Modelování předpjatého šroubového spoje

Odborný článek

Při modelování plošných modelů jako například rámových rohů nebo podobných konstrukcí vyvstává stále znovu otázka, jak modelovat předpjaté šroubové spojení. Vždy je tu třeba hledat kompromis mezi proveditelným a mezi věrným, detailním řešením. V našem článku se podíváme na to, jak lze takové spojení modelovat a počítat pomocí diagramu předpjatého šroubového spoje.

Základní informace o diagramu spoje

Diagram spoje slouží ke grafickému znázornění sil v předpjatém šroubovém spoji. Porovnávají se přitom tlakové síly, které vznikají ve spojovaných dílcích, a jimi vyvolané deformace se silami a deformacemi ve šroubu. Takový diagram je znázorněn na obr. 01.

Obr. 01 - Zjednodušený diagram předpjatého šroubového spoje

Modrá čára (charakteristická křivka) představuje graf šroubu, žlutá čára graf spojovaných prvků. Obvykle je tuhost šroubu menší než tuhost spojovaných dílců. Existují však různé výjimky jako například v případě použití objímek. Průsečík obou čar udává předpínací sílu ve spoji bez vnějšího zatížení. Koncový bod charakteristické křivky šroubu představuje maximální sílu v závitu na mezi únosnosti.

Kromě křivky šroubu a křivky spojovaných dílců diagram obsahuje další důležitou charakteristickou křivku. Jedná se o křivku vnějšího zatížení tahovou silou (také provozní síla). Na obrázku je znázorněna šedou barvou. Její počátek leží na křivce spojovaných částí v místě y, které představuje požadovanou zbytkovou svěrnou sílu. Zbytková svěrná síla je přitom síla, která spojované dílce ještě drží pohromadě. Pokud je například u působící provozní síly kromě tahové složky třeba přenášet spojem také vodorovnou sílu (bez střihu šroubu, tedy pouze sílu vyvolanou třením dílců), pak je třeba zbytkovou svěrnou sílu zvolit tak, aby i v tomto případě byla zajištěna dostatečná bezpečnost.

Kromě výše popsaných charakteristických křivek lze pro detailnější znázornění zakreslit do diagramu další křivky. Protože však nemají na základní postup žádný vliv, v našem případě je nepoužijeme a budeme vycházet z uvedeného zjednodušeného diagramu předpjatého spoje. Doplňkovými křivkami by například mohla být křivka udávající vliv sedání nebo excentrického napětí a zatížení.

Vzorce zjednodušeného diagramu spoje

Pro sestavení diagramu spoje je třeba nejdříve vypočítat příslušné tuhosti, deformace a síly. Obecně lze pružiny spočítat podle Hookova zákona následovně:

$$\mathrm c\;=\;\frac{\mathrm F}{\mathrm f}\;(1.1)$$

kde

c = tuhost (konstanta tuhosti)
F = síla pružiny
f = deformace (vychýlení)

V případě taženého prutu z izotropního materiálu pak lze konstantu tuhosti stanovit přímo na základě modulu pružnosti:

$$\mathrm c\;=\;\frac{\mathrm E\;\cdot\;\mathrm A}{\mathrm l}\;(1.2)$$

kde

E = modul pružnosti
A = průřezová plocha taženého prutu
l = délka taženého prutu

Pro stanovení tuhosti šroubu se zjednodušeně zohlední pouze dřík šroubu. Dále by bylo možné uvažovat hlavu šroubu, závit, matici, různé průměry dříku apod. Prvky v jejich převrácené hodnotě přitom přičítáme k celkové tuhosti. Tuhost pružiny šroubu (s dolním indexem S) vypočítáme pomocí následující rovnice:

$${\mathrm c}_\mathrm S\;=\;\frac{{\mathrm E}_\mathrm S\;\cdot\;{\mathrm A}_\mathrm S}{{\mathrm l}_\mathrm K}\;(2.1)$$

kde

cS = tuhost pružiny šroubu
ES = modul pružnosti šroubu
AS = průřezová plocha šroubu
lK = svěrná délka (výška/tloušťka dílců)

Pro průřezovou plochu v oblasti závitu šroubu se použije průměr boků profilu závitu d3. Celková rovnice má tak následující tvar:

$${\mathrm c}_\mathrm S\;=\;\frac{{\mathrm E}_\mathrm S\;\cdot\;\mathrm\pi}4\;\cdot\;\frac{{\mathrm d}_3²}{{\mathrm l}_\mathrm K}\;(2.2)$$

