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Dipl.-Ing. Frank Faulstich

14.12.2023

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Comportement non linéaire du matériau

Modèles de matériau

Lorsque le module complémentaire Comportement non linéaire du matériau est activé dans les Modell-Basisangaben (licence requise), d'autres modèles de matériau sont disponibles en plus des modèles Isotrope | Élastique linéaire et Orthotrope | Élastique linéaire dans la liste des modèles de matériau.

Modèle de matériau pour le module complémentaire Comportement non linéaire du matériau

Méthode de calcul

Lorsque vous utilisez un modèle de matériau non linéaire, un calcul itératif est toujours effectué. Selon le modèle de matériau, une relation différente entre les contraintes et les déformations est définie.

La rigidité des éléments finis est ajustée de manière répétée au cours des itérations jusqu'à ce que la relation contrainte-déformation soit respectée. L'ajustement s'effectue toujours pour un élément de surface ou de volume entier. Lors de l'évaluation des contraintes, il convient donc toujours d'utiliser le type de lissage Constant dans les éléments du maillage.

Lissage de résultats

Modèles de matériau plastiques et non linéaires élastiques

Certains modèles de matériau sont désignés dans RFEM comme « plastiques », d'autres comme « non linéaires élastiques ». Lorsqu'un élément structurel avec un matériau non linéaire élastique est à nouveau déchargé, la déformation revient sur le même chemin. Lors d'un déchargement complet, aucune déformation ne subsiste.

Diagramme contrainte-déformation, élastique non linéaire

Lors du déchargement d'un élément structurel avec un modèle de matériau plastique, une déformation subsiste après le déchargement complet.

Diagramme contrainte-déformation plastique

La charge et la décharge peuvent être simulées à l'aide du module complémentaire Analyse des phases de construction.

Astuce

Vous trouverez de plus amples informations sur les modèles de matériau non linéaires élastiques dans l'article technique Lois d'écoulement dans le modèle de matériau Isotrope non linéaire élastique.

Efforts internes de surface

Les efforts internes dans les dalles avec matériau non linéaire résultent de l'intégration numérique des contraintes sur l'épaisseur de la dalle. Pour définir la méthode d'intégration de l'épaisseur, cochez l'option Indiquer la méthode d'intégration dans la boîte de dialogue « Modifier l'épaisseur ». Les méthodes d'intégration suivantes sont alors disponibles :

Quadrature de Gauss-Lobatto
règle de Simpson
règle des trapèzes

Définir la méthode d’intégration pour l’épaisseur de surface

De plus, vous pouvez définir le « nombre de points d'intégration » sur l'épaisseur de la dalle de 3 à 99.

Astuce

Vous trouverez les bases théoriques des différentes méthodes d'intégration dans le manuel Surfaces multicouches.

Isotrope | Plastique (barres)

Si vous sélectionnez l'entrée Isotrope | Plastique (barres) dans la liste déroulante « Modèle de matériau », l'onglet de saisie des paramètres non linéaires du matériau devient actif.

Activer le modèle de matériau non linéaire

Définir les paramètres de matériau non linéaire

Dans cet onglet, vous définissez le diagramme contrainte-déformation. Les possibilités suivantes sont disponibles :

Standard
Bilinéaire
Diagramme

Si Standard est sélectionné, RFEM utilise un modèle de matériau bilinéaire. Les valeurs du module d'élasticité E et de la limite d'élasticité f_y sont prises de la bibliothèque de matériaux. Pour des raisons numériques, la branche n'est pas exactement horizontale, mais présente une faible pente E_p.

Si vous souhaitez modifier les valeurs de la limite d'élasticité et du module d'élasticité, activez dans l'onglet « Base » la case Matériau défini par l’utilisateur.

Activer le matériau défini par l’utilisateur

Avec la définition bilinéaire, vous pouvez également saisir la valeur de E_p.

Les relations plus complexes entre contrainte et déformation se définissent au moyen d'un diagramme contrainte-déformation. Si vous sélectionnez cette option, l'onglet « Diagramme contrainte-déformation » s'affiche.

