Modélisation d’un assemblage par boulon précontraint

Article technique

Lors de la modélisation de modèles surfaciques tels qu’une fixation de portique ou des structures similaires, un doute existe toujours quant aux assemblages par boulon précontraint. Dans ce cas, il est toujours nécessaire de trouver un compromis entre la solution pratique et détaillée. L’article suivant décrit la procédure de modélisation de ce type d’assemblage à partir de la méthode de calcul des diagrammes d’assemblage.

Théorie du diagramme d’assemblage

Le diagramme d’assemblage est une représentation graphique des forces dans un assemblage par boulon précontraint. Dans ce cas, les forces en compression agissant dans les composants à assembler et les déformations associées sont contrastées avec les forces et déformations dans le boulon. La Figure 01 affiche un tel diagramme.

Figure 01 - Diagramme d’assemblage simplifié

La ligne bleue (ligne caractéristique) représente le boulon, la ligne jaune représente les composants structurels. Typiquement, la rigidité de boulon est inférieure à la rigidité des composants structurels. Toutefois plusieurs exceptions existent, comme par exemple les écrous. L’intersection des deux lignes représente la force de pré-chargement dans l’assemblage sans application de charge extérieure. Le point en fin de la ligne des boulons est la force maximale résistante du filetage.

En plus de la ligne de boulons et de la ligne de composants, une autre ligne caractéristique importante est celle de la force de traction externe (également du pré-chargement). Cette ligne est affichée en gris dans la Figure 01. Elle a pour origine le ligne caractéristique des composants sur l’axe y du couple de serrage résiduel souhaitée. La force de serrage maintient les composants assemblés. Par exemple, si une force horizontale doit être absorbée par l’assemblage (sans déformation du boulon due à l’effort tranchant, c’est-à-dire uniquement par la friction des composants) en plus du composant de traction dans le cas d’une charge d’exploitation, le couple de serrage résiduel doit alors être sélectionnée de manière à ce qu’une résistance suffisante soit définie.

En plus de ces lignes caractéristiques, d’autres lignes peuvent être utilisées pour une modélisation détaillée. Toutefois, ces lignes n’ayant pas d’influence sur la procédure basique, nous n’en parlerons pas dans cet article. Seul le diagramme d’assemblage simplifié sera utilisé ci-dessous. Par exemple, les lignes caractéristiques additionnelles seraient dues à la compression ou aux charges et contraintes excentriques.

Formules du diagramme d’assemblage simplifié

Pour créer un diagramme d’assemblage, il est d’abord nécessaire de calculer les rigidités correspondantes, les déformations et efforts. En général, les raideurs de ressort peuvent être calculées selon la loi de Hooke, comme suit :

$$\mathrm c\;=\;\frac{\mathrm F}{\mathrm f}\;(1.1)$$

avec

c  la rigidité (constante de ressort)
f  la déformation (déviation)

Dans le cas d’une barre en traction de matériau isotrope, la raideur de ressort peut être calculée directement avec le module d’élasticité :

$$\mathrm c\;=\;\frac{\mathrm E\;\cdot\;\mathrm A}{\mathrm l}\;(1.2)$$

avec

E  le module d'élasticité
A  l'aire de section transversale de la barre en traction
l  la longueur de la barre de traction

La rigidité de boulon est simplifiée et le tronc du boulon est appliqué. Il est également possible d’appliquer la tête de boulon, le fil, l’écrou, les différents diamètres de tronc, etc. Dans ce cas, les éléments à valeurs réciproque sont ajoutés à la rigidité totale. La raideur de ressort du boulon est calculée selon la formule suivante (Index S):

$${\mathrm c}_\mathrm S\;=\;\frac{{\mathrm E}_\mathrm S\;\cdot\;{\mathrm A}_\mathrm S}{{\mathrm l}_\mathrm K}\;(2.1)$$

avec

cS  la rigidité de ressort du boulon
ES  le module d'élasticité du boulon
AS

 l'aire de section transversale du boulon

lK  la longueur de serrage (hauteur/épaisseur des composants)

