Modellierung einer vorgespannten Schraubenverbindung

Grundlagen Verspannungsdreieck

Das Verspannungsdreieck dient der grafischen Darstellung der Kräfte in einer vorgespannten Schraubverbindung. Dabei werden die in den zu verbindenden Bauteilen entstehenden Druckkräfte und damit einhergehenden Verformungen den Kräften und Verformungen in der Schraube gegenübergestellt. In Bild 01 ist ein solches Dreieck dargestellt.

Triangle de contreventement simplifié

Die blaue Linie (Kennlinie) stellt den Graphen für die Schraube dar, die gelbe den für die Bauteile. Typischerweise ist die Steifigkeit der Schraube kleiner als die der Bauteile. Es gibt aber auch diverse Ausnahmen wie zum Beispiel bei Hülsen. Der Schnittpunkt der beiden Linien gibt die Vorspannkraft in der Verbindung ohne äußere Belastung wieder. Der Endpunkt der Schraubenkennlinie ist die maximal aufnehmbare Kraft im Gewinde.

Neben der Schraubenkennlinie und der Kennlinie der Bauteile gibt es noch eine weitere wichtige Kennlinie, nämlich die der äußeren Zugkrafteinwirkung (auch Betriebskraft). Diese Kennlinie wird im Bild grau dargestellt. Ihr Ursprung liegt auf der Kennlinie der Bauteile an der y-Stelle der gewünschten Restklemmkraft. Dabei ist die Restklemmkraft die Kraft, welche die Bauteile noch zusammenhält. Wenn zum Beispiel bei einer vorhandenen Betriebskraft neben dem Zuganteil auch noch eine horizontale Kraft von der Verbindung aufgenommen werden soll (ohne Scherung der Schraube, also nur durch Reibung der Bauteile), dann muss die Restklemmkraft so gewählt werden, dass auch hier eine ausreichende Sicherheit vorliegt.

Es gibt neben diesen Kennlinien noch weitere, welche für eine detailliertere Abbildung verwendet werden können. Da diese aber auf die prinzipielle Vorgehensweise keinen Einfluss haben, wird hier nicht weiter auf sie eingegangen und das vorgestellte vereinfachte Verspannungsdreieck verwendet. Zusätzliche Kennlinien wären zum Beispiel die aus Setzung oder exzentrischer Verspannung und Belastung.

Formeln des vereinfachten Verspannungsdreiecks

Für das Aufstellen des Verspannungsdreiecks müssen zuerst die zugehörigen Steifigkeiten, Verformungen und Kräfte berechnet werden. Im Allgemeinen lassen sich Federsteifigkeiten nach dem hookeschen Gesetz wie folgt berechnen:

Bei einem Zugstab mit isotropem Material lässt sich dann die Federkonstante auch direkt über das Elastizitätsmodul (E-Modul) berechnen:

Für die Steifigkeit der Schraube wird vereinfacht nur der Schraubenschaft angesetzt. Weitere Möglichkeiten sind der Ansatz von Schraubenkopf, Gewinde, Mutter, verschiedene Schaftdurchmesser et cetera. Dabei werden die Elemente mit ihrem Kehrwert zur Gesamtsteifigkeit addiert. Die Federsteifigkeit der Schraube errechnet sich mit folgender Formel (Index S):

Für die Querschnittsfläche im Bereich des Gewindes der Schraube wird der Gewindeflankendurchmesser d₃ verwendet. Damit ergibt sich als Gesamtformel:

Die Steifigkeit der Bauteile wird ähnlich berechnet. Da es sich hier um eine oder mehrere Platten handelt, wird der Index P verwendet:

Die Querschnittsfläche A_P ist im Gegensatz zur Schraube dickenabhängig. Es wird davon ausgegangen, dass sich die Last unter einem Winkel von zirka 60° ausbreitet. Dabei gibt es drei Fälle zu unterscheiden, welche in Bild 02 dargestellt werden.

Propagation de charge dans différentes dimensions de plaque

Bei Fall 1 sind die Bauteile zwischen Schraube und Mutter wie eine Hülse und der Durchmesser dieser Hülse ist maximal gleich dem Durchmesser der Auflagefläche von Schraube beziehungsweise Mutter.
Fall 2 deckt den Bereich ab, bei dem der Durchmesser dieser Hülse minimal gleich dem Durchmesser der Auflagefläche von Mutter oder Schraube ist und maximal gleich dem Durchmesser des Lastausbreitungskegels (in Bild 02 rot). Dieser erstreckt sich von beiden Seiten symmetrisch und in der Mitte der Klemmlänge ist der Durchmesser am größten.
Fall 3 deckt den Bereich vom maximalen Lastausbreitungskegel bis hin zur unendlichen Plattenausdehnung ab. Aus diesem Grund muss eine Ersatzfläche A_ers berechnet werden. A_ers entspricht dann der Querschnittsfläche eines Ersatzzylinders mit konstanter Lastausbreitung.

