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Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

06-05-2026

Pandeo lateral torsional en estructuras de madera | Ejemplos 2

En el artículo anterior Pandeo lateral-torsional en construcciones de madera | Ejemplos 1 se explicó la aplicación práctica para la determinación del momento crítico de flexión M_crit o bien de la tensión crítica de flexión σ_crit para el vuelco de una viga a flexión mediante ejemplos sencillos. En este artículo se determina el momento crítico de flexión teniendo en cuenta una base elástica, resultante de un arriostramiento.

Inestabilidad lateral-torsional en construcción de madera - Ejemplos 1

Modelo estático

Para el sistema representado en la siguiente figura, se debe estudiar el pandeo lateral de las vigas. En el plano de la cubierta hay seis vigas como vigas paralelas con una longitud de 18 m y dos arriostramientos. Las vigas de los hastiales están apoyadas por pilares y no se consideran para el cálculo. Sobre las vigas actúa una carga de dimensionamiento q_d de 10 kN/m. Se trata, en primer lugar, de determinar el momento crítico de pandeo lateral-torsional. No se aborda más el estado límite último ni el estado límite de servicio.

1 Modelo estático

Datos del modelo

GL24h	-	-	Material según EN 14080
L	18	m	Longitud de la viga
b	120	mm	Ancho de la viga
h	1.200	mm	Altura de la viga
I_z	172.800.000	mm⁴	Momento de inercia
I_T	647.654.753	mm⁴	Momento de inercia torsional
q_d	10	kN/m	Carga de dimensionamiento
a_z	600	mm	Posición de la carga
e	600	mm	Posición del apoyo

Información

Aunque en las siguientes ecuaciones para E y G no se indica explícitamente en el índice la referencia a los valores del cuantil del 5 %, estos se han tenido en cuenta correspondientemente.

Viga biapoyada de un solo vano sin apoyos intermedios

Viga de un solo tramo con apoyo articulado en ambos extremos sin apoyos intermedios

2 Viga de un solo vano con apoyo en horquilla sin apoyos intermedios

Por completitud, primero se analiza la viga sin sujeción lateral (véase la figura 02). La longitud equivalente de barra resulta, con una aplicación de la carga en la parte superior de la viga, para a₁ = 1,13 y a₂ = 1,44, en:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 17, 79 m

l_ef	Longitud de barra equivalente
L	Longitud de la viga, distancia del apoyo lateral
a₁,a₂	Coeficientes de pandeo lateral
a_z	Distancia entre la línea de acción de la carga y el centro de cortante
E_0,05	5 % cuantil del módulo de elasticidad
G_0,05	5 % cuantiles del módulo de corte
I_z	Momento de inercia respecto al eje débil
I_T	Momento de inercia torsional

Longitud de barra equivalente

El momento crítico de flexión puede calcularse a continuación como sigue:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 134, 52 kNm

M_crit	Momento crítico de flexión
E_0,05	5 % cuantil del módulo de elasticidad
G_0,05	5 % cuantil del módulo de corte
I_z	Momento de inercia respecto al eje débil
I_T	Momento de inercia torsional
l_ef	Longitud de barra de sustitución

Momento crítico de flexión

En estos ejemplos se prescinde de un incremento del producto de los cuantiles del 5 % de los parámetros de rigidez debido a la homogenización de vigas de madera laminada encolada.

El momento flector que actúa sobre las vigas resulta:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8} = 405, 00 kNm

M_d	Momento de diseño
q_d	Carga de cálculo
L	Longitud de la barra

Momento de diseño

El análisis modal entrega como resultado un factor de carga de bifurcación de 0,32. De ello resulta el momento crítico de flexión

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 0, 32 \cdot 405, 00 kNm = 136, 39 kNm

Momento crítico de pandeo lateral-torsional del solucionador de autovalores

y, por tanto, es idéntico al resultado de la solución analítica.