Le diamètre du filetage d3 est utilisé pour l’aire de section transversale dans le filetage du boulon. Ainsi, la formule totale résulte de :

$${\mathrm c}_\mathrm S\;=\;\frac{{\mathrm E}_\mathrm S\;\cdot\;\mathrm\pi}4\;\cdot\;\frac{{\mathrm d}_3²}{{\mathrm l}_\mathrm K}\;(2.2)$$

Le composant de rigidité est calculé de manière similaire. S’agissant d’au moins une plaque, l’index P est utilisé :

$${\mathrm c}_\mathrm P\;=\;\frac{{\mathrm E}_\mathrm P\;\cdot\;{\mathrm A}_\mathrm P}{{\mathrm l}_\mathrm K}\;(3.1)$$

avec

cP  la rigidité de torsion des composants/plaques
EP  le module d'élasticité des plaques
AP  l'aire transversale de section des plaques
lK  la longueur de serrage (hauteur/épaisseur des composants)

L’aire de section transversale AP dépend de l’épaisseur, contrairement au boulon. Nous supposons que la charge est allongé à un angle d’environ 60°. Il y a trois types de cas, comme affiché dans la Figure 02.

Figure 02 - Répartition des charges dans les différentes positions de plaque

Dans le Cas 1, les composants entre le boulon et l’écrou fonctionnent comme un gousset dont le diamètre est au plus égal au diamètre de surface portant du boulon ou écrou.

Le Cas 2 traite l’ensemble des situations où le diamètre de gousset est au minimum égal au diamètre de surface portante de l’écrou ou du boulon, ainsi qu’au plus égal au diamètre du cône d’extension de charge (en rouge dans la Figure 02). Ce cône s’élargit de manière symétrique des deux côtés et son diamètre est à son maximum au milieu de la longueur de serrage.

Le Cas 3 traite l’ensemble des situations du cône d’extension de charge maximum à l’extension de plaque infinie. C’est pourquoi il est nécessaire de calculer l’aire de déplacement Aers. Aers correspond à l’aire de section transversale du cylindre de déplacement avec extension de charge constante.

Pour l’exemple suivant, le Cas 3 suffit. Aers est calculé selon la formule suivante :

$${\mathrm A}_\mathrm{ers}\;=\;\frac{\mathrm\pi}4\;\cdot\;({\mathrm d}_\mathrm W²\;-\;{\mathrm d}_\mathrm h²)\;+\;\frac{\mathrm\pi}8\;\cdot\;{\mathrm d}_\mathrm W\;\cdot\;{\mathrm l}_\mathrm K\;\cdot\;\left(\left(\sqrt[3]{\frac{{\mathrm l}_\mathrm K\;\cdot\;{\mathrm d}_\mathrm W}{({\mathrm l}_\mathrm K\;+\;{\mathrm d}_\mathrm W)²}}\;+\;1\right)^2\;-\;1\right)\;(3.2)$$

avec

<table "width="100px;"> dW  is the bearing surface diameter dh  is the bore diameter

Le diamètre de surface portante peut être appliqué de manière simplifiée, de sorte que 90 % du diamètre de la pièce :

$${\mathrm d}_\mathrm W\;=\;0.9\;\cdot\;\mathrm s\;\;\;(3.3)$$

avec

s  le diamètre de la tête de boulon/écrou

La position d’application de charge dans un modèle surfacique n’est pas nécessairement au sommet du composant (la plaque), mais toujours au milieu de la surface, la rigidité de plaque doit être déterminée sur cette position d’application de charge. Pour ceci, le facteur d’application de charge est introduit. Celui-ci réduit en conséquence la longueur de serrage. Ce problème est illustré dans la Figure 03.