Für die folgenden Betrachtungen genügt Fall 3. A_ers berechnet sich dabei mit folgender Formel (siehe VDI 2230, Ausgabe 1986 [1]):

Der Durchmesser der Auflagefläche kann dabei vereinfacht mit 90 % der Schlüsselweite angenommen werden:
d_W = 0,9 ∙ s (3.3)
s = Schlüsselweite des Schraubenkopfes/der Mutter

Da der Lastangriffspunkt bei einem Flächenmodell zwangläufig nicht an der Oberseite des Bauteils (der Platte) erfolgt, sondern stets in der Mittelfläche, muss die Plattensteifigkeit an diesem Lastangriffspunkt ermittelt werden. Dafür wird der Lastangriffsfaktor n eingeführt, welcher die Klemmlänge entsprechend abmindert. Eine Veranschaulichung dieser Problematik zeigt Bild 03.

Umwandlung von Platten-Volumenmodell zu Platten-Flächenmodell

Die eigentlichen Bauteile, in diesem Fall zwei Platten, werden auf ihre Mittelflächen reduziert. Im Falle von zwei Platten ist n dann immer 0,5, da stets die Hälfte jeder Platte verwendet wird. Die neue Plattensteifigkeit c_Pn errechnet sich dann wie folgt:

Für das Aufstellen der Kennlinien werden neben den Steifigkeiten auch noch diverse Kräfte benötigt. Die Restklemmkraft F_KR, die Betriebskraft F_A, und der Anziehfaktor α_A (drehwinkelgesteuertes Anziehverfahren) müssen vorgegeben werden. Die resultierenden minimalen und maximalen Montagekräfte F_Mmin und F_Mmax hingegen müssen errechnet werden. Nachstehend die Formel für die Montagekräfte bei der Verwendung eines drehwinkelgesteuerten Anziehverfahrens:
F_Mmin = F_Kmin + F_PA (3.6)
F_Mmax = α_A ∙ F_Mmin (3.7)
α_A = Anziehfaktor drehwinkelgesteuertes Verfahren
F_Kmin = minimal erforderliche Restklemmkraft in der Verbindung
F_PA = Plattenzusatzkraft durch Betriebskraft

Die Plattenzusatzkraft F_PA ist die Kraft, welche bei Anliegen der Betriebskraft erzeugt wird. Sie berechnet sich nach der Formel:
F_PA = (1 - n ∙ Φ_K) ∙ F_A (3.8)
F_A = Betriebskraft

Die Vorspannkraft F_V entspricht bei der Vereinfachung ohne Betrachtung von Setzungen der minimalen Vorspannkraft F_Mmin. Für die Betrachtung der Kennlinie der Betriebskraft fehlt noch die maximale Schraubenkraft F_Smax, welche bei Anliegen der Betriebskraft in der Schraube entsteht:
F_Smax = F_Mmax + F_SA (3.9)
F_SA = Schraubenzusatzkraft

Die Schraubenzusatzkraft F_SA wiederum errechnet sich analog zu Formel 3.8:
F_SA = n∙ Φ_K ∙ F_A (3.10)

Die maximale Tragkraft der Schraube (F_0,2) als letzte noch fehlende Kraft muss über den Spannungsquerschnitt ermittelt werden. Dieser errechnet sich mit Hilfe des Spannungsdurchmessers d_s, der sich aus dem Mittelwert von Kerndurchmesser d_k (d₃) und dem Flankendurchmesser d_fl (d₂) ergibt:

Neben den Kräften müssen die Verformungen als korrespondierende Werte ermittelt werden, damit die Kennlinien im Verspannungsdreieck eingetragen werden können. Dazu dient die nach f umgestellte Formel 1.1. Nachstehend die Formeln für die Verformungen f zu den jeweiligen Kräften F:

Damit ergeben sich folgende Kennlinienpunkte/-werte für das Verspannungsdreieck:

Tabelle 1 - Kennlinienpunkte/-werte für das Verspannungsdreieck

Modellierung einer vorgespannten Schraubenverbindung in RFEM

Das Modell soll eine gute Mischung aus Genauigkeit und Praktikabilität bilden. Daher wird die Verbindung mit Hilfe von Flächen, Stäben und Kontaktvolumen erfolgen.