Detalle de verificación con salida del factor de carga crítico y del momento flector crítico

3 Detalle de comprobación con salida del factor de carga crítico y del momento flector crítico

Tal como era de esperar para esta viga esbelta no arriostrada, el momento flector actuante es mayor (por un factor 3) que el momento crítico de flexión, y la viga no está suficientemente удержada contra el vuelco. Sin embargo, un arriostramiento debe contrarrestarlo, y ahora se tendrá en cuenta para el cálculo.

Viga biapoyada de un solo vano con apoyos intermedios rígidos

Viga de un solo vano con apoyos intermedios rígidos y apoyada en horquillas

4 Viga de una sola luz apoyada con horquillas con apoyos intermedios rígidos

Si el arriostramiento es lo suficientemente rígido, en la práctica a menudo se utiliza la distancia entre los apoyos laterales (por ejemplo, mediante correas) como longitud equivalente de barra para la comprobación de vuelco. Este procedimiento ya se mostró en el artículo anterior Inestabilidad lateral-torsional en construcción de madera | Ejemplos 1.

Pandeo lateral en estructuras de madera | Ejemplos 1

Por tanto, se utiliza L = 2,25 m. Para a₁ = 1,00 y a₂ = 0,00 resulta:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 2, 25 m

l_ef	Longitud de barra equivalente
L	Longitud de la viga, distancia del soporte lateral
a₁,a₂	Coeficientes de pandeo lateral
a_z	Distancia de la aplicación de la carga al centro de cortante
E_0,05	5 % cuantil del módulo de elasticidad
G_0,05	Quintil del 5 % del módulo de cortante
I_z	Momento de inercia respecto al eje débil
I_T	Momento de inercia torsional

Longitud de barra de sustitución

Para el momento crítico de flexión se obtiene:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Momento crítico de pandeo lateral-torsional
E_0,05	5 % de cuantil del módulo de elasticidad
G_0,05	5 % cuantil del módulo de cortante
I_z	Momento de inercia respecto al eje débil
I_T	Momento de inercia a torsión
l_ef	Longitud de barra equivalente

Momento crítico de flexión

Dado que el momento flector que actúa sobre la viga es menor que el momento crítico de flexión, la viga no presenta riesgo de vuelco bajo la hipótesis de apoyos intermedios rígidos.

El análisis modal con el Add-On Cálculo de madera proporciona como resultado un factor de carga de bifurcación de 2,86. De ello resulta el momento crítico de flexión

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 2, 86 \cdot 40, 50 kNm = 1.158, 92 kNm

M_crit	Momento crítico de pandeo lateral-torsional
α	Factor de carga de bifurcación
M_d	Momento de dimensionamiento

Momento crítico de pandeo lateral-torsional

5 Detalle de comprobación con salida del factor de carga crítico y del momento flector crítico

También aquí ambos procedimientos coinciden muy bien.

Viga biapoyada de un solo vano con apoyo elástico de barra

Viga de un solo vano articulada con apoyo elástico de barra

6 Viga de un solo vano con apoyo articulado y lecho de barras elástico

Tal como se explica en Inestabilidad lateral-torsional en construcción de madera - Teoría, en [1 ] la determinación de la longitud equivalente de barra para barras apoyadas elásticamente se amplía con los factores α y β.

De este modo es posible tener en cuenta la rigidez a cortante de un arriostramiento para el vuelco de las vigas.

Rigidez a cortante del arriostramiento de cubierta

La determinación de la rigidez a cortante del arriostramiento puede realizarse, por ejemplo, según [2] figura 6.34. Como puede observarse, esta depende del tipo de arriostramiento, de la rigidez axial de las diagonales y de los montantes, de la inclinación de las diagonales y de la deformabilidad de los elementos de unión. Para el arriostramiento representado en la figura 01, la rigidez a cortante resulta:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Rigidez al cortante ideal del sistema de arriostramiento
E_D	5 % de cuantil del módulo de elasticidad de las diagonales
A_D	Área de la sección transversal de las diagonales
α	Ángulo entre la diagonal y los cordones