Figure 03 - Conversion du modèle de plaque solide en modèle surfacique

Les composants actifs, c’est-à-dire deux plaques, sont réduites à leurs surfaces moyennes. Dans le cas de deux plaques, n vaut toujours 0,5 car chaque moitié de plaque est utilisée. La nouvelle rigidité de plaque cPn est calculée comme suit :

$$\begin{array}{l}{\mathrm c}_\mathrm{Pn}\;=\;{\mathrm c}_\mathrm S\;\cdot\;\frac{1\;-\;\mathrm n\;\cdot\;{\mathrm\Phi}_\mathrm K}{\mathrm n\;\cdot\;{\mathrm\Phi}_\mathrm K}\;(3.4)\\{\mathrm\Phi}_\mathrm K\;=\;\frac{{\mathrm c}_\mathrm S}{{\mathrm c}_\mathrm S\;+\;{\mathrm c}_\mathrm P}\;(3.5)\end{array}$$

avec

ΦK  le coefficient de chargement

Pour créer les lignes caractéristiques, plusieurs forces sont requises en plus des rigidités. La charge de serrage résiduelle FKR, la charge d’exploitation FA et le facteur de serrage αA (serrage à angle contrôlé) doivent être définis. D’un autre côté, le pré-chargement d’assemblage résultant maximum et minimum FMmin et FMmax, doivent être calculés selon la formule :

$$\begin{array}{l}{\mathrm F}_\mathrm{Mmin}\;=\;{\mathrm F}_\mathrm{Kmin}\;+\;{\mathrm F}_\mathrm{PA}\;\;\;(3.6)\\{\mathrm F}_\mathrm{Mmax}\;=\;{\mathrm\alpha}_\mathrm A\;+\;{\mathrm F}_\mathrm{Mmin}\;\;\;(3.7)\end{array}$$

avec

αA  le coefficient de serrage pour la méthode de contrôle angulaire
FKmin  la force de serrage résiduelle minimum dans l'assemblage
FPA  la charge de plaque additionnelle due à la charge d'exploitation

La charge additionnelle appliquée aux plaques FPA est la force qui surgit lors de l’application de la charge d’exploitation. Elle est calculée selon la formule :

$${\mathrm F}_\mathrm{PA}\;=\;(1\;-\;\mathrm n\;\cdot\;{\mathrm\Phi}_\mathrm K)\;\cdot\;{\mathrm F}_\mathrm A\;\;\;(3.8)$$

avec

FA  la charge d'exploitation

Dans le cas d’une simplification sans considération de l’encastrement, la pré-charge FV correspond à la pré-charge minimum FMmin. Pour considérer la ligne de charge d’exploitation, la force de boulon maximum FSmax, qui surgit dans le boulon, est manquante :

$${\mathrm F}_\mathrm{Smax}\;=\;{\mathrm F}_\mathrm{Mmax}\;+\;{\mathrm F}_\mathrm{SA}\;\;\;(3.9)$$

avec

FSA  la force additionnelle de boulon

L’effort additionnel de boulon FSA est à nouveau calculée, de manière similaire à la Formule 3.8 :

$${\mathrm F}_\mathrm{SA}\;=\;\mathrm n\;\cdot\;{\mathrm\Phi}_\mathrm K\;\cdot\;{\mathrm F}_\mathrm A\;\;\;(3.10)$$

La capacité portante du boulon (F0,2) est la dernière information manquante. Elle doit être déterminée à l’aide de l’aire de section transversale du boulon dans le filetage. Le calcul requiert d’utiliser la diamètre de l’aire de section transversale ds, qui résulte de la valeur moyenne du diamètre de noyau dk (d3) et diamètre sur flancs du filet dfl (d2):

$${\mathrm F}_{0,2}\;=\;{\mathrm A}_\mathrm S\;\cdot\;{\mathrm f}_\mathrm{ub}\;=\;\frac{\mathrm\pi}4\;\cdot\;\left(\frac{{\mathrm d}_2\;+\;{\mathrm d}_3}2\right)^2\;\cdot\;{\mathrm f}_\mathrm{ub}\;(3.11)$$

avec

d2  le diamètre latéral du fil
d3  le diamètre de noyau du fil
fub  la limite d'élasticité du matériau de boulon