Für ein Rechenbeispiel werden daher folgende Parameter vorgegeben:
F_A = 25 kN
F_K = 10 kN
E_S = E_P = 210.000 N/mm²
t₁ = t₂ = 10 mm
l_K = t₁ + t₂ = 20 mm
d_h = 10 mm
D_A > d_W + l_K
n = 0,5
α_A = 1,0

Schraube:
M10 8.8
f_ub = 800 N/mm²
d₂ = 9,03 mm
d₃ = 8,16 mm
s = 17 mm

Das Modell beinhaltet zwei übereinanderliegende quadratische Flächen mit einem Loch (Durchmesser d_h) in der Mitte, welche die Abmessungen 60 x 60 mm haben (um D_A > d_W + l_K zu erfüllen). Da t₁ = t₂, ergibt sich ein Plattenabstand von 10 mm. Die Last greift direkt in Plattenmitte an (neutrale Faser). Dadurch ist n mit 0,5 angegeben. Die Lagerung des Modells erfolgt am unteren Ende des Schraubenstabes mit einem Festlager. Damit die Lagerkraft in Summe null ergibt, muss dann die Last sowohl an der oberen als auch unteren Platte angebracht werden. Die Last ergibt sich zu 6,95 N/mm² für 25 kN Gesamtkraft.

Für einen guten Lastübertrag zwischen Schraube (Balkenstab) und Platten wird um das Loch eine starre Fläche (Ring) mit dem äußeren Durchmesser d_W modelliert. Die Verbindung zwischen den Platten wird über drei Kontaktvolumen erzeugt. Eines ist das Volumen um das Loch ohne den Teil mit den starren Flächen, zwei Kontaktvolumen liegen wie zwei Schalen um das Loch. Die Kontaktvolumina müssen das gleiche Material wie die Platten haben, um die Steifigkeit zwischen den Platten korrekt wiedergeben zu können. Zusätzlich fällt der Kontakt beim Abheben aus und hat eine starre Reibung in horizontaler Richtung mit dem Faktor 0,1.

FEM-Modell der Schraubenverbindung

Die Struktur ist in Bild 04 dargestellt. Unter Nummer 1 werden die Flächen und Stäbe mit ihren tatsächlichen Abmessungen dargestellt. Nummer 2 zeigt die obere Fläche mit Balkenstab (Schraube) und den Starrstäben, welche die Verbindung zwischen Schraube und Platte herstellen. Die starre Fläche (pink) wird dabei an der Innenkante ebenfalls mit einem Starrstab versehen, sodass jegliche Momente gut übertragen werden können.

Ein weiterer wichtiger Punkt ist das FE-Netz. Wegen der geringen Abmessungen wurde als Haupt-FE-Netzgröße für l_FE 2 mm festgelegt. Zudem wurden Flächennetzverdichtungen mit l_FE 0,2 mm an den Starrflächen definiert.

Da in der Praxis weder Schraubendurchmesser noch Betriebskraft an der Schraube bekannt sind, bietet sich für die erste Betrachtung des Modells und die Ermittlung der Schraubenkräfte die Modellierung ohne Bohrung und statt eines Balkenstabs die Verwendung eines Starrstabes an. Diese Modellierung für die Vordimensionierung ist in Bild 05 dargestellt.

Modèle MEF simplifié pour le pré-dimensionnement

Um die Restvorspannung im Modell ablesen zu können, wurde ein Ergebnisstab parallel zur Schraube (Abstand 0,1 mm) angesetzt. Dieser integriert alle Schnittgrößen des Kontaktvolumens auf.

Vergleich von analytischer und numerischer Lösung

Für den Vergleich muss zunächst das Verspannungsdreieck aufgestellt werden. Die dafür benötigten Werte sind in Tabelle 1 aufgelistet. Durch das Einsetzen der Werte für das praktische Beispiel (siehe oben) erhält man die in Tabelle 2 dargestellten Zwischenwerte und Kennlinienwerte. Tabelle 3 enthält zusammengefasst die wichtigsten Werte analog zu Tabelle 1 und Bild 06 zeigt das fertige Verspannungsdreieck.

