2.3.1 Bemessungsschnittgrößen

Bemessungsschnittgrößen

Die Ermittlung der Bemessungsschnittgrößen für Wände und Scheiben erfolgt nach dem Transformationsverfahren von Baumann [1]. Die Gleichungen zur Bestimmung der Bemessungsschnittgrößen werden dort für den allgemeinen Fall einer dreibahnigen Bewehrungsschar mit beliebiger Richtung hergeleitet. Sie sind dann auch auf einfachere Fälle wie orthogonale zweibahnige Bewehrungsnetze anwendbar.

Baumann betrachtet die Gleichgewichtsbedingungen an folgendem Scheibenelement.

Bild 2.8 zeigt einen rechteckigen Ausschnitt einer Scheibe. Diese wird durch die Hauptnormalkräfte N₁ und N₂ (Zugkräfte) beansprucht. Die Hauptnormalkraft N₂ wird durch den Faktor k als ein Vielfaches der Hauptnormalkraft N₁ ausgedrückt.

$N_2=k·N_{1 }$

In der Scheibe werden drei Bewehrungsscharen eingelegt. Die Bewehrungsscharen werden mit x, y und z bezeichnet. Der Winkel, den die erste Hauptnormalkraft N₁ im Uhrzeigersinn mit der Richtung der Bewehrungsschar x einschließt, wird mit α bezeichnet. Der Winkel zwischen erster Hauptnormalkraft N₁ und der Bewehrungsschar y wird β genannt, der Winkel zur verbleibenden Bewehrungsschar heißt γ.

In seiner Arbeit schreibt Baumann: ‶Bei Vernachlässigung von Schub- bzw. Zugbeanspruchungen im Beton kann also die äußere Beanspruchung (N₁, N₂ = k ⋅ N₁) eines Scheibenelements im allgemeinen Falle durch drei beliebig gerichtete innere Kräfte aufgenommen werden. Bei dreibahnigen Bewehrungsnetzen entsprechen diese Kräfte den drei Bewehrungsscharen (x), (y) und (z), welche mit der größeren Hauptzugkraft N₁ die Winkel α, β, γ einschließen, und werden mit Z_x, Z_y, Z_z (als Zugkräfte positiv) bezeichnet.″

Um diese Kräfte Z_x, Z_y (und bei einer dritten Bewehrungsrichtung noch Z_z) zu bestimmen, wird zunächst ein Schnitt parallel zur dritten Bewehrungsschar gebildet.

Die Schnittlänge wird mit dem Wert 1 angenommen. Mit dieser Schnittlänge werden jene projizierten Schnittlängen bestimmt, die senkrecht zur jeweils betrachteten Kraft laufen. Im Fall der äußeren Kräfte sind das die projizierten Schnittlängen b₁ (senkrecht zur Kraft N₁) und b₂ (senkrecht zur Kraft N₂). Im Fall der Zugkräfte in der Bewehrung sind das die projizierten Schnittlängen b_x (senkrecht zur Zugkraft Z_x) und b_y (senkrecht zur Zugkraft Z_y).

Das Produkt aus der jeweiligen Kraft und der zugehörigen projizierten Schnittlänge ergibt dann die Kraft, mit der ein Kräftegleichgewicht aufgestellt werden kann.

Das Gleichgewicht zwischen den äußeren Kräften (N₁, N₂) und den inneren Kräften (Z_x, Z_y) lässt sich dann wie folgt formulieren.

$Z_{x }· b_x=\frac{1}{\sin (\beta -\alpha )} · (N_1 · b_{1 }· \sin \beta - N_{2 }· b_2 · \cos \beta )$

$Z_y · b_y=\frac{1}{\sin (\beta -\alpha )} · (-N_1 · b_1 · \sin \alpha - N_2 · b_2 · \cos \alpha )$

Um das Kräftegleichgewicht zwischen den äußeren Kräften (N₁, N₂) und der inneren Kraft Z_z in die Bewehrungsrichtung z zu bestimmen, wird ein Schnitt parallel zur Bewehrungsschar in Richtung x gelegt.

Grafisch lässt sich folgendes Gleichgewicht ermitteln.

Das Gleichgewicht zwischen den äußeren Kräften (N₁, N₂) und den inneren Kräften Z_z lässt sich dann wie folgt formulieren.

