Norme ASCE 7-16 et effets P-delta
La clause 12.9.1.6 de la norme ASCE 7-16 [1] spécifie les cas où les effets P-delta doivent être considérés lors de l'exécution d'une analyse du spectre de réponse modale pour effectuer une analyse de sismicité. De plus, cette clause fait également référence à la clause 12.8.7 [1] , qui indique que P-Delta ne doit pas être pris en compte si le coefficient de stabilité (θ) déterminé par l'équation suivante est égal ou inférieur à 0,10.
Où
Px = charge de calcul verticale totale au niveau et au-dessus de l'étage x avec tous les facteurs de charge égaux ou inférieurs à 1,0
Δ = déplacement du plancher de l'étage défini dans la clause 12.8.6 de [1] avec Vx
Ie = facteur d'importance selon la clause 11.5.1 de [1]
Vx = effort tranchant sismique entre les étages x et x-1
hsx = hauteur de l'étage sous l'étage x considéré
Cd = facteur d'amplification de la flèche donné dans le Tableau 12.2-1 [1]
La norme rappelle que θ ne doit pas dépasser la valeur donnéeθmax dans l'équation ci-dessous ou 0,25, car la structure serait alors potentiellement dangereuse et devrait être recalculée.
Lorsque 0,10 ≤ θ ≤ θmax, tous les déplacements et efforts de barre doivent être multipliés par un facteur de
. Les effets P-delta peuvent également être inclus dans une analyse automatisée.Norme CNB 2015 et effets P-delta
La clause 4.1.8.4.8.c de la norme canadienne CNB 2015 [2] indique uniquement une brève exigence concernant la considération des effets de vibration dus à l'interaction entre les charges gravitationnelles et la structure déformée. Le commentaire de la norme CNB 2015 [3] contient cependant des explications similaires à la norme ASCE 7, selon laquelle le coefficient de stabilité (θx) de l'étage x devrait être calculé avec l'équation ci-dessous.
Où
ΣWi = partie du poids propre pondéré par le facteur, plus la charge d'exploitation au niveau de l'étage x d'après la clause 4.1.8.11.(7) [3]
ΣFi = somme des forces latérales de l'analyse de sismicité agissant au niveau de l'étage x ou au-dessus
Ro = facteur de modification associé à la sur-résistance
Δmx = flèche inélastique maximale entre les étages définie dans la clause 4.1.8.13.(3) [3]
hs = hauteur entre les étages
Lorsque θx est inférieur à 0,10, les effets P-Delta peuvent être ignorés. Lorsque θx est supérieur à 0,40, la structure doit être recalculée car elle est estimée dangereuse en cas de séismes extrêmes. Lorsque 0,10 ≤ θx ≤ 0,40, les forces et les moments dus à un séisme peuvent être multipliés par un facteur d'amplification de (1+θx) pour considérer P-Delta. Il n'est pas nécessaire d'appliquer ce facteur d'amplification aux déplacements.
Considération approximative des effets P-Delta avec les facteurs d'amplification
La valeur du facteur de stabilité doit être calculée dans les directions horizontales orthogonales pour déterminer si P-Delta est problématique. Si l'influence de la théorie du second ordre doit être considérée dans les plages spécifiées pour l'une ou les deux directions, le facteur
de l'ASCE 7-16 [1] ou (1+θx) de la norme NBC 2015 [3] peuvent être facilement pris en compte dans RF-/DYNAM Pro - Equivalent Loads. Toutes les forces et/ou flèches résultantes sont amplifiées par la valeur paramétrée.
Considération plus précise des effets P-Delta avec la matrice de rigidité géométrique
Bien que des effets secondaires puisse être estimés à l'aide de la méthode décrite ci-dessus, cette méthode est plus conservatrice. Si des déplacements importants d'étage se produisent ou si les effets P-Delta doivent être calculés avec plus de précision, l'influence des efforts normaux peut être activée dans les modules additionnels RF-/ DYNAM Pro.
Lorsqu'une analyse dynamique est effectuée, les calculs itératifs non linéaires habituels pour les effets dus à la théorie du second ordre ne sont plus applicables si une analyse statique est considérée. Le problème doit être linéarisé en activant la matrice de rigidité géométrique pendant le calcul. Dans cette approche, il est supposé que les charges verticales ne changent pas à cause des effets horizontaux et que les déformations sont limitées au regard des dimensions globales de la structure.
Cette matrice de rigidité géométrique s'appuie sur le concept de l'effet de raidissement des contraintes. Les efforts de traction normaux entraînent une augmentation de la rigidité en flexion d'une barre, tandis que les efforts de compression normaux conduisent à une réduction de la rigidité en flexion. Ces efforts peuvent être facilement transmis à l'aide d'un câble ou d'une tige fine, par exemple. Si la barre est soumise à un effort de traction, la rigidité en flexion est significativement plus élevée que si la barre est soumise à un effort de compression. Lorsque la barre est comprimée, sa rigidité en flexion est très faible voire nulle afin de supporter une charge latérale appliquée.
La matrice de rigidité géométrique Kg peut être déduite des conditions d'équilibre statique. Par souci de simplification, seuls les degrés de liberté des déplacements horizontaux sont indiqués ici.
La dérivation indiquée s'appuie sur l'approche du moment de basculement basée sur une approche linéaire des déplacements. Il s'agit d'une simplification de l'élément en flexion, et d'une hypothèse exacte pour l'élément en treillis. Notez que la matrice dépend uniquement de la longueur de l'élément et de l'effort normal.
La matrice de rigidité géométrique pour les poutres en flexion peut être déterminée avec plus de précision à l'aide d'une approche cubique des déplacements ou de la solution analytique de l'équation différentielle de la ligne en flexion. De plus amples informations sur la théorie et les dérivations sont fournies par Werkle [4].
La matrice de rigidité géométrique Kg est ajoutée à la matrice de rigidité K, ce qui permet d'obtenir la matrice de rigidité Kmod modifiée :
Kmod = K + Kg
Dans le cas d'efforts normaux de compression, la rigidité est donc réduite.
Application de la matrice de rigidité géométrique dans RFEM et RF-DYNAM Pro
La réduction de la rigidité à l'aide de la matrice de rigidité géométrique pour considérer les effets de l'analyse du second ordre (P-delta) dans une analyse du spectre de réponse est appliquée partiellement dans RFEM et partiellement dans RF-DYNAM Pro.
Un exemple détaillé selon l'ASCE 7 est disponible dans cette FAQ avec l'accès au téléchargement PDF.
Vous pouvez également regarder ce webinaire Dlubal (en anglais) : l'analyse du spectre de réponse selon l'ASCE 7-16 dans RFEM à 52:25 fournit une vue d'ensemble précise des étapes à réaliser dans RFEM et RF-DYNAM Pro pour appliquer la matrice de rigidité géométrique afin de prendre en compte les effets P-Delta selon l'ASCE 7.
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