Tabelle 2 - Zwischenergebnisse und Ergebnisse des Rechenbeispiels

Tabelle 3 - Kennlinienpunkte/-werte des Rechenbeispiels

Vereinfachtes Verspannungsdreieck des Rechenbeispiels

Für die numerische Lösung wurden zunächst zwei Lastfälle angelegt. Der erste Lastfall (LF1 Vorspannung) beinhaltet die Stablast der Vorspannung und der zweite (LF2 Betriebslast) die Betriebslast. Zusätzlich wurde eine Lastkombination aus beiden Lastfällen (Faktor 1,0) erzeugt (LK1: LF1 + LF2). Die Berechnung erfolgt nach Theorie erster Ordnung mit 15 Laststufen (bessere Konvergenz bei Kontaktvolumen mit Ausfall).

Für die Vorspannung kann am Stab die Stablast Anfangsvorspannung oder Endvorspannung verwendet werden. Die eigentliche Vorspannkraft ist eine Endvorspannung. Da die Last Endvorspannung einen hohen Rechenaufwand benötigt, ist es ratsam, die Stablast Anfangsvorspannung zu verwenden. Diese hat aber den Nachteil, dass die so aufgebrachte Last nicht die rückstellende Kraft durch die Platten beinhaltet. Damit ist nach dem Fertigstellen der Berechnung die Normalkraft im Stab zu gering, da ein Teil durch Verformung der Platten abgebaut werden kann. Diese Differenz kann auf zwei Wegen abgebaut werden. Zum einen kann diese über die Verformung der Platten vorausgesagt und in eine Zusatzkraft F_Zus,v (vorausgesagt) umgerechnet werden nach folgender Formel:
F_Zus,v = f_PMmax ∙ c_S (5.1)

Alternativ kann diese auch iterativ bestimmt werden. Dazu muss der Vorspannungslastfall berechnet werden. Die Differenz zwischen aufgebrachter Anfangsvorspannung und der resultierenden Normalkraft im Stab entspricht dann der Zusatzkraft F_Zus,i (iterativ). Nachfolgende Formel kann dazu verwendet werden:
F_Zus,i = F_Mmax - N_S (5.2)
N_S = Normalkraft im Stab bei Anfangsvorspannung F_Mmax

Die Zusatzkraft F_Zus,v ergibt sich nach den Werten aus Tabelle 2 wie folgt:
F_Zus,v = f_PMmax ∙ c_S = (f_Mmax - f_SMmax) ∙ c_S = 5 μm ∙ 549 kN/mm = 2,8 kN

Die iterative Zusatzkraft F_Zus,i kann nach Berechnung des Lastfalls am Stab in Bild 07 abgelesen werden.

Premier calcul du cas de charge de précontrainte sans compensation de la précontrainte

F_Zus,i = 33,2 kN - 30,4 kN = 2,8 kN

Die Vorspannung ergibt sich also in beiden Fällen zu 36 kN. Damit lässt sich der Lastfall neu berechnen. Das Resultat ist in Bild 08 dargestellt.

Ergebnisse des Lastfalls Vorspannung

Der zusätzliche Ergebnisstab, welcher die Kontaktkräfte aller Kontaktvolumen aufaddiert, hat als Ergebnis 34,2 kN. Dies liegt um 1,2 kN über der Normalkraft des Schraubenstabes mit 33 kN. Die im Diagramm dargestellte Verformung von beiden Flächen (F1 und F27) muss addiert werden, um sie mit f_PMmax vergleichen zu können. Im Mittel ergibt sich diese wie folgt:

Die Verformung ist damit um 0,6 μm größer als die errechnete Verformung f_Mmax.

Ein Resultat der Berechnungen unter der Betriebslast in LK1 ist in Bild 09 dargestellt.

Ergebnisse der Lastkombination (Vorspannung und Betriebslast)

Der Schraubenstab hat als Ergebnis 33,9 kN. Diese Stabkraft kann der Kraft F_Smax = 35 kN gegenübergestellt werden (siehe Tabellen 1 und 3, Betriebskraft). Die Abweichung beträgt 1,1 kN. Die Abweichung der Differenzen ist hier auch von Bedeutung. Nach der analytischen Berechnung sollte die Differenz gleich der Kraft F_SA = 1,8 kN sein. Die Differenz des FE-Modells ist allerdings mit 33,9 kN - 33 kN = 0,9 kN lediglich halb so groß.

Ähnlich große Abweichungen erhält man bei der Verformung (siehe Diagramm in Bild 09). Der hier dargestellte Wert ist der durch die Betriebskraft verminderte Wert. Folglich muss die Verformung durch die Betriebskraft mit Hilfe der Verformung durch die Vorspannung errechnet werden. Die eigentliche Verformung ist dann die Differenz aus u_z,1 und der mittleren Verformung im Diagramm. Der analytische Vergleichswert ist f_SA. Damit ergibt sich für die Verformung u_z,2:

Die Verformung ist damit um 1,4 μm kleiner als die errechnete Verformung f_Mmax.