Rigidez a cortante ideal de los arriostramientos de rigidización

Aquí E_D es el módulo de elasticidad de las diagonales y A_D su área de sección transversal. Sin embargo, la ecuación anterior no incluye la deformabilidad de los elementos de unión de las diagonales. Esta y el alargamiento de las diagonales pueden tenerse en cuenta mediante un área de sección ficticia A_D'. Resulta:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Rigidez cortante ideal del arriostramiento
E_D	5 % cuantil del módulo de elasticidad de las diagonales
A_D'	Área de sección ficticia de las diagonales
α	Ángulo entre la diagonal y los cordones

Rigidez ideal al cortante del arriostramiento

con

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}} = 12.548 {mm}^{2}

A_D'	Área ficticia de la sección transversal de las diagonales
A_D	Área de la sección transversal de las diagonales
E_D	5 % cuantil del módulo de elasticidad de las diagonales
L_D	Longitud de las diagonales
K_ser	Módulo de desplazamiento de la conexión

Área ficticia de la sección de las diagonales

Las diagonales tienen una dimensión b/h = 120/200 mm y una longitud L_D de 4,59 m. El módulo de deslizamiento de la unión en cada lado de las diagonales debe ser 110.000 N/mm.

La superficie teórica es por tanto

A_D' = 12.548 mm²

y, con ello, la rigidez a cortante de un arriostramiento, con un ángulo de las diagonales respecto al cordón de 60,64 °,

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Rigidez cortante ideal del arriostramiento
E_D	5 % cuantil del módulo de elasticidad de las diagonales
A_D'	Área de sección ficticia de las diagonales
α	Ángulo entre la diagonal y los cordones

Rigidez ideal al cortante del arriostramiento

El apoyo de barra por arriostramiento puede transformarse de ello según [2] fórmula 7.291 como sigue:

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Apoyo elástico de barras por arriostramiento
s_id	Rigidez cortante ideal del arriostramiento
L	Longitud del arriostramiento

Cimentación de barra elástica por arriostramiento

Para dos arriostramientos y seis vigas está disponible por viga la siguiente constante elástica:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6} = 455, 6 kN / m^{2} = 0, 456 N / {mm}^{2}

K_y	Arriostramiento elástico por viga
K_y'	Alojamiento elástico de barra por arriostramiento

Alojamiento elástico de barra por viga

Bajo la condición de que K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 y a₂ = 1,44, la longitud equivalente de barra resulta:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β} = 0, 13 m

l_ef	Longitud de barra equivalente
L	Longitud de la viga, distancia del soporte lateral
a₁,a₂	Coeficientes de pandeo lateral
a_z	Distancia del punto de aplicación de la carga al centro de cortante
E_0,05	Percentil del 5 % del módulo de elasticidad
G_0,05	5 % cuantiles del módulo de cortante
I_z	Momento de inercia respecto al eje débil
I_T	Momento de inercia torsional
α, β	Coeficientes para tener en cuenta un empotramiento de barra

Longitud de barra equivalente

El momento crítico de flexión resulta así en un valor utópico de:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 18.482, 84 kNm

M_crit	Momento crítico de flexión
E_0,05	5 % cuantiles del módulo de elasticidad
G_0,05	5 % cuantil del módulo de corte
I_z	Momento de inercia respecto al eje débil
I_T	Momento de inercia a torsión
l_ef	Longitud de barra equivalente

Momento crítico de flexión

Cabe esperar un valor similar al del sistema con apoyos intermedios rígidos.
Como se explica en Inestabilidad lateral-torsional en construcción de madera - Teoría, la aplicación de la fórmula ampliada con α y β está limitada en su uso.

En sentido estricto, solo es válida cuando existe una deformación en un gran arco sinusoidal. Es decir, cuando el apoyo es muy flexible. Esto ya no se da en este ejemplo. Las formas propias multionda, que para constantes elásticas mayores conducen a la menor carga de bifurcación, no están contempladas en dicha ecuación, ya que esta se basa en aproximaciones sinusoidales de una sola onda.

