La méthode d'intégration par défaut dans RFEM est une quadrature de Gauss-Lobatto avec neuf points d'intégration. Ce paramètre par défaut est suffisant dans la plupart des cas. Afin de représenter les diagrammes contrainte-déformation non linéaires avec une précision suffisante (par exemple, dans le cas du béton fibré), il peut être utile d'augmenter le nombre de points d'intégration. Par conséquent, lors de l'utilisation d' un matériau non linéaire , il est possible de personnaliser le nombre de points d'intégration dans chaque couche entre trois et 99 points (voir l'image Ajustement des points d'intégration pour les couches ). Veuillez cependant noter qu'un nombre plus élevé de points d'intégration engendre un temps de calcul plus long.
De plus, trois méthodes d'intégration différentes sont disponibles (voir l'image Spécification de la méthode d'intégration ) :
- Quadrature de Gauss-Lobatto
- Méthode de Simpson
- Méthode des trapèzes
Ces méthodes d'intégration, également appelées formules quadratiques, sont expliquées ci-dessous. En général, on peut supposer que la quadrature de Gauss-Lobatto avec un nombre fixe de points d'intégration fournit la plus grande précision sans augmenter considérablement l'effort de calcul. La règle trapézoïdale ou de Simpson' ne permet d'obtenir un meilleur résultat que dans des cas particuliers.
Formules du quadrature
Le but d'une formule quadrature est de calculer une approximation numérique d'une intégrale. Pour ce faire, des points d'appui sont sélectionnés dans le domaine d'intégration et les évaluations de fonction pondérées y sont ajoutées. Le calcul d'un moment est utilisé comme exemple pour les explications suivantes.
d étant la hauteur d'une couche dans une surface multicouche. Le programme essaie alors l'approche de l'intégrale comme suit :
Pour cela, n points de grille −d/2 ≤ z1 < z2 <. . . < zn ≤ d/2 sur la hauteur de la couche, ainsi que les poids scalaires ω1, . . . , ωn sont spécifiques à la formule de quadrature correspondante.
RFEM utilise toujours un nombre impair n = 2k + 1 de points de grille et au moins le haut, le milieu et le bas de la couche sont sélectionnés comme points d'intégration. Il en résulte donc z1 = -d/2, zk = 0 et zn = d/2. Ceci est nécessaire pour que les valeurs de contrainte à ces emplacements puissent être calculées précisément et affichées dans le programme. Si vous définissez un nombre pair de points de grille, le nombre non distribué le plus élevé est utilisé pour le calcul.
Le degré de précision d'une formule quadrature est donné dans son ordre p. Il s'agit du degré le plus élevé d'un polynôme, qui est exactement intégré.
Méthode des trapèzes
La règle des trapèzes est un exemple simple de formule des quadrature. Dans ce cas, les deux bords extérieurs du domaine d'intégration sont sélectionnés comme emplacements d'appui ; c'est-à-dire z1 = -d/2 et z2 = d/2. La règle trapézoïdale est du premier ordre, car les fonctions linéaires sont intégrées exactement, mais les fonctions quadratiques ne le sont pas.
Dans le cas de la variante de la règle trapézoïdale utilisée dans RFEM, si vous sélectionnez n points d'intégration, l'intervalle d'intégration est divisé de manière équidistante en n - 1 intervalles partiels et la règle trapézoïdale est appliquée à chacun.
La figure suivante montre un exemple de la règle trapézoïdale additionnée pour cinq points d'intégration.
Méthode de Simpson
La règle de Simpson's est une formule de quadrature du troisième ordre qui utilise trois points d'intégration, deux sur les bords et un au centre de la zone d'intégration. Les poids sont sélectionnés de sorte que la solution approximative corresponde à l'intégrale sur une parabole traversant ces trois points. Avec z1 = -d/2, z2 = 0 et z3 = d/2, on obtient la forme :
RFEM utilise également une quadrature composée. Si le nombre n impair de points d'appui est obtenu, (n - 1)/2 intervalles partiels de même longueur auxquels la règle de Simpson' peut être appliquée. La figure le montre à nouveau à titre d'exemple pour les cinq points d'intégration.
Quadrature de Gauss-Lobatto
Dans la quadrature de Gauss-Lobatto, les deux points de contour z1 = -d/2 et zn = d/2 sont toujours définis comme des emplacements d'appui et tous les autres points d'intégration sont sélectionnés de manière à obtenir le plus haut ordre possible. ce qui nous donne p = 2n − 3. Pour n = 3, la quadrature de Gauss-Lobatto est équivalente à la règle de Simpson's ; pour n = 5, par exemple :