 

 

Tuhost spojovaných dílců se vypočítá obdobně. Protože se zde jedná o jednu nebo o několik desek (ploch), použijeme index P:
$${\mathrm c}_\mathrm P\;=\;\frac{{\mathrm E}_\mathrm P\;\cdot\;{\mathrm A}_\mathrm P}{{\mathrm l}_\mathrm K}\;(3.1)$$

kde

cP = tuhost pružiny dílců /desek
EP = modul pružnosti desek
AP = průřezová plocha desek
lK = svěrná délka (výška/tloušťka dílců)

Průřezová plocha AP je na rozdíl od šroubu závislá na tloušťce. Vychází se z toho, že zatížení se roznáší pod úhlem asi 60°. Je přitom třeba rozlišovat tři případy, které vidíme na obr. 02.

Obr. 02 - Roznášení zatížení při různých rozměrech desek

V případě 1 představují spojované části mezi šroubem a maticí jakousi objímku, jejíž průměr je maximálně roven průměru dosedací plochy šroubu, případně matice.

Příklad 2 pokrývá oblast, kdy je průměr této objímky přinejmenším roven průměru dosedací plochy šroubu nebo matice a maximálně se rovná průměru kuželu roznášení zatížení (na obr. 02 červeně). Tento kužel vybíhá z obou stran symetricky a uprostřed svěrné délky dosahuje největšího průměru.

Případ 3 pokrývá oblast maximálního kužele roznášení zatížení až po nekonečné protažení desky. Z tohoto důvodu je třeba vypočítat náhradní plochu Aers. Aers pak odpovídá průřezové ploše náhradního válce s konstantním roznášením zatížení.

Pro následující analýzu postačuje v našem příkladu případ 3. Aers se přitom vypočítá pomocí níže uvedené rovnice (viz VDI 2230, rok vydání 1986 [1]):

$${\mathrm A}_\mathrm{ers}\;=\;\frac{\mathrm\pi}4\;\cdot\;({\mathrm d}_\mathrm W²\;-\;{\mathrm d}_\mathrm h²)\;+\;\frac{\mathrm\pi}8\;\cdot\;{\mathrm d}_\mathrm W\;\cdot\;{\mathrm l}_\mathrm K\;\cdot\;\left(\left(\sqrt[3]{\frac{{\mathrm l}_\mathrm K\;\cdot\;{\mathrm d}_\mathrm W}{({\mathrm l}_\mathrm K\;+\;{\mathrm d}_\mathrm W)²}}\;+\;1\right)^2\;-\;1\right)\;(3.2)$$

kde

dW = průměr dosedací plochy
dh = průměr otvoru

Průměr dosedací plochy můžeme přitom zjednodušeně uvažovat jako 90 % šířky klíče:

$${\mathrm d}_\mathrm W\;=\;0,9\;\cdot\;\mathrm s\;\;\;(3.3)$$

kde

s = šířka klíče na hlavu šroubu /matici

Vzhledem k tomu, že působiště zatížení u plošného modelu není nutně na horní straně dílce (desky), nýbrž vždy ve středové ploše, je třeba tuhost desky vypočítat v tomto místě působení zatížení. Pro daný účel se zavádí součinitel působení zatížení n, kterým se odpovídajícím způsobem redukuje svěrná délka. Daný problém je znázorněn na obr. 03.

Obr. 03 - Převedení prostorového modelu desky na plošný model desky

Vlastní dílce, v našem případě dvě desky, se redukují na své středové plochy. v případě dvou desek je pak n vždy 0,5, protože se vždy použije polovina každé desky. Nová tuhost desek cPn se spočítá následovně:

$$\begin{array}{l}{\mathrm c}_\mathrm{Pn}\;=\;{\mathrm c}_\mathrm S\;\cdot\;\frac{1\;-\;\mathrm n\;\cdot\;{\mathrm\Phi}_\mathrm K}{\mathrm n\;\cdot\;{\mathrm\Phi}_\mathrm K}\;(3.4)\\{\mathrm\Phi}_\mathrm K\;=\;\frac{{\mathrm c}_\mathrm S}{{\mathrm c}_\mathrm S\;+\;{\mathrm c}_\mathrm P}\;(3.5)\end{array}$$