Saisie d'un diagramme contrainte-déformation personnalisé

Saisie du diagramme contrainte-déformation personnalisé

Définissez dans chaque ligne un point de la relation contrainte-déformation. La manière dont le diagramme doit se poursuivre après le dernier point de définition peut être sélectionnée dans la liste « Fin du diagramme » située sous le diagramme :

Avancement après le dernier point de définition

Avec « Rupture », la contrainte revient à zéro après le dernier point de définition (par exemple lorsque le matériau se rompt). « Fluage » signifie que la contrainte reste constante avec l'augmentation de la déformation. « Continu » signifie que la courbe se poursuit avec la pente du dernier segment.

Informations

Dans ce modèle de matériau, le diagramme contrainte-déformation se réfère à la contrainte longitudinale σ_x. Des limites d'élasticité différentes pour la traction et la compression ne peuvent pas être prises en compte avec ce modèle de matériau.

Isotrope | Plastique (surfaces/solides)

Si vous sélectionnez l'entrée Isotrope | Plastique (surfaces/solides) dans la liste déroulante « Modèle de matériau », l'onglet de saisie des paramètres non linéaires du matériau devient actif.

Sélectionner le modèle de matériau plastique

Sélectionnez d'abord l'« hypothèse de rupture par contrainte ». Les hypothèses suivantes sont disponibles :

von Mises (hypothèse de l'énergie de déformation)
Tresca (hypothèse de cisaillement)
Drucker-Prager
Mohr-Coulomb

Définir le critère de rupture sous contrainte

Si vous sélectionnez von Mises, les contraintes suivantes sont utilisées dans le diagramme contrainte-déformation :

Surfaces

σ_{v} = \sqrt{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} - σ_{x} σ_{y} + 3 (τ_{xy}^{2})}

Contrainte équivalente à partir des contraintes de base selon von Mises

Solides

σ_{v, Mises} = \sqrt{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + σ_{z}^{2} - σ_{x} σ_{y} - σ_{x} σ_{z} - σ_{y} σ_{z} + 3 (τ_{xy}^{2} + τ_{xz}^{2} + τ_{yz}^{2})}

Contrainte équivalente σ_v,Mises issue des contraintes de base

σ_{v, Mises} = \sqrt{\frac{1}{2} [(σ_{1} - σ_{2})^{2} + (σ_{1} - σ_{3})^{2} + (σ_{2} - σ_{3})^{2}]}

Contrainte équivalente σ_v,Mises à partir des contraintes principales

Selon l'hypothèse de Tresca, ces contraintes sont utilisées :

Surfaces

σ_{v} = \sqrt{{(σ_{x} - σ_{y})}^{2} + 4 {τ_{xy}}^{2}}

Contraintes équivalentes selon Tresca

Solides

σ_{v, Tresca} = max (|σ_{1} - σ_{2}|; |σ_{2} - σ_{3}|; |σ_{3} - σ_{1}|)

Contrainte équivalente σ_v,Tresca

Selon l'hypothèse de Drucker-Prager, cette contrainte est utilisée pour les surfaces et les volumes :

σ_{v} = \frac{m - 1}{2} (σ_{1} + σ_{2} + σ_{3}) + \frac{m + 1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} [{(σ_{1} - σ_{2})}^{2} + {(σ_{2} - σ_{3})}^{2} + {(σ_{3} - σ_{1})}^{2}]}

m = \frac{σ_{c}}{σ_{t}}

σ_c	Contrainte limite en compression
σ_t	Contrainte limite pour la traction

Critère de rendement selon Drucker-Prager

Selon l'hypothèse de Mohr-Coulomb, la contrainte suivante est utilisée pour les surfaces et les volumes :

σ_{v} = \frac{m + 1}{2} \max \{|σ_{1} - σ_{2}| + K (σ_{1} + σ_{2}), |σ_{2} - σ_{3}| + K (σ_{2} + σ_{3}), |σ_{3} - σ_{1}| + K (σ_{3} + σ_{1})\}

K = \frac{m - 1}{m + 1}

m = \frac{σ_{c}}{σ_{t}}

Mohr-Coulomb

Isotrope | Non linéaire élastique (barres)

Le fonctionnement correspond en grande partie à celui du modèle de matériau [[#isotropicPlastic1dTab Isotrope | Plastique (barres)]. Toutefois, contrairement à celui-ci, aucune déformation plastique ne subsiste après la décharge.