En plus des forces, les déformations doivent être déterminées comme valeurs correspondantes de sorte que les lignes caractéristiques puissent être entrées dans le diagramme d’assemblages. Pour la détermination, la Formule 1 adaptée à f est utilisée. Retrouvez ci-dessous les formules pour les déformations f aux forces respectives F :

$$\begin{array}{l}{\mathrm F}_{0,2}\;\rightarrow\;{\mathrm f}_{0,2}\;=\;\frac{{\mathrm F}_{0,2}}{{\mathrm c}_\mathrm S}\;(4.1)\\{\mathrm F}_\mathrm{Mmax}\;\rightarrow\;{\mathrm f}_\mathrm{SMmax}\;=\;\frac{\mathrm{FMmax}}{{\mathrm c}_\mathrm S}\;(4.2)\\{\mathrm F}_\mathrm{Mmax}\;\rightarrow\;{\mathrm f}_\mathrm{Mmax}\;=\;{\mathrm F}_\mathrm{Mmax}\;\cdot\;\left(\frac1{{\mathrm c}_\mathrm{Pn}}\;+\;\frac1{{\mathrm c}_\mathrm S}\right)\;(4.3)\\{\mathrm F}_\mathrm{SA}\;\rightarrow\;{\mathrm f}_\mathrm{SA}\;=\;{\mathrm f}_\mathrm{PA}\;=\;\frac{{\mathrm F}_\mathrm{SA}}{{\mathrm c}_\mathrm S}\;(4.4)\\{\mathrm F}_\mathrm{Smax}\;\rightarrow\;{\mathrm f}_\mathrm{Smax}\;=\;\frac{{\mathrm F}_\mathrm{Smax}}{{\mathrm c}_\mathrm S}\;(4.5)\end{array}$$

Il en résulte des positions/valeurs de ligne pour le diagramme d’assemblage suivantes :

Ligne Déformation Force
   Boulon 0 0
f0,2 F0,2
   Plaque fSMmax FMmax
fSMmax + fPMmax or fMmax 0
   Charge d'exploitation fSMmax + fSA FMmax - FPA
fSMmax + fSA FMmax + FSA = FSmax

Tableau 1 – Positions/Valeurs de ligne pour le diagramme d’assemblage

Modélisation de l’assemblage par boulon précontraint dans RFEM

Le modèle doit équilibrer faisabilité et précision. Ainsi, l’assemblage sera composé de surfaces, barres et solides.

Les paramètres suivants sont précisés pour l’exemple de calcul :

FA = 25 kN
FK = 10 kN
ES = EP = 210 000 N/mm²
t1 = t2 = 10 mm
lK = t1 + t2 = 20 mm
dh = 10 mm
DA > dW + lK
n = 0,5
αA = 1,0

 

Bolt:
M10 8.8
fub = 800 N/mm²
d2 = 9,03 mm
d3 = 8,16 mm
s = 17 mm

Le modèle comprend deux surfaces carrées superposées avec une ouverture (de diamètre dh) en son centre. Les surfaces sont de diamètre 60 x 60 mm (pour remplir DA > dW + lK). Alors que t1 = t2, ceci résulte d’un espacement de plaque de 10 mm. La charge agit directement au milieu de la plaque (fibre neutre). Ainsi, n résulte de 0,5. Le modèle est supporté par un appui fixé à l’extrémité basse de la vis de boulon. Pour que la réaction d’appui totale soit nulle, la charge doit être appliquée aux plaques supérieure et inférieure. La charge est de 6,95 N/mm² pour 25 kN de la force totale.

Afin d’assurer un bon transfert des charges entre le boulon et les plaques, une surface rigide (rondelle) avec le diamètre extérieur dW est modélisée autour de l’ouverture. L’assemblage entre les plaques est généré avec trois solides de contact. L’un des solides est autour de l’ouverture sans la partie de surface rigide, les deux autres solides de contact sont disposés autour de l’ouverture, telles deux coques. Les solides de contact doivent être du même matériau que les plaques pour reproduire les rigidités entre les plaques de manière précise. Le contact est en échec lors du levage et a une friction rigide dans la direction horizontale avec un facteur de 0,1.

Figure 04 - Modèle EF de l'assemblage par boulon

La structure est affichée dans la Figure 04. Le modèle 1 affiche des surfaces et composant avec les dimensions réelles. Le modèle 2 affiche la surface supérieure avec le boulon et les éléments rigides qui représentent l’assemblage entre le boulon et la plaque. La surface rigide (en rose) a également un composant rigide dans sa bordure intérieur pour être capable de transférer des moments.

Le maillage EF est également très important. Les dimensions étant faibles, la taille du maillage EF principal pour lFE a été défini à 2 mm. De plus, le raffinement de maillage de surface a été défini avec lFE 0.2 mm sur les surfaces rigides.

