Anpassung erneut, stellt sich heraus, dass das Integral der Schubspannungen nicht mehr gleich der angesetzten Querkraft ist. Wie sich daher die Schubspannung im Detail berechnet, soll im folgenden Beispiel aufgezeigt werden.

Beispielrechnung

Gegeben sei ein Element der Länge l = 200 mm und der Dicke t = 8 mm. Die Querkraft wird mit 120 kN angesetzt. Daraus resultieren folgende Verläufe für statisches Moment, Schubkraft und Schubspannung. Das Flächenträgheitsmoment ergibt sich zu Iy = 533 cm4.

Bild 01 - Ergebnisverläufe des Brutto-Querschnitts

Die Schubkraft ist dabei die Schubspannung multipliziert mit der Länge und der Dicke des jeweiligen Elementes. Das Integral hierfür sieht wie folgt aus:

$\mathrm V\;=\;\mathrm t\;\cdot\;\int\frac{\mathrm Q\;\cdot\;\left(\mathrm t\;\cdot\;\mathrm z\;\cdot\;\left({\displaystyle\frac{\mathrm l}2\;-\;\frac{\mathrm z}2}\right)\right)}{{\mathrm I}_\mathrm y\;\cdot\;\mathrm t}\;\mathrm{dz}$

z ist hierbei der Wert der z-Koordinate.

Addiert man die drei Schubkräfte, die sich aufgrund der gewählten Elementteilung ergeben, erhält man die Querkraft von 120 kN.

Im nächsten Schritt wird nun das mittlere Element der Länge 20 mm in ein Nullelement umgewandelt. Dies entspricht der oben erwähnten Bohrung. Das Flächenträgheitsmoment ergibt sich zu Iy = 469 cm4. Die Schubspannungen des Nullelements sind nun auf die übrigen Elemente umzuverteilen. Dazu wird ein Korrekturfaktor k ermittelt, der das Verhältnis der Querkraft zu den wirksamen Schubkraft-Anteilen beschreibt.
$\begin{array}{l}\mathrm k\;=\;\frac{\mathrm{Querkraft}}{\mathrm{Summe}\;\mathrm{der}\;\mathrm{noch}\;\mathrm{wirksamen}\;\mathrm{Schubkraftanteile}\;\mathrm{am}\;\mathrm{Brutto}-\mathrm{Querschnitt}}\;=\\=\;\frac{120}{101,1\;+\;7,3}\;=\;1,11\end{array}$

Die Querkraft wird anschließend intern mit diesem Faktor multipliziert:
Q = 120 ∙ 1,11 = 133,2 kN

Mit dieser modifizierten Querkraft werden nun die Schubspannungen am geschwächten Querschnitt berechnet. Es ergeben sich folgende Verläufe für das statische Moment, die Schubkraft und Schubspannung.

Bild 02 - Ergebnisverläufe des geschwächten Querschnitts

Addiert man die Schubkräfte, erhält man wieder die angesetzte Querkraft von 120 kN. Die Anteile aus dem Nullelement wurden vollständig umgelagert.

Literatur

[1] Handbuch DUENQ. Tiefenbach: Dlubal Software, Februar 2017. Download

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