Isotrope | Non linéaire élastique (surfaces/solides)

Le fonctionnement correspond en grande partie à celui du modèle de matériau [[#isotropicNonlinearElastic2dTab Isotrope | Plastique (surfaces/solides)]. Toutefois, contrairement à celui-ci, aucune déformation plastique ne subsiste après la décharge.

Isotrope | Endommagement (surfaces/solides)

Contrairement aux autres modèles de matériau, le diagramme contrainte-déformation de ce modèle de matériau n'est pas antisymétrique par rapport à l'origine. Ce modèle de matériau permet ainsi, par exemple, de représenter le comportement du béton fibré acier. Vous trouverez des indications détaillées sur la modélisation du béton fibré acier dans l'article technique Propriétés des matériaux du béton fibré acier.

Modèle de matériau « Isotrope | Endommagement »

La rigidité isotrope est réduite au moyen d'un paramètre d'endommagement scalaire. Ce paramètre d'endommagement se détermine à partir du parcours de la contrainte définie dans le diagramme. La direction des contraintes principales n'est pas prise en compte ; l'endommagement s'effectue plutôt dans la direction de la déformation équivalente, qui englobe également la troisième direction perpendiculaire au plan. Le domaine de traction et de compression du tenseur de contrainte est traité séparément. Des paramètres d'endommagement différents s'appliquent dans chaque cas.

La « taille de référence de l'élément » contrôle la manière dont la déformation dans la zone de fissuration est mise à l'échelle sur la longueur de l'élément. Avec la valeur prédéfinie zéro, aucune mise à l'échelle n'a lieu. Cela permet de représenter de manière réaliste le comportement du matériau du béton fibré acier.

Astuce

Vous trouverez les bases théoriques du modèle de matériau « Isotrope Endommagement » dans l'article technique Modèle de matériau non linéaire Endommagement.

Orthotrope | Endommagement anisotrope

Les matériaux bois présentent des propriétés dépendantes de la direction (anisotropes). Les directions principales anisotropes suivent la direction du fil, la direction radiale et la direction tangentielle. Dans l'onglet Orthotrope | Endommagement anisotrope, vous pouvez définir les propriétés non linéaires.

Modèle de matériau 'Orthotrope | Endommagement anisotrope'

Ce modèle de matériau met en œuvre un modèle d'endommagement avec huit critères d'échec pour le bois. Le bois se comporte de manière quasi fragile en traction et en cisaillement, et de manière ductile en compression. Il fait rupture dans les plans définis par le parcours du fil. Le modèle d'endommagement selon Sandhaas [2] décrit huit critères d'échec distincts (un par quadrant de la zone de contrainte), qui contrôlent neuf facteurs de réduction de rigidité.

L'axe local x suit la direction du fil, l'axe y la direction radiale et l'axe z la direction tangentielle. Chaque critère est une fonction de contrainte F qui atteint la valeur 1 au début de l'endommagement. Quatre d'entre eux sont des critères simples de contrainte maximale. Les quatre critères de traction transversale et de cisaillement sont elliptiques : la rupture fragile (fissuration) est déclenchée par une traction dans le plan respectif.

Saisissez les résistances limites du matériau ainsi que l'énergie de rupture en traction et l'énergie de rupture en cisaillement pour chaque direction.

Informations

Contrairement au modèle de matériau Orthotrope | Plastique, les efforts ne sont pas redistribués, mais découplés par la rupture du plan du fil. Cela permet de représenter le comportement de fissuration du bois. Les déformations sont en général plus faibles.

Déformations pour les modèles de matériau Orthotrope | Plastique (à gauche) et Orthotrope | Endommagement anisotrope (à droite)

Déformations avec modèle de matériau Orthotrope | Plastique (à gauche) et Orthotrope | Endommagement anisotrope (à droite)

Orthotrope | Plastique (surfaces) / Plastique (solides)

Le modèle de matériau selon Tsai-Wu réunit des propriétés plastiques et orthotropes. Cela permet des modélisations spéciales de matériaux à caractéristique anisotrope comme les plastiques renforcés de fibres ou le bois.