kde

ΦK = poměr zatížení

Pro zakreslení charakteristických křivek potřebujeme kromě tuhostí ještě různé síly. Je třeba předem zadat zbytkovou svěrnou sílu FKR, provozní sílu FA a faktor utažení αA (postup utahování v závislosti na úhlu natočení). Výsledné minimální a maximální montážní síly FMmin a FMmax je oproti tomu třeba vypočítat. Níže uvádíme vzorec pro stanovení montážních sil, který zohledňuje postup utahování v závislosti na úhlu natočení

$$\begin{array}{l}{\mathrm F}_\mathrm{Mmin}\;=\;{\mathrm F}_\mathrm{Kmin}\;+\;{\mathrm F}_\mathrm{PA}\;\;\;(3.6)\\{\mathrm F}_\mathrm{Mmax}\;=\;{\mathrm\alpha}_\mathrm A\;+\;{\mathrm F}_\mathrm{Mmin}\;\;\;(3.7)\end{array}$$

kde

αA = utahovací faktor pro způsob utahování podle úhlu natočení
FKmin = minimální nutná zbytková svěrná síla ve spoji
FPA = přídavná síla v desce od provozní síly

Přídavná síla v desce FPA je síla, která vzniká při působení provozní síly. Vypočítá se pomocí tohoto vzorce:

$${\mathrm F}_\mathrm{PA}\;=\;(1\;-\;\mathrm n\;\cdot\;{\mathrm\Phi}_\mathrm K)\;\cdot\;{\mathrm F}_\mathrm A\;\;\;(3.8)$$

kde

FA = provozní síla

Pokud budeme postupovat zjednodušeně a nebudeme uvažovat sedání, bude předpínací síla FV odpovídat minimální předpínací síle FMmin. Pro zohlednění charakteristické křivky provozní síly nám ještě chybí maximální síla ve šroubu FSmax, která vzniká ve šroubu při působení provozní síly:

$${\mathrm F}_\mathrm{Smax}\;=\;{\mathrm F}_\mathrm{Mmax}\;+\;{\mathrm F}_\mathrm{SA}\;\;\;(3.9)$$

kde

FSA = přídavná síla ve šroubu

Vzorec pro přídavnou sílu ve šroubu FSA je obdobou vzorce 3.8:

$${\mathrm F}_\mathrm{SA}\;=\;\mathrm n\;\cdot\;{\mathrm\Phi}_\mathrm K\;\cdot\;{\mathrm F}_\mathrm A\;\;\;(3.10)$$

Jako poslední sílu nám zbývá stanovit maximální únosnost šroubu (F0,2) kterou určíme na základě průřezové plochy šroubu v oblasti závitu. Při jejím výpočtu se vychází z průměru průřezové plochy ds, který se stanoví ze střední hodnoty průměru jádra dk (d3) a průměru boků dfl (d2):

$${\mathrm F}_{0,2}\;=\;{\mathrm A}_\mathrm S\;\cdot\;{\mathrm f}_\mathrm{ub}\;=\;\frac{\mathrm\pi}4\;\cdot\;\left(\frac{{\mathrm d}_2\;+\;{\mathrm d}_3}2\right)^2\;\cdot\;{\mathrm f}_\mathrm{ub}\;(3.11)$$

kde

d2 = průměr boků závitu
d3 = průměr jádra závitu
fub = pevnost materiálu šroubu v tahu

Pro zakreslení charakteristických křivek do diagramu spoje je třeba kromě sil vypočítat odpovídající hodnoty deformací. Vzorec 1.1 proto upravíme pro výpočet f. Níže uvádíme rovnice pro stanovení deformací f k příslušným silám F:

$$\begin{array}{l}{\mathrm F}_{0,2}\;\rightarrow\;{\mathrm f}_{0,2}\;=\;\frac{{\mathrm F}_{0,2}}{{\mathrm c}_\mathrm S}\;(4.1)\\{\mathrm F}_\mathrm{Mmax}\;\rightarrow\;{\mathrm f}_\mathrm{SMmax}\;=\;\frac{\mathrm{FMmax}}{{\mathrm c}_\mathrm S}\;(4.2)\\{\mathrm F}_\mathrm{Mmax}\;\rightarrow\;{\mathrm f}_\mathrm{Mmax}\;=\;{\mathrm F}_\mathrm{Mmax}\;\cdot\;\left(\frac1{{\mathrm c}_\mathrm{Pn}}\;+\;\frac1{{\mathrm c}_\mathrm S}\right)\;(4.3)\\{\mathrm F}_\mathrm{SA}\;\rightarrow\;{\mathrm f}_\mathrm{SA}\;=\;{\mathrm f}_\mathrm{PA}\;=\;\frac{{\mathrm F}_\mathrm{SA}}{{\mathrm c}_\mathrm S}\;(4.4)\\{\mathrm F}_\mathrm{Smax}\;\rightarrow\;{\mathrm f}_\mathrm{Smax}\;=\;\frac{{\mathrm F}_\mathrm{Smax}}{{\mathrm c}_\mathrm S}\;(4.5)\end{array}$$

