P-Delta-Effekte und Erdbebenbemessung nach ASCE 7-16 und NBC 2015

Fachbeitrag

Wenn eine Gewichtskraft auf eine Struktur einwirkt, tritt eine seitliche Verschiebung auf. Im Gegenzug wird ein sekundäres Kippmoment erzeugt, da die Gewichtskraft in der seitlich versetzten Position weiterhin auf die Elemente einwirkt. Dieser Effekt ist auch als "P-Delta (Δ)" bekannt. Abschnitt 12.9.1.6 der amerikanischen Norm ASCE 7-16 und der Kommentar zur kanadische Norm NBC 2015 legen fest, wann P-Delta-Effekte berücksichtigt werden sollten, wenn ein multimodales Antwortspektrenverfahren für die Erdbebenbemessung durchgeführt wird.

ASCE 7-16 und P-Delta-Effekte

Abschnitt Abschnitt 12.9.1.6 der amerikanischen Norm ASCE 7-16 [1] legt fest, wann P-Delta-Effekte berücksichtigt werden sollten, wenn ein multimodales Antwortspektrenverfahren für die Erdbebenbemessung durchgeführt wird. Dieser Abschnitt bezieht sich weiter auf Abschnitt 12.8.7 [1], in dem festgehalten ist, dass P-Delta nicht berücksichtigt werden muss, wenn der Stabilitätskoeffizient (θ), der durch die folgende Gleichung bestimmt wird, gleich oder kleiner als 0,10 ist.

$\mathrm\theta\;=\;\frac{{\mathrm P}_{\mathrm x}\;\cdot\;\mathrm\Delta\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm e}}{{\mathrm V}_{\mathrm x}\;\cdot\;{\mathrm h}_{\mathrm{sx}}\;\cdot\;{\mathrm C}_{\mathrm d}}$

mit
Px = gesamte vertikale Bemessungslast im und oberhalb des Stockwerks x, wobei alle Lastfaktoren gleich oder kleiner als 1,0 sind
Δ = Stockwerksverschiebung gemäß Abschnitt 12.8.6 [1] zusammen mit Vx
Ie = Bedeutungsbeiwert gemäß Abschnitt 11.5.1 [1]
Vx = seismische Querkraft zwischen den Stockwerken x und x-1
hsx = Stockwerkshöhe unter dem betrachteten Geschoss x
Cd = Verformungsverstärkungsfaktor nach Tabelle 12.2-1 [1]

Die Norm schreibt weiterhin vor, dass θ den in der folgenden Gleichung angegebenen Wert von θmax oder 0,25 nicht überschreiten sollte, da die Struktur möglicherweise unsicher ist und neu bemessen werden sollte.

${\mathrm\theta}_\max\;=\;\frac{0,5}{\mathrm\beta\;\cdot\;{\mathrm C}_{\mathrm d}}\;\leq\;0,25$

Wenn 0,10 ≤ θ ≤ θmax, sollten alle Verschiebungs- und Stabkräfte mit einem Faktor von $\frac{1,0}{1\;-\;\mathrm\theta}$ multipliziert werden. Alternativ können P-Delta-Effekte in eine automatisierte Analyse einbezogen werden.

NBC 2015 und P-Delta-Effekte

In Abschnitt 4.1.8.4.8.c der kanadischen Norm NBC 2015 [2] wird nur eine kurze Anforderung an die Berücksichtigung von Schwingungseffekten aufgrund der Wechselwirkung von Gewichtskräften mit der verformten Struktur genannt. Der Kommentar zu NBC 2015 [3] enthält jedoch ähnliche Erklärungen wie die Norm ASCE 7, wonach der Stabilitätsfaktor (θx) im Stockwerk x mit der unten angegebenen Gleichung berechnet werden sollte.

${\mathrm\theta}_{\mathrm x}\;=\;\frac{\sum_{\mathrm i=\mathrm x}^{\mathrm n}{\mathrm W}_{\mathrm i}}{{\mathrm R}_{\mathrm o}\sum_{\mathrm i=\mathrm x}^{\mathrm n}{\mathrm F}_{\mathrm i}}\;\cdot\;\frac{{\mathrm\Delta}_{\mathrm{mx}}}{{\mathrm h}_{\mathrm s}}$

mit
ΣW i = Anteil des mit Beiwerten versehenen Eigengewicht plus Nutzlast im Stockwerk x 4.1.8.11 (7) [3]
ΣFi = Summe der seitlichen seismischen Bemessungskräfte, die im oder über dem Stockwerk x wirken
Ro = Kraftmodifikationsbeiwert aufgrund Überfestigkeit
Δ mx = maximale inelastische gegenseitige Stockwerksdurchbiegung 4.1.8.13 (3) [3]
hs = Zwischengeschosshöhe

Wenn θx kleiner als 0,10 ist, können P-Delta-Effekte ignoriert werden. Wenn θx größer als 0,40 ist, sollte die Struktur neu bemessen werden, da sie bei extremen Erdbeben als unsicher gilt. Für 0,10 ≤ θx ≤ 0,40 können die durch Erdbeben verursachten Kräfte und Momente mit einem Vergrößerungsfaktor von (1+θx ) multipliziert werden, um P-Delta zu berücksichtigen. Dieser Vergrößerungsfaktor muss nicht auf Verschiebungen angewendet werden.