Lors de la plastification du matériau, les contraintes restent constantes. Une redistribution a lieu en fonction des rigidités présentes dans les différentes directions.

Modèle de matériau « Orthotrope | Plastique (Surfaces) »

Modèle de matériau « Orthotrope | Plastique (Solide) »

Le domaine élastique correspond au modèle de matériau Élastique linéaire (solides). Pour le domaine plastique s'applique la condition d'écoulement suivante selon Tsai-Wu :

Surfaces

σ_{x} [\frac{1}{f_{t, x}} - \frac{1}{f_{c, x}}] + \frac{{σ_{x}}^{2}}{f_{t, x} f_{c, x}} +

σ_{y} [\frac{1}{f_{t, y}} - \frac{1}{f_{c, y}}] + \frac{{σ_{y}}^{2}}{f_{t, y} f_{c, y}} +

\frac{{τ_{xy}}^{2}}{{f_{v, xy}}^{2}} - {[\frac{1}{f_{t, x}} + \frac{1}{f_{c, x}}]}^{2} \frac{E_{x} E_{p, x}}{E_{x} - E_{p, x}} α \leq 1

α = \sum_{i} ∆ γ_{i}

Tsai-Wu, état de contrainte planaire

Solides

σ_{x} [\frac{1}{f_{t, x}} - \frac{1}{f_{c, x}}] + \frac{{σ_{x}}^{2}}{f_{t, x} f_{c, x}} +

σ_{y} [\frac{1}{f_{t, y}} - \frac{1}{f_{c, y}}] + \frac{{σ_{y}}^{2}}{f_{t, y} f_{c, y}} +

σ_{z} [\frac{1}{f_{t, z}} - \frac{1}{f_{c, z}}] + \frac{{σ_{z}}^{2}}{f_{t, z} f_{c, z}} +

\frac{{τ_{yz}}^{2}}{{f_{v, yz}}^{2}} + \frac{{τ_{xz}}^{2}}{{f_{v, xz}}^{2}} + \frac{{τ_{xy}}^{2}}{{f_{v, xy}}^{2}} -

{[\frac{1}{f_{t, x}} + \frac{1}{f_{c, x}}]}^{2} \frac{E_{x} E_{p, x}}{E_{x} - E_{p, x}} α \leq 1

α = \sum_{i} ∆ γ_{i}

Tsai-Wu, état de contrainte spatiale

Toutes les résistances doivent être définies de manière positive.

La condition d'écoulement peut être imaginée comme une surface ellipsoïdale dans l'espace de contrainte à six dimensions. Si l'une des trois composantes contrainte est supposée constante, la surface peut être projetée dans un espace de contrainte tridimensionnel.

Si la valeur de f_y(σ) selon l'équation Tsai-Wu, état de contrainte plane est inférieure à 1, les contraintes se situent dans le domaine élastique. Le domaine plastique est atteint dès que f_y(σ) = 1. Les valeurs supérieures à 1 sont inadmissibles. Le modèle se comporte de manière parfaitement plastique, c'est-à-dire qu'aucun raidissement n'a lieu.

Orthotrope | Plastique | Soudure (surfaces)

Ce modèle de matériau est utilisé pour les analyses avec le module complémentaire Assemblages en acier, afin de représenter le comportement des soudures conformément aux normes. Dans la surface équivalente, seules apparaissent des contraintes correspondant aux composantes contrainte σ_⊥, τ_⊥ et τ_|| de la soudure. Dans les autres directions de contrainte, la rigidité de la surface équivalente tend vers zéro.

Modèle de matériau « Orthotrope | Plastique | Soudure (Surfaces) »

Dans l'onglet « Orthotrope | Plastique | Soudure (surfaces) », vous pouvez définir les paramètres pour la prise en compte de l'écrouissage plastique des soudures, par exemple les valeurs limites f_ekv et f_x pour l'analyse des contraintes selon la « méthode directionnelle » conformément à l'EN 1993-1-8 [1] pour les soudures, modifiée par une part plastique (voir également l'article technique Vérification des soudures d’angle).