Získáme tak následující body / hodnoty pro charakteristické křivky diagramu spoje:

Křivka Deformace Síla
   Šroub 0 0
f0,2 F0,2
   Deska fSMmax FMmax
fSMmax + fPMmax or fMmax 0
   Provozní síla fSMmax + fSA FMmax - FPA
fSMmax + fSA FMmax + FSA = FSmax

Tabulka 1 - Body / hodnoty pro charakteristické křivky diagramu spoje

Modelování předpjatého šroubového spoje v programu RFEM

Model by měl být co možná přesný a zároveň proveditelný. Spoj tak budeme modelovat pomocí ploch, prutů a kontaktních těles.

Pro náš výpočetní příklad zadáme následující parametry:
FA = 25 kN
FK = 10 kN
ES = EP = 210 000 N/mm²
t1 = t2 = 10 mm
lK = t1 + t2 = 20 mm
dh = 10 mm
DA > dW + lK
n = 0,5
αA = 1.0

Šroub:
M10 8.8
fub = 800 N/mm²
d2 = 9,03 mm
d3 = 8,16 mm
s = 17 mm

Model obsahuje dvě čtvercové plochy nad sebou, které mají uprostřed otvor o průměru dh a jejichž rozměry činí 60 x 60 mm (aby bylo splněno DA > dW + lK). Protože t1 = t2, je vzdálenost mezi deskami 10 mm. Zatížení působí přímo ve středu desky (neutrální vlákno). z toho vyplývá, že n je 0,5. Model je podepřen na spodním konci prutu šroubu pevnou podporou. Má-li být podporová síla v součtu rovna nule, je třeba uvažovat zatížení jak na horní tak na spodní desce. Hodnota zatížení činí 6,95 N/mm2 a odpovídá celkové síle 25 kN.

Pro dobrý přenos zatížení mezi šroubem (nosníkem) a deskami modelujeme okolo otvoru tuhou plochu (prstenec) s vnějším průměrem dW. Spojení mezi deskami se vytvoří pomocí tří kontaktních těles. Jedním z nich je těleso okolo otvoru vyjma části s tuhými plochami, dvě kontaktní tělesa leží jako dvě skořepiny okolo otvoru. Kontaktní tělesa musí být ze stejného materiálu jako desky, abychom správně zachytili tuhost mezi plochami. Kontakt je dále neúčinný při zdvihu a je u něj definováno tuhé tření ve vodorovném směru se součinitelem 0,1.

Obr. 04 - Model FEM šroubového spoje

Konstrukce je znázorněna na obr. 04. Pod číslem 1 jsou zobrazeny plochy a pruty se svými skutečnými rozměry. Pod číslem 2 vidíme horní plochu s nosníkem (šroubem) a s tuhými pruty, které tvoří spojení mezi šroubem a deskou. Tuhá plocha (růžově) je přitom na vnitřní hraně také opatřena tuhým prutem, takže lze dobře přenášet jakékoli momenty.

Další důležitý bod představuje síť konečných prvků. Kvůli malým rozměrům jsme stanovili hlavní velikost sítě konečných prvků lFE na 2 mm. Navíc jsme zadali zahuštění sítě prvků lFE = 0,2 mm na tuhých plochách.

Vzhledem k tomu, že v praxi není znám ani průměr šroubu ani provozní síla na šroubu, nabízí se pro prvotní posouzení modelu a výpočet sil ve šroubu řešení bez otvoru a za použití tuhého prutu namísto nosníku. Toto modelové řešení pro předběžný návrh je znázorněno na obr. 05.

Obr. 05 - Zjednodušený model FEM pro předběžný návrh

Abychom mohli zjistit zbytkové předpětí v modelu, zadali jsme rovnoběžně se šroubem (ve vzdálenosti 0,1 mm) výsledkový prut, který zahrnuje veškeré vnitřní síly kontaktního tělesa.

