Elementos finitos desde el punto de vista topológico

Utilizando RFEM, tienes la capacidad de analizar varios componentes estructurales como elementos de barras, placas, muros, superficies y sólidos. Antes de realizar cualquier cálculo, es necesario generar una malla de elementos finitos (EF) que corresponda a los elementos deseados en 1D, 2D y 3D.

El análisis por EF implica descomponer el sistema estructural en subsistemas más pequeños, cada uno representado por elementos finitos. Se establecen condiciones de equilibrio para cada uno de estos elementos. Este proceso lleva a la formulación de un sistema lineal de ecuaciones con numerosas variables desconocidas. La precisión de los resultados está directamente influenciada por el nivel de refinamiento en el tamaño de la malla de los elementos finitos. Es importante señalar que una malla más fina mejora la precisión, pero también aumenta significativamente el tiempo de cálculo debido a la mayor cantidad de datos que se procesan. Esto se debe a que se deben resolver ecuaciones adicionales para cada nodo adicional del FE.

Afortunadamente, la malla FE se genera automáticamente por el software. No obstante, existen opciones que proporcionan control sobre el proceso de generación de malla.

Elementos 1D

En cuanto a los elementos de barras, se asume que la sección transversal mantiene su forma plana durante la deformación. Se emplean elementos de barras 1D para representar vigas, celosías, nervaduras, cables y conexiones rígidas. Cada elemento de barra 1D abarca un total de doce grados de libertad: seis en su punto de inicio y seis en su punto terminal. Estos grados de libertad se refieren a desplazamientos (u_x, u_y, u_z) y rotaciones (φ_x, φ_y, φ_z).

Si se activa el complemento de alabeo torsional, hay un grado de libertad adicional disponible en cada nodo, que se puede usar para considerar el alabeo.

En el contexto del análisis estructural lineal, la tensión, compresión y torsión se expresan como funciones lineales a lo largo del eje del elemento (x), independientes de los efectos de flexión y cortante. Esta representación aproxima estos efectos utilizando un polinomio de tercer orden en x, que también tiene en cuenta la influencia de las tensiones de corte resultantes de las fuerzas de corte V_y y V_z. La matriz de rigidez K_L(12, 12) caracteriza el comportamiento lineal de estos elementos 1D. Además, para escenarios que involucren problemas geométricamente no lineales donde la fuerza axial interactúa con la flexión, se emplea la matriz de rigidez K_NL(12, 12).

Para cálculos precisos en casos que involucren deformaciones significativas, se aconseja mejorar la precisión de la malla de elementos finitos (EF) para líneas, como se detalla en el Capítulo Refinamientos de Malla de Línea de la documentación.

Elementos 2D

Comúnmente, los elementos cuadriláteros sirven como componentes 2D en el análisis estructural. El proceso de generación de malla introduce elementos triangulares donde son necesarios. Los grados de libertad asociados con los nodos esquina de tanto elementos cuadriláteros como triangulares se alinean con los de los elementos 1D, abarcando el desplazamiento (u_x, u_y, u_z) y la rotación (φ_x, φ_y, φ_z). Este arreglo asegura la compatibilidad entre elementos 1D y 2D en los nodos. Inicialmente, los parámetros se definen en el sistema de coordenadas planares locales de los elementos y posteriormente se transforman al sistema de coordenadas global durante la creación de la matriz de rigidez global.

Elementos de cáscara (2D) en RFEM

Los elementos de superficie plana se basan en la teoría de Mindlin/Reissner. La representación gráfica en la figura ilustra los enfoques de los elementos. Para vincular directamente con elementos de barras, se adopta un enfoque cuadrado dentro del plano de la superficie (u_x, u_y). Esta elección elimina nodos intermedios, resultando en un elemento de cuatro nodos con un grado de libertad adicional φ_x. Esta configuración facilita el acoplamiento directo entre elementos de muro y elementos de viga. Además, se emplean elementos MITC4 (Mezcla de Interpolación de Tensores de Componentes), como fue introducido por Dvorkin y Bathe [1]. Se basan en una técnica de interpolación mixta que abarca deformaciones transversales, rotaciones de sección transversal y deformaciones de corte transversales.

Actualmente, los elementos de barras son tratados resolviendo directamente la ecuación diferencial del análisis de segundo orden. Sin embargo, al usar la torsión de Saint Venant, no se tienen en cuenta los efectos de alabeo. El análisis de membranas se basa en los principios de Bergan. Por ejemplo, los elementos triangulares se definen descomponiendo las funciones fundamentales en tres deformaciones de cuerpo rígido, tres condiciones de deformación constante y tres gradientes lineales específicos de tensión y deformación. Dentro de un elemento, el campo de deformación muestra un comportamiento cuadrático, mientras que el campo de tensión mantiene linealidad. La matriz de rigidez del elemento K_L se transforma posteriormente en nueve parámetros combinados de los tipos u_x, u_y, φ_z. Estos componentes de la matriz se incorporan a la matriz de rigidez general (18, 18), junto a los componentes que contribuyen a efectos de flexión y corte, resultando en el concepto Lynn/Dhillon.

Posteriormente, el análisis involucra la aplicación de placas de Mindlin, donde se analizan placas con distorsiones de cizalladura distintivas utilizando los principios de Timoshenko. Esto permite que RFEM resuelva correctamente problemas relacionados tanto con placas gruesas como delgadas (placas de Navier). En los casos de problemas geométricamente no lineales, la división de las condiciones de tensión-deformación en un estado planar y flexión con interacciones de corte no es factible. Las interacciones entre estos estados se consideran a través de la matriz K_NL. RFEM utiliza una versión simplificada pero efectiva de la matriz K_NL, influenciada por los enfoques de Zienkiewicz. Se emplea el componente cuadrado ε₂ del tensor de deformación de Green/Lagrange ε = ε₁ + ε₂. Se asume una distribución lineal de u_z(x, y) bajo la condición de tensión planar y distribuciones lineales de u_x(x, y) y u_y(x, y) durante la interacción de flexión. Esta suposición es válida debido al impacto principal de la interacción que depende de la primera derivada de la ecuación diferencial y la rápida reducción en la influencia de componentes de orden superior con divisiones más pequeñas de los elementos. Numerosos análisis numéricos han validado la corrección de este enfoque.

Al tratar con elementos de superficie, es esencial que el grosor de los elementos sea significativamente menor que su extensión. Si no se cumple esta condición, se aconseja modelar los objetos como sólidos. Además, al utilizar elementos de superficie, debe ejercerse una introducción gradual de tensiones torsionales, ya que el grado de libertad rotacional sobre la normal de la superficie es altamente sensible.

Elementos 3D

Los siguientes elementos 3D se implementan en RFEM: tetraedro, pentaedro (prisma, pirámide) y hexaedro. Información detallada sobre los elementos aplicados y las matrices puede encontrarse en Sevčík Elementos Finitos 3D con Grados de Libertad Rotacionales (en checo, disponible a petición en Dlubal Software).

Elemento sólido (hexaedro)

Generalmente, todos los grados de libertad rotacionales deben considerarse críticos para los sólidos. Como la deformación de un sólido se determina únicamente a partir de los vectores de desplazamiento, la rotación de un nodo de la malla, por ejemplo, debido a una torsión introducida singularmente, no afecta la deformación dentro del sólido.