$Z_z · b_z=\frac{1}{\sin (\beta - \gamma )} · (N_1 · b_1 · \sin \beta - N_2 · b_2 · \cos \beta )$

Ersetzt man die projizierten Schnittlängen b₁, b₂, b_x, b_y, b_z durch die in der Darstellung angegebenen Werte und verwendet k als den Quotienten von Hauptnormalkraft N₂ geteilt durch N₁, erhält man folgende Gleichungen.

$\frac{Z_x}{N_1}=\frac{\sin {\displaystyle }{\displaystyle \beta }{\displaystyle }{\displaystyle ·}{\displaystyle }{\displaystyle \sin }{\displaystyle }{\displaystyle \gamma }{\displaystyle }{\displaystyle +}{\displaystyle }{\displaystyle k}{\displaystyle }{\displaystyle ·}{\displaystyle }{\displaystyle \cos }{\displaystyle }{\displaystyle \beta }{\displaystyle }{\displaystyle ·}{\displaystyle }{\displaystyle \cos }{\displaystyle }{\displaystyle \gamma }}{\sin {\displaystyle }{\displaystyle (}{\displaystyle \beta }{\displaystyle }{\displaystyle -}{\displaystyle }{\displaystyle \alpha }{\displaystyle )}{\displaystyle }{\displaystyle ·}{\displaystyle }{\displaystyle \sin }{\displaystyle }{\displaystyle (}{\displaystyle \gamma }{\displaystyle }{\displaystyle -}{\displaystyle }{\displaystyle \alpha }{\displaystyle )}}$

$\frac{Z_y}{N_1}= \frac{\sin {\displaystyle }{\displaystyle \alpha }{\displaystyle }{\displaystyle ·}{\displaystyle }{\displaystyle \sin }{\displaystyle }{\displaystyle \gamma }{\displaystyle }{\displaystyle +}{\displaystyle }{\displaystyle k}{\displaystyle }{\displaystyle ·}{\displaystyle }{\displaystyle \cos }{\displaystyle }{\displaystyle \alpha }{\displaystyle }{\displaystyle ·}{\displaystyle }{\displaystyle \cos }{\displaystyle }{\displaystyle \gamma }}{\sin {\displaystyle }{\displaystyle (}{\displaystyle \beta }{\displaystyle }{\displaystyle -}{\displaystyle }{\displaystyle \alpha }{\displaystyle )}{\displaystyle }{\displaystyle ·}{\displaystyle }{\displaystyle \sin }{\displaystyle }{\displaystyle (}{\displaystyle \beta }{\displaystyle }{\displaystyle -}{\displaystyle }{\displaystyle \gamma }{\displaystyle )}}$

$\frac{Z_z}{N_1}=\frac{- \sin \alpha · \sin \beta - k · \cos \alpha · \cos \beta }{\sin {\displaystyle }{\displaystyle (}{\displaystyle \beta }{\displaystyle }{\displaystyle -}{\displaystyle }{\displaystyle \gamma }{\displaystyle )}{\displaystyle }{\displaystyle ·}{\displaystyle }{\displaystyle \sin }{\displaystyle }{\displaystyle (}{\displaystyle \gamma }{\displaystyle }{\displaystyle -}{\displaystyle }{\displaystyle \alpha }{\displaystyle )}}$

Diese Gleichungen stellen den Kern des Bemessungsalgorithmus für RF-BETON Flächen dar. Damit können aus den einwirkenden Schnittgrößen N₁ und N₂ die Bemessungsschnittgrößen Z_x, Z_y und Z_z für die jeweiligen Bewehrungsrichtungen ermittelt werden.

Durch Addition von Gleichung 2.5, Gleichung 2.6 und Gleichung 2.7 ergibt sich:

$\frac{Z_x}{N_1} + \frac{Z_y}{N_1} + \frac{Z_z}{N_1} = 1 + k$

Multipliziert man Gleichung 2.8 mit N₁ und substituiert k durch N₂ / N₁, erhält man folgende Gleichung, die das Gleichgewicht der inneren und äußeren Kräfte verdeutlicht.

$Z_x + Z_y + Z_z = N_1 + N_{2 }$