Porovnání analytického a numerického řešení

Pro porovnání řešení je třeba nejdříve vytvořit diagram předpjatého spoje. Hodnoty, které k tomu potřebujeme, jsou uvedeny v tabulce 1. Pokud za ně dosadíme hodnoty z našeho praktického příkladu (viz výše), dostaneme mezihodnoty a hodnoty pro charakteristické křivky diagramu, které vidíme v tabulce 2. Tabulka 3 předkládá souhrn nejdůležitějších hodnot podle tabulky 1 a na obr. 06 si můžeme prohlédnout sestavený diagram spoje.

Symbol Číslo vzorce Hodnota
   cS 2.2 549 kN/mm
   Aers 3.2 303 mm²
   cP 3.1 3 182 kN/mm
   ΦK 3.5 0,147
   cPn 3.4 6 921 kN/mm
   FSA 3.10 1,8 kN
   fSA 4.4 3 μm
   FPA 3.8 23,2 kN
   FMmax 3.6, 3.7 33,2 kN
   fSMmax 4.2 60 μm
   fMmax 4.3 65 μm
   F0,2 3.11 46,2 kN
   f0,2 4.1 84 μm

Tabulka 2 - Mezihodnoty a výsledky výpočetního příkladu

Křivka Deformace [μm] Síla [kN]
   Šroub 0 0,0
84 46,2
   Deska 60 33,2
65 33,2
   Provozní síla 63 10,0
63 35,0

Tabulka 3 - Body / hodnoty pro charakteristické křivky diagramu výpočetního příkladu

Obr. 06 - Zjednodušený diagram spoje výpočetního příkladu

V případě numerického řešení zadáme nejdříve dva zatěžovací stavy. První zatěžovací stav (ZS1 Předpětí) bude obsahovat zatížení na prut předpětím a druhý zatěžovací stav provozní zatížení (ZS2 Provozní zatížení). Dále se vytvoří kombinace zatížení z obou zatěžovacích stavů se součinitelem 1,0 (KZ1: ZS1 + ZS2). Výpočet se provede podle teorie prvního řádu s 15 zatěžovacími stupni (lepší konvergence u kontaktních těles se zadanou neúčinností).

Pro předpětí můžeme na prutu zadat zatížení typu počáteční předpětí nebo konečné předpětí. Vlastní předpínací síla je konečné předpětí. Protože výpočet zatížení typu konečné předpětí je časově náročný, doporučujeme zadat zatížení typu počáteční předpětí. Nevýhodou ovšem je, že zatížení v takovém případě nezohledňuje zpětnou sílu desek. Normálová síla v prutu je tak po skončení výpočtu příliš malá, protože je částečně snížena deformací desek. Tuto nesrovnalost lze odstranit dvěma způsoby. Zaprvé lze vzniklý rozdíl odhadnout z deformace desek a přepočítat ho na (předpokládanou) přídavnou sílu FZus,v pomocí následujícího vzorce:

$${\mathrm F}_{\mathrm{Zus},\mathrm v}\;=\;{\mathrm f}_\mathrm{PMmax}\;\cdot\;{\mathrm c}_\mathrm S\;\;\;(5.1)$$

Zadruhé lze daný rozdíl stanovit iteračním výpočtem. K tomu je třeba vypočítat zatěžovací stav předpětí. Rozdíl mezi uvažovaným počátečním předpětím a výslednou normálovou silou pak odpovídá přídavné síle FZus,i (iteračně stanovené). Použít lze přitom následující rovnici:

$${\mathrm F}_{\mathrm{Zus},\mathrm i}\;=\;{\mathrm F}_\mathrm{Mmax}\;-\;{\mathrm N}_\mathrm S\;\;\;(5.2)$$

kde

NS = normálová síla v prutu při počátečním předpětí FM,max

Přídavná síla FZus,v se stanoví na základě hodnot z tabulky 2 následovně:

$${\mathrm F}_{\mathrm{Zus},\mathrm v}\;=\;{\mathrm f}_\mathrm{PMmax}\;\cdot\;{\mathrm c}_\mathrm S\;=\;({\mathrm f}_\mathrm{Mmax}\;-\;{\mathrm f}_\mathrm{SMmax})\;\cdot\;{\mathrm c}_\mathrm S\;=\;5\;\mathrm{μm}\;\cdot\;549\;\mathrm{kN}/\mathrm{mm}\;=\;2,8\;\mathrm{kN}$$

Iteračně stanovenou přídavnou sílu FZus,i můžeme po výpočtu zatěžovacího stavu na prutu vyčíst z obr. 07.