Béton

Pour le type de matériau « Béton », les modèles de matériau non linéaires Anisotrope | Endommagement et Isotrope | Endommagement (surfaces/solides) sont disponibles.

Modèles de matériau pour le béton

Ces modèles de matériau sont décrits dans le chapitre Anisotrope | Endommagement du manuel Béton respectivement ci-dessus dans la section Endommagement (surfaces/solides).

Maçonnerie

Lorsque le module complémentaire de vérification Vérification de la maçonnerie est activé dans les Modell-Basisangaben (licence requise), les modèles de matériau non linéaires Isotrope | Maçonnerie | Plastique (surfaces) et Orthotrope | Maçonnerie | Plastique (surfaces) sont disponibles pour le type de matériau « Maçonnerie ».

Modèles de matériaux pour la maçonnerie

Les deux modèles de matériau sont décrits dans le chapitre Matériaux du manuel Maçonnerie.

Textile

La bibliothèque de matériaux contient deux séries pour le type de matériau « Textile » :

Verre-PTFE : tissu en verre revêtu de polytétrafluoroéthylène (PTFE)
PES-PVC : tissu en polyester revêtu de chlorure de polyvinyle (PVC)

Informations

Pour les couches telles que l'ETFE, le type de matériau « Couche » est prévu.

Pour les matériaux textiles, en plus du modèle de matériau linéaire orthotrope, le modèle de matériau non linéaire Orthotrope | Textile | Non linéaire élastique (surfaces) est disponible.

Modèles de matériau pour textiles

Ce modèle de matériau permet une représentation réaliste du comportement orthotrope des membranes textiles précontraintes, dont les rigidités sont différentes dans le gauchissement et la trame. Il décrit le tissu au moyen d'un élément de volume représentatif (RVE) de sa microstructure. Grâce à la prise en compte de la géométrie du tissu, le modèle capture pour tous les états d'effort dans la membrane l'effet de coefficient de Poisson associé. Comme le développement de rigidité du tissu dépendant de la charge est également pris en compte, une analyse précise des structures à membrane est possible.

Les valeurs caractéristiques des textiles sont déterminées lors d'essais biaxiaux, dont résultent les modules d’élasticité E_x et E_y ainsi que le module de cisaillement G_xy. Le couplage entre la direction du gauchissement et celle de la trame provient toutefois de la géométrie des fils : sous charge, l'ondulation des fils change dans les deux directions. Cet effet est désigné en anglais par crimp interchange. Le modèle de matériau déduit donc la réponse du matériau à partir d'une cellule unitaire de la structure du tissu. Cette cellule unitaire capture également sa propre non-linéarité géométrique. Les coefficients de Poisson ne sont pas utilisés dans ce modèle. Le couplage des deux directions s'effectue via le paramètre R de la cellule unitaire.

Comme pour tous les modèles de matériau non linéaires élastiques, la déformation revient sur le même chemin lors de la décharge. Le calcul s'effectue de manière itérative.

Modèle de matériau 'Orthotrope | Textile | Non-linéaire élastique (Surfaces)'

Sélectionnez dans la liste « Structures de tissu » le type de fabrication du tissu. Deux possibilités sont disponibles :

Toile simple
Toile Panama

Saisissez le module d’élasticité dans la direction x (gauchissement) et dans la direction y (trame). Comme les modules de cisaillement G_yz et G_xz sont toujours nuls pour les tissus, seul le champ de saisie G_xy est proposé pour le coefficient de Poisson dans le plan du tissu. Ce module de cisaillement peut également être nul.

Le paramètre R décrit le rapport entre la hauteur et la longueur de l'élément de volume représentatif (RVE). Cette valeur doit se situer entre 0 et 1.

R = \frac{h_{0}}{l_{0}}

h₀	Hauteur de la maille élémentaire perpendiculairement au plan de la membrane
l₀	Longueur de la maille élémentaire

Paramètre R de la cellule unitaire

Pour les matériaux de la bibliothèque, R = 0,25 est prédéfini et, comme les autres valeurs caractéristiques, non modifiable. Pour un matériau défini par l’utilisateur, vous pouvez adapter R.