Zuletzt noch der Vergleich der Ergebnisse im Ergebnisstab. Unter Belastung ergibt sich laut Bild 09 für den Ergebnisstab eine Druckkraft von 10,6 kN. Dieser Wert muss mit der Klemmkraft F_K = 10 kN verglichen werden. Hier ergibt sich eine Abweichung von 0,6 kN. Tabelle 4 fasst nochmal alle Ergebnisse zusammen.

Tabelle 4 - Vergleichswerte analytisches Modell/FEM-Rechnung

Évaluation

Wie in Tabelle 4 ersichtlich, gibt es teilweise große Differenzen zwischen den Modellen. Die größten Übereinstimmungen liegen, allgemeiner betrachtet, im Lastfall Vorspannung. Die Abweichungen von F_Mmax liegen je nach Betrachtung des Ergebnisstabes (Platte) oder des Schraubenstabes bei 3,6 % beziehungsweise 0,6 % (bezogen auf das analytische Ergebnis).

Die größte Abweichung liegt im Ergebnis des Schraubenstabes und der Plattenverformung nach dem Aufbringen der Betriebskraft. Hier besteht zwischen der Normalkraft am Stab und der analytischen Lösung eine Abweichung von 1,1 kN. Diese Abweichung beträgt, bezogen auf die analytische Lösung, zunächst 3 %. Aber in Bezug auf die Schraubenzusatzkraft ist der Unterschied wesentlich größer. Die Abweichung ergibt sich für das FEM-Modell wie folgt:
F_SA,FEM = (F_Mmax + F_SA) - F_Mmax = 33,9 kN - 33 kN = 0,9 kN << 1,8 kN = F_SA

Diese Abweichungen können dadurch zustande kommen, dass die beiden Platten keine Steifigkeit in z-Richtung haben und das Kontaktvolumen lediglich ein FE-Element in seiner Dicke besitzt. Demzufolge kann es zu keiner Lastausbreitung innerhalb des Volumens kommen. Die Lastweiterleitung im Volumen erfolgt ausschließlich über die Verformung der Platte durch Biegung und Querkraft. Wenn man die Werte betrachtet, dann wird ersichtlich, dass im FE-Modell im Lastfall Vorspannung im Verbund von Platten und Kontaktvolumen eine geringere Steifigkeit vorliegt als im analytischen Modell (siehe geringere Verformung). Es kann an dieser Stelle eine höhere Steifigkeit der Schraube ausgeschlossen werden, da diese durch die Balkentheorie und den Querschnitt feststeht.

Auf der anderen Seite wird bei der Lastkombination im FEM-Modell eine geringere Verformung ausgegeben beziehungsweise die Schraubenkraft hat einen wesentlich geringeren Zuwachs. Das wiederum deutet auf eine höhere Steifigkeit in der Platte hin. Zusammen betrachtet gibt es dafür nur eine Erklärung: Der Verbund aus Platte und Kontaktvolumen hat eine andere Lastausbreitung, sodass der Ansatz aus Formel 3.2 im FEM-Modell nicht in der Form gültig ist. Es müsste hier wahrscheinlich am realen Beispiel oder an einem erweiterten FEM-Modell untersucht werden, welche der beiden Lösungen der Realität eher entspricht.

Was jedoch zu beachten ist: Die Restklemmkraft ist in beiden Varianten nahezu identisch. Die Vorspannung in der Verbindung wird demnach gut abgebildet und kann für Untersuchungen an Anschlüssen verwendet werden.

Résumé

Die Modellierung einer vorgespannten Schraubenverbindung mit Hilfe von Kontaktvolumen, Flächen und Balkenstäben ist eine Mischung aus praktikabler Lösung und realer Abbildung. Praktikabel meint hier, dass der Rechenaufwand gegenüber einer Berechnung mit FEM-Volumen, welche die Verbindung wohl genauer abbilden würden, wesentlich geringer ausfällt. Es müssen dadurch aber Abstriche bei der Schraubenbemessung gemacht werden beziehungsweise muss hier noch eine weiterführende Untersuchung durchgeführt werden, welche die Ergebnisse zur Realität ins Verhältnis setzt.

Da die Vorspannkräfte und Restklemmkräfte weitestgehend mit denen aus der analytischen Rechnung übereinstimmen, ist davon auszugehen, dass diese Art der Modellierung für die Untersuchung von Anschlüssen durchaus zu Rate gezogen werden kann.

Littérature