Obr. 07 - Prvotní výpočet zatěžovacího stavu předpětí bez vyrovnání předpětí

$${\mathrm F}_{\mathrm{Zus},\mathrm i}\;=\;33,2\;\mathrm{kN}\;-\;30,4\;\mathrm{kN}\;=\;2,8\;\mathrm{kN}$$

Předpětí tak v obou případech činí 36 kN. Zatěžovací stav lze nyní znovu přepočítat. Výsledek vidíme na obr. 08.

Obr. 08 - Výsledky zatěžovacího stavu předpětí

Přídavný výsledkový prut, který integruje kontaktní síly všech kontaktních těles, dosahuje výsledku 34,2 kN. o 1,2 kN tak přesahuje normálovou sílu na prutu šroubu, která činí 33 kN. Pro porovnání s fPMmax je třeba přičíst deformaci obou ploch (F1 a F27), která je znázorněna v diagramu. v průměru dostaneme tento výsledek:

$${\mathrm u}_{\mathrm z,1}\;=\;\frac{0,00555\;+\;0,00552}2\;+\;\frac{0,00001+\;0,00003}2\;=\;5,6\;\mathrm{μm}\;>\;5,0\;\mathrm{μm}\;=\;{\mathrm f}_\mathrm{Mmax}$$

Deformace je tak o 0,6 μm větší než vypočítaná deformace fMmax.

Výsledek výpočtů za působení provozní síly v KZ1 je znázorněn na obr. 09.

Obr. 09 - Výsledky kombinace zatížení (předpětí a provozní síla)

Výsledná síla na prutu šroubu je 33,9 kN. Tuto sílu na prutu lze porovnat se silou FSmax = 35 kN (viz tabulka 1 a 3, provozní síla). Odchylka činí 1,1 kN. Odchylka v rozdílech je tu také důležitá. Podle analytického výpočtu by měl rozdíl odpovídat síle FSA = 1,8 kN. Model konečných prvků ovšem vykazuje hodnotou 33,9 kN -  33 kN =  0,9 kN pouze poloviční rozdíl.

K obdobně velkým odchylkám dospějeme v případě deformace (viz diagram na obr. 09). v případě zde zobrazené hodnoty se jedná o hodnotu, která je redukovaná provozní silou. Následně je tak třeba stanovit deformaci vyvolanou působením provozní síly na základě deformace předpětím. Vlastní deformace pak odpovídá rozdílu uz,1 a průměrné hodnoty deformace v diagramu. Analytická hodnota pro porovnání je fSA. Pro deformaci uz,2 tak platí:

$${\mathrm u}_{\mathrm z,2}\;=\;{\mathrm u}_{\mathrm z,1}\;-\;\left(\frac{0,00385\;+\;0,00381}2\;+\;\frac{0,00001\;+\;0,00004}2\right)\;=\;5,5\;\mathrm{μm}\;-\;3,9\;\mathrm{μm}\;=\;1,6\;\mathrm{μm}\;<\;3\;\mathrm{μm}\;=\;{\mathrm f}_\mathrm{SA}$$

Deformace je tak o 1,4 μm menší než vypočítaná deformace fMmax.

Nakonec ještě porovnáme výsledky na výsledkovém prutu. Při zatížení dostaneme podle obr. 09 pro výsledkový prut tlakovou sílu 10,6 kN. Tuto hodnotu je třeba porovnat se svěrnou silou FK = 10 kN, z čehož vyplývá odchylka 0,6 kN. V tabulce 4 znovu shrneme veškeré výsledky.

Symbol Analytická
hodnota
Výpočet MKP Odchylka
Prut Deska
   FMmax [kN] 33,2 33,0 34,2 0,2 / 1,2
   fPMmax [μm] 5,0 - 5,6 0,6
   fSA [μm] 3,0 - 1,6 1,4
   FMmax + FSA [kN] 35,0 33,9 - 1,1
   FMmax - FPA [kN] 10,0 - 10,6 0,6

Tabulka 4 - Hodnoty pro porovnání analytického modelu /výpočtu MKP

Vyhodnocení

Jak je zřejmé z tabulky 4, zčásti jsme mezi oběma modely zaznamenali velké rozdíly. Největší shodu lze obecně pozorovat v zatěžovacím stavu předpětí. Odchylky ve FMmax činí v případě vyhodnocení výsledkového prutu (desky) 3,6 % a při vyhodnocení prutu šroubu 0,6 % (vztaženo k výsledku analytického výpočtu).