Ne connaissant ni le diamètre de boulon, ni la force d’exploitation agissant sur le boulon, il est possible de modéliser la structure sans l’ouverture et d’utiliser un élément rigide de poutre pour une première conception du modèle et pour la détermination des forces de boulon. Ce modèle pour le pré-dimensionnement est affiché dans la Figure 05.

Figure 05 - Modèle EF simplifié pour le pré-dimensionnement

Pour pouvoir détecter la précontrainte résiduelle dans le modèle, une barre résultante a été fixée parallèle au boulon (distance 0,1 mm). Tous les efforts internes du solide de contact sont considérés.

Comparaison entre les solutions analytiques et numériques

Pour comparer ces solutions, il est nécessaire de commencer par créer le diagramme d’assemblages. Les valeurs requises sont listées dans le Tableau 1. En remplaçant les valeurs pour l’exemple pratique (voir au-dessus), les valeurs intermédiaires et lignes caractéristique affichées dans le Tableau 2 sont obtenues. Le Tableau 3 comprend un résumé des valeurs les plus importantes, comme le Tableau 1. La Figure 06 affiche le diagramme d’assemblages complet.

Symbole Numéro de formule Valeur
   cS 2.2 549 kN/mm
   Aers 3.2 303 mm²
   cP 3.1 3,182 kN/mm
   ΦK 3.5 0.147
   cPn 3.4 6,921 kN/mm
   FSA 3.10 1.8 kN
   fSA 4.4 3 μm
   FPA 3.8 23.2 kN
   FMmax 3.6, 3.7 33.2 kN
   fSMmax 4.2 60 μm
   fMmax 4.3 65 μm
   F0,2 3.11 46.2 kN
   f0,2 4.1 84 μm

Table 2 - Intermediate Results and Results of Calculation Example

Ligne caractéristique Déformation [μm] Force [kN]
   Bolt 0 0,0
84 46,2
   Plate 60 33,2
65 33,2
   Working load 63 10,0
63 35,0

Tableau 3 – Points/valeurs caractéristique de l’exemple de calcul

Figure 06 - Diagramme d'assemblage simplifié pour l'exemple de calcul

Deux cas de charge ont été créés pour la solution numérique. Le premier cas de charge (CC1 Précontrainte) comprend la première charge de composant de la précontrainte, le second cas (CC2 Charge d’exploitation) comprend la charge d’exploitation. De plus, la combinaison de charge des deux cas de charge (facteur 1.0) a été générée (CO1 : CC1 + CC2). Le calcul est basé sur l’analyse linéaire statique avec 15 pas de charge (la convergence est meilleure en cas de solides de contact en échec).

Pour la précontrainte, il est possible d’appliquer le type de composant précontrainte initiale ou précontrainte finale. Le pré-chargement actif est la précontrainte finale. Cette dernière requiert un temps de calcul considérable, nous recommandons plutôt d’utiliser la charge de composant de précontrainte initiale. Toutefois, cette méthode présente l’inconvénient de ne pas inclure la force de réaction via les plaques. Ainsi, l’effort normal dans le composant est trop faible après le calcul car une partie peut être réduite par la déformation des plaques. Cette différence peut être réduite de deux manières. Elle peut être anticipée via la déformation de plaque et convertie en effort additionnelle FZus,v selon la formule :

$${\mathrm F}_{\mathrm{Zus},\mathrm v}\;=\;{\mathrm f}_\mathrm{PMmax}\;\cdot\;{\mathrm c}_\mathrm S\;\;\;(5.1)$$

