2.3.1 Efforts internes de calcul

Efforts internes de calcul

La détermination des efforts internes pour le calcul des voiles et murs est réalisée selon la méthode de transformation de Baumann [1]. Les équations pour la détermination des efforts internes de calcul pour un cas général d'armatures avec trois directions arbitraires sont dérivées de cette méthode. Ainsi, ces efforts peuvent être appliqués à des cas plus simples, comme des treillis d'armatures orthogonaux avec deux directions d'armatures.

Baumann a étudié les conditions d'équilibre avec l'élément de voile suivant.

La Figure 2.8 affiche le segment rectangulaire d'un voile. Ce dernier est sollicité aux efforts normaux principaux N₁ et N₂ (efforts de traction). L'effort normal principal N₂  est exprimé par le facteur k comme un multiple de l'effort normal principal N₁.

$N_2=k·N_{1 }$

Trois directions d'armatures sont appliquées au voile. Les directions d'armatures sont x, y et z. L'angle créé par le premier effort normal principal N₁ et la direction d'armatures x est désigné par α. L'angle créé entre l'effort normal principal N₁ et la direction d'armature y est désigné par β. L'angle des armatures restantes est désigné par γ.

Baumann dit que : « Si la traction et le cisaillement dans le béton sont négligés, le chargement externe (N_1, N₂ = k ⋅ N₁₎ d'un élément de voile peut en général être repris par trois efforts internes orientés dans une direction quelconque. Dans un treillis d'armatures avec trois directions d'armatures, ces efforts correspondent aux trois directions d'armatures (x), (y) et (z). Ces directions forment, avec l'effort en traction principal N₁, les angles α,β, γ, et sont désignés Z_x, Z_y, Z_z.»

La détermination de ces efforts Z_x, Z_y (et Z_z dans le cas d'une troisième direction d'armatures) passe par la définition d'une section parallèle à la troisième direction d'armatures.

La valeur de la longueur de section est supposée à 1. Avec cette longueur de section, nous déterminons les longueurs de section projetées comme perpendiculaires à l'effort respectif. Dans le cas d'efforts externes, celles-ci sont les longueurs de section projetés b₁  (perpendiculaire à l'effort N₁) et b₂ (perpendiculaire à l'effort N₂). Dans le cas d'efforts de traction dans l'armature, celles-ci sont les longueurs de section projetées bx (perpendiculaire à l'effort de traction Z_x) et b_y  (perpendiculaire à l'effort de traction Z_y).

Le produit de l'effort respectif et la longueur de section projetée donnent l'effort qui peut être utilisé pour obtenir un équilibre des efforts.

L'équilibre entre les efforts externes (N_1, N₂) et efforts internes (Z_x, Z_y) peut être exprimé ainsi :

$Z_{x }· b_x=\frac{1}{\sin (\beta -\alpha )} · (N_1 · b_{1 }· \sin \beta - N_{2 }· b_2 · \cos \beta )$

$Z_y · b_y=\frac{1}{\sin (\beta -\alpha )} · (-N_1 · b_1 · \sin \alpha - N_2 · b_2 · \cos \alpha )$

Nous définissons une section parallèle à la direction d'armatures x pour déterminer l'équilibre entre les efforts externes (N₁, N₂) et les efforts internes z dans la direction d'armature x.

Nous pouvons alors déterminer graphiquement l'équilibre suivant.

Ainsi, l'équilibre entre les efforts externes (N₁, N₂) et les efforts internes Z_z peut être exprimé comme :

$Z_z · b_z=\frac{1}{\sin (\beta - \gamma )} · (N_1 · b_1 · \sin \beta - N_2 · b_2 · \cos \beta )$

Si nous remplaçons les longueurs de section projetées b_1, b_2, b_x, b_y, b_z par les valeurs affichées dans la figure et si nous utilisons #6# comme quotient de l'effort normal principal N₂ divisé par N₁, nous obtenons les équations suivantes.

$\frac{Z_x}{N_1}=\frac{\sin {\displaystyle }{\displaystyle \beta }{\displaystyle }{\displaystyle ·}{\displaystyle }{\displaystyle \sin }{\displaystyle }{\displaystyle \gamma }{\displaystyle }{\displaystyle +}{\displaystyle }{\displaystyle k}{\displaystyle }{\displaystyle ·}{\displaystyle }{\displaystyle \cos }{\displaystyle }{\displaystyle \beta }{\displaystyle }{\displaystyle ·}{\displaystyle }{\displaystyle \cos }{\displaystyle }{\displaystyle \gamma }}{\sin {\displaystyle }{\displaystyle (}{\displaystyle \beta }{\displaystyle }{\displaystyle -}{\displaystyle }{\displaystyle \alpha }{\displaystyle )}{\displaystyle }{\displaystyle ·}{\displaystyle }{\displaystyle \sin }{\displaystyle }{\displaystyle (}{\displaystyle \gamma }{\displaystyle }{\displaystyle -}{\displaystyle }{\displaystyle \alpha }{\displaystyle )}}$

$\frac{Z_y}{N_1}= \frac{\sin {\displaystyle }{\displaystyle \alpha }{\displaystyle }{\displaystyle ·}{\displaystyle }{\displaystyle \sin }{\displaystyle }{\displaystyle \gamma }{\displaystyle }{\displaystyle +}{\displaystyle }{\displaystyle k}{\displaystyle }{\displaystyle ·}{\displaystyle }{\displaystyle \cos }{\displaystyle }{\displaystyle \alpha }{\displaystyle }{\displaystyle ·}{\displaystyle }{\displaystyle \cos }{\displaystyle }{\displaystyle \gamma }}{\sin {\displaystyle }{\displaystyle (}{\displaystyle \beta }{\displaystyle }{\displaystyle -}{\displaystyle }{\displaystyle \alpha }{\displaystyle )}{\displaystyle }{\displaystyle ·}{\displaystyle }{\displaystyle \sin }{\displaystyle }{\displaystyle (}{\displaystyle \beta }{\displaystyle }{\displaystyle -}{\displaystyle }{\displaystyle \gamma }{\displaystyle )}}$

$\frac{Z_z}{N_1}=\frac{- \sin \alpha · \sin \beta + k · \cos \alpha · \cos \beta }{\sin {\displaystyle }{\displaystyle (}{\displaystyle \beta }{\displaystyle }{\displaystyle -}{\displaystyle }{\displaystyle \gamma }{\displaystyle )}{\displaystyle }{\displaystyle ·}{\displaystyle }{\displaystyle \sin }{\displaystyle }{\displaystyle (}{\displaystyle \gamma }{\displaystyle }{\displaystyle -}{\displaystyle }{\displaystyle \alpha }{\displaystyle )}}$

Ces équations sont au cœur de l'algorithme de vérification de RF-CONCRETE Surfaces. Ainsi, à partir des efforts internes agissants N₁ et N₂, nous pouvons déterminer les efforts internes de calcul Z_x,, Z_yet Z_z pour les directions d'armature respectives.

Additionnons l'Équation 2.5, l'Équation 2.6 et l'Équation 2.7, pour obtenir :

$\frac{Z_x}{N_1} + \frac{Z_y}{N_1} + \frac{Z_z}{N_1} = 1 + k$

Nous multiplions Equation 2.8 par N₁ et remplaçons k par N₂ / N₁ pour obtenir l'équation suivante qui rend l'équilibre des efforts internes et externes plus clair.

$Z_x + Z_y + Z_z = N_1 + N_{2 }$