Největší odchylku vykazuje výsledek u prutu šroubu a deformace desek po zohlednění provozní síly. v tomto případě se normálová síla na prutu odchyluje od analytického řešení o 1,1 kN. Tato odchylka činí ve vztahu k analytickému řešení zprvu 3 %. Ovšem vzhledem k přídavné síle ve šroubu je rozdíl podstatně větší. Odchylka pro model MKP se stanoví následovně:

$${\mathrm F}_{\mathrm{SA},\mathrm{FEA}}\;=\;({\mathrm F}_\mathrm{Mmax}\;+\;{\mathrm F}_\mathrm{SA})\;-\;{\mathrm F}_\mathrm{Mmax}\;=\;33,9\;\mathrm{kN}\;-\;33\;\mathrm{kN}\;=\;0,9\;\mathrm{kN}\;<\;1,8\;\mathrm{kN}\;=\;{\mathrm F}_\mathrm{SA}$$

Příčinou těchto odchylek může být to, že obě desky nemají žádnou tuhost ve směru z a kontaktní těleso má při své tloušťce pouze jeden konečný prvek. Zatížení se tak nemůže po tělese roznášet. Další přenos zatížení v tělese probíhá výlučně formou deformace desky ohybem a posouvající silou. Pokud se na hodnoty pozorně podíváme, zjistíme, že model KP v zatěžovacím stavu předpětí ve spojení desek a kontaktního tělesa vykazuje menší tuhost než analytický model (viz menší deformace). Na tomto místě lze vyloučit větší tuhost šroubu, neboť tato tuhost je pevně dána průřezem a teorií nosníků.

Na druhé straně jsme v případě kombinace zatížení v modelu MKP zaznamenali menší deformaci, respektive síla ve šroubu vykazuje podstatně menší růst. To ukazuje opět na větší tuhost v desce. Společně se tak nabízí jediné vysvětlení: spojení desky a kontaktního tělesa vykazuje jiné roznášení zatížení, a tak použití vzorce 3.2 v modelu MKP není v daném tvaru platné. Pravděpodobně by tu bylo třeba na reálném příkladu nebo na rozšířeném modelu MKP prověřit, které z obou řešení více odpovídá skutečnosti.

Čeho je ovšem třeba si všimnout, je téměř totožná zbytková svěrná síla v obou případech. Předpětí ve spoji je tudíž modelováno dobře a lze ho použít pro posouzení spojů.

Shrnutí

Modelování předpjatého šroubového spoje pomocí kontaktních těles, ploch a nosníků představuje kompromis mezi praktickým řešením a reálným ztvárněním. Praktičností jsou tu myšleny podstatně nižší časové nároky na výpočet v porovnání s výpočtem prostorového modelu MKP, od něhož lze zas ovšem očekávat větší přesnost. Posouzení šroubu nicméně není bez výhrad nebo případně je tu třeba provést další analýzu, která výsledky přiblíží realitě.

Protože se však předpínací síly i zbytkové svěrné síly do značné míry shodují s výsledky analytického výpočtu, lze tento způsob modelování považovat za zcela vhodný postup pro posouzení spojů.

Literatura

[1]   Verein Deutscher Ingenieure: Richtlinie VDI 2230 - Systematische Berechnung hochbeanspruchter Schraubenverbindungen. Berlín: Beuth, 1986.

Ke stažení

Odkazy

Kontakt

Kontakt

Máte dotazy nebo potřebujete poradit?
Kontaktujte nás nebo využijte stránky s často kladenými dotazy.

+420 227 203 203

info@dlubal.cz

RFEM Hlavní program
RFEM 5.xx

Hlavní program

Program RFEM pro statické výpočty metodou konečných prvků umožňuje rychlé a snadné modelování konstrukcí, které se skládají z prutů, desek, stěn, skořepin a těles. Pro následná posouzení jsou k dispozici přídavné moduly, které zohledňují specifické vlastnosti materiálů a podmínky uvedené v normách.

Cena za první licenci
3 540,00 USD