Elle peut également être déterminée de manière itérative. Le cas de charge de précontrainte doit être calculé. La différence entre la précontrainte initiale appliquée et l’effort normal résultant dans le composant correspondant la force additionnelle FZus,i. La formule suivante peut être utilisée :

$${\mathrm F}_{\mathrm{Zus},\mathrm i}\;=\;{\mathrm F}_\mathrm{Mmax}\;-\;{\mathrm N}_\mathrm S\;\;\;(5.2)$$

avec

NS  is the axial force in the member at initial prestress FMmax

L’effort additionnel FZus,v résulte des valeurs dans le Tableau 2, comme suit :

$${\mathrm F}_{\mathrm{Zus},\mathrm v}\;=\;{\mathrm f}_\mathrm{PMmax}\;\cdot\;{\mathrm c}_\mathrm S\;=\;({\mathrm f}_\mathrm{Mmax}\;-\;{\mathrm f}_\mathrm{SMmax})\;\cdot\;{\mathrm c}_\mathrm S\;=\;5\;\mathrm{μm}\;\cdot\;549\;\mathrm{kN}/\mathrm{mm}\;=\;2.8\;\mathrm{kN}$$

L’effort additionnel itératif FZus,i peut être obtenu après avoir calculé le cas de charge sur le composant dans la Figure 07.

Figure 07 - Premier calcul du cas de charge de précontrainte sans équilibre de pré-chargement

$${\mathrm F}_{\mathrm{Zus},\mathrm i}\;=\;33.2\;\mathrm{kN}\;-\;30.4\;\mathrm{kN}\;=\;2.8\;\mathrm{kN}$$

Thus, the resulting prestress is 36 kN in both cases. This allows for a recalculation of the load case. The result is shown in Figure 08.

Figure 08 - Résultats du cas de charge de précontrainte

Le composant résultant additionnel qui additionne les forces de contact de tous les solides de contact a un résultat de 34.2 kN. C’est environ 1.2 kN de plus que l’effort normal de la vis de boulon (33 kN). La déformation des deux surfaces (S1 et S27) affichée dans le diagramme doit être ajoutée afin de pouvoir comparer avec fPMmax. En moyenne, le résultat suivant est obtenu :

$${\mathrm u}_{\mathrm z,1}\;=\;\frac{0.00555\;+\;0.00552}2\;+\;\frac{0.00001+\;0.00003}2\;=\;5.6\;\mathrm{μm}\;>\;5.0\;\mathrm{μm}\;=\;{\mathrm f}_\mathrm{Mmax}$$

La déformation est ainsi supérieure de 0.6 μm à la déformation fMmax calculée.

Le résultat des calculs soumis à la charge d’exploitation dans CC1 est affichée dans la Figure 09.

Figure 09 - Résultats de la combinaison de charge (Pré-chargement et charge d'exploitation)

La vis de boulon a un résultat de 33.9 kN. Cet effort de composant peut être comparé à l’effort FSmax = 35 kN (voir les Tableau 1 et Tableau 3, charge d’exploitation). La différence est de 1.1 kN. La différence est ici encore importante. Conformément au calcul analytique, la différence devrait être égale à la force FSA = 1.8 kN. Toutefois, le modèle EF n’est que moitié plus grand, avec 33.9 kN − 33 kN = 0.9 kN.

Des différences similaires sont obtenues dans le cas d’une déformation (voir le diagramme dans la Figure 09). La valeur affichée est la valeur réduite par la charge d’exploitation. Ainsi, la déformation doit être calculée par la charge d’exploitation à l’aide de la déformation par précontrainte. La déformation réelle est la différence entre uz,1 et la déformation moyenne dans le diagramme. La valeur analytique de référence est fSA. En résulte la déformation uz,2:

$${\mathrm u}_{\mathrm z,2}\;=\;{\mathrm u}_{\mathrm z,1}\;-\;\left(\frac{0.00385\;+\;0.00381}2\;+\;\frac{0.00001\;+\;0.00004}2\right)\;=\;5.5\;\mathrm{μm}\;-\;3.9\;\mathrm{μm}\;=\;1.6\;\mathrm{μm}\;<\;3\;\mathrm{μm}\;=\;{\mathrm f}_\mathrm{SA}$$

Ainsi, la déformation est environ inférieure de 1.4 μm que la déformation fMmax calculée.

Ainsi, la déformation est inférieure d’environ 1.4 μm à la déformation calculée fMmax.

En fin de compte, les résultats dans la barre résultante sont comparés. Comme affiché par la Figure 09, la charge pour la barre résultante est la force de compression de 10.6 kN. Cette valeur doit être comparée avec la charge de serrage FK = 10 kN. Le résultat est une déviation de 0.6 kN. Le Tableau 4 comprend un résumé de tous les résultats.