Si nécessaire, adaptez les coefficients de dilatation thermique du tissu α_x dans la direction du gauchissement et α_y dans la direction de la trame. Ils peuvent également être nuls.

Dans l'onglet « Propriétés de matériau », les valeurs caractéristiques d'un tissu sont indiquées comme il est d'usage dans le secteur des membranes. La direction x correspond à la direction du gauchissement, la direction y à la direction de la trame.

Onglet « Valeurs de matériaux »

Épaisseur du tissu

L'épaisseur d'une membrane est très faible et difficile à déterminer de manière univoque. Dans le secteur des membranes, les rigidités et résistances sont donc indiquées par rapport à la largeur, par exemple en kN/m. RFEM reprend cette convention et convertit les valeurs en grandeurs des contraintes via l'épaisseur de référence t_ref.

E_{x} = \frac{E_{x, MV}}{t_{ref}} E_{y} = \frac{E_{y, MV}}{t_{ref}} G_{x y} = \frac{G_{x y, MV}}{t_{ref}}

E_x,MV / E_y,MV / G_xy,MV	Rigidités dans l'onglet 'Propriétés de matériau'
t_ref	Épaisseur de référence

Conversion des rigidités

Ces valeurs apparaissent dans l'onglet Propriétés de matériau. Si vous attribuez un tissu à une épaisseur, RFEM reprend l'épaisseur de référence t_ref du matériau comme épaisseur d.

La rigidité membranaire E_x · t_ref correspond à la valeur rapportée à la largeur de la bibliothèque. Les déformations et les efforts de membrane tels que n_x et n_y en kN/m ne dépendent donc pas de la valeur numérique de l'épaisseur de référence, tant que toutes les valeurs caractéristiques se rapportent à la même épaisseur de référence. Les contraintes, en revanche, se rapportent à l'épaisseur de référence.

Informations

Les résistances f_x,k,23 et f_y,k,23 ainsi que le grammage m_s n'ont aucune influence sur le calcul. Les résistances sont disponibles pour les vérifications.

Si vous modifiez l'épaisseur de référence dans l'onglet « Propriétés de matériau » pour un matériau défini par l’utilisateur, cela affecte les valeurs dans l'onglet du modèle de matériau. Définissez donc d'abord l'épaisseur de référence, puis les rigidités.

Remarques sur la recherche de forme et la vérification

Le processus de recherche de forme est indépendant du matériau. Les valeurs caractéristiques du tissu n'ont aucune influence sur la forme trouvée. Elles n'affectent que le calcul ultérieur sous charge. Les bases sont décrites dans le chapitre Processus de recherche de forme du manuel Recherche de forme.

Astuce

Les structures à membrane se comportent de manière fortement non linéaire. Si le calcul ne converge pas, vérifiez d'abord le modèle : toutes les surfaces membranaires et câbles doivent présenter une charge de recherche de forme, et tous les bords de membrane doivent être maintenus par des câbles ou des appuis linéiques.

Une précontrainte orthotrope constante n'est physiquement pas réalisable pour les surfaces doublement courbées. Si vous combinez, avec la méthode par défaut, une précontrainte orthotrope avec un très grand nombre d'itérations de recherche de forme, des glissements tangentiels dans le plan de la membrane, un diagramme de convergence irrégulier et de grandes déformations dans le plan peuvent apparaître. Ce comportement est indépendant du modèle de matériau. Utilisez le nombre d'itérations prédéfini ou sélectionnez la méthode de projection.

Références

Comité Européen de normalisation. (2009). Eurocode 3 : Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten – Teil 1-8: Bemessung von Anschlüssen. Beuth Verlag GmbH, Berlin, 2010
Sandhaas, C. (2012). Comportement mécanique des assemblages bois avec tôles acier rapportées. Thèse de doctorat, TU Delft.

Chapitre parent

Matériaux

Webinaire

Modèles

1903x

143x

Analyse non linéaire des matériaux

1120x

63x

Modèle de matériau de Tsai-Wu | Orthotrope élastique-plastique

1718x

125x

Angle de portique