Ungefähre Berücksichtigung von P-Delta-Effekten mit Vergrößerungsfaktoren

Der Stabilitätsfaktorwert sollte in beiden orthogonalen horizontalen Richtungen berechnet werden, um zu bestimmen, ob P-Delta ein Problem darstellt. Wenn für eine oder beide Richtungen der Einfluss der Theorie II. Ordnung in den angegebenen Bereichen berücksichtigt werden muss, kann der Faktor $\frac{1,0}{1\;-\;\mathrm\theta}$ aus der Norm ASCE 7-16 [1] oder (1 + θx) aus der Norm NBC 2015 [3] problemlos in RF-/DYNAM Pro - Ersatzlasten herangezogen werden. Alle resultierenden Kräfte und/oder Durchbiegungen werden um den eingestellten Wert verstärkt.

Bild 01 - Ungefähre Berücksichtigung von P-Delta-Effekten mit Verstärkungsfaktoren in RF-DYNAM Pro - Ersatzlasten

Genauere Berücksichtigung von P-Delta-Effekten mit der geometrischen Steifigkeitsmatrix

Obwohl der Einfluss der Theorie II. Ordnung wie oben beschrieben geschätzt werden kann, ist das ein konservativerer Ansatz. Für Szenarien, in denen große Stockwerksverschiebungen auftreten oder P-Delta-Effekte genauer berechnet werden müssen, kann der Einfluss von Normalkräften in den RF-/DYNAM Pro-Modulen aktiviert werden.

Wenn eine dynamische Analyse durchgeführt wird, sind die typischen nichtlinearen iterativen Berechnungen für Einflüsse aus Theorie II. Ordnung bei Berücksichtigung einer statischen Analyse nicht mehr anwendbar. Das Problem muss linearisiert werden, indem die geometrische Steifigkeitsmatrix während der Berechnung aktiviert wird. Bei diesem Ansatz wird davon ausgegangen, dass sich vertikale Lasten aufgrund horizontaler Effekte nicht ändern und dass die Verformungen im Vergleich zu den Gesamtabmessungen der Struktur gering sind.

Das Konzept hinter der geometrischen Steifigkeitsmatrix ist der Spannungsversteifungseffekt. Axiale Zugkräfte führen zu einer erhöhten Biegesteifigkeit eines Stabes, während axiale Druckkräfte zu einer verringerten Biegesteifigkeit führen. Dies kann am Beispiel eines Seils oder eines schlanken Stabes leicht demonstriert werden. Wenn der Stab einer Zugkraft ausgesetzt ist, ist die Biegesteifigkeit signifikant größer als wenn der Stab einer Druckkraft ausgesetzt ist. Bei Druck weist der Stab eine sehr geringe oder gar keine Biegesteifigkeit auf, um einer aufgebrachten seitlichen Belastung standzuhalten.

Die geometrische Steifheitsmatrix Kg kann aus den statischen Gleichgewichtsbedingungen abgeleitet werden. Vereinfachend werden hier nur die Freiheitsgrade der horizontalen Verschiebungen dargestellt.

$\begin{bmatrix}{\mathrm F}_{\mathrm i}\\{\mathrm F}_{\mathrm i+1}\end{bmatrix}\;=\;\frac{{\mathrm N}_{\mathrm i}}{{\mathrm h}_{\mathrm i}}\;\cdot\;\begin{bmatrix}1,0&-1,0\\-1,0&1,0\end{bmatrix}\;\cdot\;\begin{bmatrix}{\mathrm u}_{\mathrm i}\\{\mathrm u}_{\mathrm i+1}\end{bmatrix}$

Die gezeigte Herleitung beruht dem Ansatz des Versatzmomentes auf Basis eines linearen Verschiebungsansatzes. Dies ist für das Biegeelement eine Vereinfachung, beim Fachwerkelement eine exakte Annahme. Es gilt zu beachten, dass die Matrix nur von der Länge des Elements und der Normalkraft abhängt.

Eine genauere Ermittlung der geometrischen Steifigkeitsmatrix für Biegebalken kann unter Verwendung eines kubischen Verschiebungsansatzes oder mit Hilfe der analytischen Lösung der Differentialgleichung der Biegelinie erfolgen. Genauere Informationen und Herleitungen werden von Werkle [4] bereitgestellt.

Die geometrische Steifigkeitsmatrix Kg wird der Systemsteifigkeitsmatrix K hinzugefügt und ergibt die modifizierte Steifigkeitsmatrix Kmod:

Kmod = K + Kg

Im Falle von Drucknormalkräften führt dies folglich zu einer Verringerung der Steifigkeit.

Anwendung der geometrischen Steifigkeitsmatrix in RFEM und RF-DYNAM Pro

Die Anwendung der Steifigkeitsreduzierung unter Verwendung der geometrischen Steifigkeitsmatrix zur Berücksichtigung von Einflüssen aus Theorie II. Ordnung (P-Delta) in einer Antwortspektrenverfahren wird teilweise in RFEM und teilweise in RF-DYNAM Pro durchgeführt.

Ein detailliertes Beispiel für den EC 8 finden Sie in der FAQ Wie kann ich die Theorie II. Ordnung bei einer Erdbebenbemessung berücksichtigen? mit PDF zum Download.

   

Schlüsselwörter

ASCE 7 ASCE 7-16 NBC NBCC NBC 2015 Seismisch Erdbeben P-Delta P-Δ Einfluss aus Theorie II. Ordnung Geometrische Steifigkeitsmatrix Stabilitätsbeiwert Stabilitätskoeffizient

Literatur

[1]   ASCE/SEI 7‑16, Minimum Design Loads and Associated Criteria for Buildings and Other Structures
[2]   NBC 2015, National Building Code of Canada 2015
[3]   Structural commentaries (User's guide - NBC 2015: part 4 of division B)
[4]   Werkle, H.: Finite Elemente in der Baustatik, 3. Auflage. Wiesbaden: Vieweg & Sohn, 2008

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