Symbole Valeur
analytique
Calcul EF Différence
Stab Plate
   FMmax [kN] 33,2 33,0 34,2 0,2 / 1,2
   fPMmax [μm] 5,0 - 5,6 0,6
   fSA [μm] 3,0 - 1,6 1,4
   FMmax + FSA [kN] 35,0 33,9 - 1,1
   FMmax - FPA [kN] 10,0 - 10,6 0,6

Tableau 4 – Valeurs de comparaison du modèle analytique/calcul aux EF

Évaluation

Comme affiché dans le Tableau 4, par moments de grandes différences existent entre les modèles. En général, les plus grandes correspondances sont dans les cas de charge de précontrainte. En fonction de l’évaluation de la barre résultante (plaque) ou de la vis de boulon, les déviations de FMmax dont de 3.6% ou 0.6% (relatives au résultat analytique).

La déviation la plus importante est le résultat de la vis de boulon et de la déformation de plaque après avoir appliqué la charge d’exploitation. Dans ce cas, il y a une déviation de 1.1 kN entre l’effort normal sur la vis et la solution analytique. Cette déviation, relative à la solution analytique, est initialement de 3 %. Toutefois, la différence est bien supérieure lorsque relative à la force additionnelle du boulon. La déviation du modèle aux éléments finis est la suivante :

$${\mathrm F}_{\mathrm{SA},\mathrm{FEA}}\;=\;({\mathrm F}_\mathrm{Mmax}\;+\;{\mathrm F}_\mathrm{SA})\;-\;{\mathrm F}_\mathrm{Mmax}\;=\;33.9\;\mathrm{kN}\;-\;33\;\mathrm{kN}\;=\;0.9\;\mathrm{kN}\;<\;1.8\;\mathrm{kN}\;=\;{\mathrm F}_\mathrm{SA}$$

Ces déviations peuvent être provoquées par l’absence de rigidité des deux plaques dans la direction z et par l’élément EF unique dans l’épaisseur du solide de contact. Ainsi, il ne peut avoir de répartition de charge dans le solide. Le transfert de charge dans le solide est réalisé exclusivement via la déformation de la plaque par flexion et cisaillement. Les valeurs rendent bien clair que le modèle EF a une rigidité inférieure que dans le modèle analytique dans le cas de charge de précontrainte et solides de contact À partir des valeurs l’on peut facilement déduire que dans le modèle EF, le cas de charge de précontrainte pour la combinaison des plaques et solides de contact est moins rigide dans le modèle analytique. Nous pouvons exclure la rigidité supérieure du boulon car elle est déterminée par la théorie des poutres et par la section.

Toutefois, une déformation moins importante dans le cas de la combinaison de charge dans le modèle EF, ou la force de boulon a un incrément considérablement inférieur. Ceci indique à nouveau une rigidité supérieure dans la plaque. En résumé, une explication existe : La composition entre la plaque et les solides de contact a une répartition de charge différente, l’approche avec la Formule 3.2 dans le modèle EF n’est pas valide. Il serait probablement nécessaire d’examiner un vrai exemple ou un modèle EF pour trouver quelle solution est la plus réaliste.

Cependant il est important de noter que la force de serrage résiduelle est presque identique dans les deux cas. Ainsi, la précontrainte dans l’assemblage est correctement modélisée et peut être utilisée pour la vérification de l’assemblage.

Résumé

Modéliser un assemblage par boulon précontraint avec des solides de contact, des surfaces et des poutres et un compromis entre la solution pratique et réaliste : En comparaison avec le calcul utilisant des solides aux EF, le temps de calcul est inférieur. Notre modélisation requiert un travail approfondi subséquent ou bien d’autres analyses, ce qui le rapproche d’un assemblage réaliste.

Les forces de pré-chargement et les forces de serrage résiduelle correspondent largement à celles du calcul analytique. Nous pouvons donc supposer que ce type de modélisation peut être utilisé pour l’analyse d’assemblages.

Littérature

[1]   Association of German Engineers. (1986). Guideline VDI 2230 - Systematic calculation of highly stressed bolted joints. Berlin: Beuth.

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