Como puede verse en la figura 7, el análisis modal da como resultado una forma propia multionda con un factor de carga de bifurcación de 3,49.

Resultado del análisis de valores propios para la viga de un solo vano con apoyo articulado y lecho de barras elástico

7 Resultado del análisis de autovalores para la viga de un solo vano con apoyos articulados y lecho de barras elástico

Para comparación, puede aplicarse el procedimiento derivado por el Prof. Dr. Heinrich Kreuzinger (2020). El momento crítico de flexión se calcula como sigue:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Momento crítico de flexión
a_z	Distancia de la aplicación de la carga al centro de cortante
e	Distancia del apoyo de la barra al centro de cortante
K_y	Empotramiento elástico de barras por cercha
L	Longitud de la viga
n	n-ésima solución propia
E_0,05	5 % cuantil del módulo de elasticidad
I_z	Momento de inercia respecto al eje débil
G_0,05	Percentil del 5 % del módulo de corte
I_T	momento de inercia torsional

Momento flector crítico

La constante n identifica la 1.ª, 2.ª, 3.… solución propia. Por tanto, deben examinarse varias soluciones propias y de ellas se obtiene el menor momento crítico de flexión. Para n = 1…30 se obtienen los siguientes momentos críticos de flexión.

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

Para n = 6, M_crit es mínimo y vale 1.282,70 kNm.

La solución modal del Add-On Cálculo de madera (véase la figura 7) da:

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 3, 49 \cdot 40, 50 kNm = 1.413, 71 kNm

M_crit	Momento crítico de pandeo lateral-torsional
α	factor de carga de bifurcación
M_d	Momento de dimensionamiento

Momento crítico de pandeo lateral-torsional

Ambos resultados muestran una buena concordancia. Sin embargo, la solución analítica está del lado seguro, ya que en este procedimiento se parte de forma simplificada de una distribución constante del momento flector. Al momento crítico constante M_crit se le asigna entonces una carga crítica q_crit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Carga crítica
M_crit	Momento crítico de pandeo lateral-torsional
L	Longitud de la barra

Carga crítica

Dado que el apoyo de barra en este ejemplo puede considerarse muy rígido y se distribuye de forma constante a lo largo de la viga, se obtienen momentos críticos de flexión ligeramente mayores que en el caso del apoyo individual rígido.

Verificación de deformación del arriostramiento de cubierta

Según [3] capítulo 9.2.5.3 (2), los arriostramientos deben ser tan rígidos que el desplazamiento horizontal no supere L/500. El cálculo debe realizarse con los valores de dimensionamiento de las rigideces (véase [1] capítulo NCI Zu 9.2.5.3).

Para k_crit = 0,195, H = 5 m y q_p = 0,65 kN/m² como presión de velocidad de ráfaga se obtienen las siguientes cargas (véase [3] capítulo 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h} = 271, 68 kN

N_d	Fuerza de estabilización para el cordón comprimido
k_crit	Coeficiente de pandeo lateral-torsional
M_d	Momento de dimensionamiento
h	Altura del perfil

Fuerza de estabilización para el cordón comprimido

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L} = 2, 76 kN / m

q_d	Carga de arriostramiento
n	Número de cerchas
L	Longitud de la viga
k_f,3	Coeficiente de modificación para la resistencia de arriostramiento

Carga de arriostramiento

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} + c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2} = 1, 5 \cdot (0, 7 + 0, 3) \cdot 0, 65 \cdot \frac{5}{2} = 2, 44 kN / m

q_d,Wind	Carga de cálculo por viento
γ_Q	Coeficiente parcial de seguridad para acción variable
c_pe	Coeficiente de presión exterior
q_p	presión dinámica de ráfaga
h	Altura del edificio

Carga de cálculo por viento

La deformación del arriostramiento se muestra en la figura 8. En este caso, las cargas se han reducido de nuevo a la mitad, ya que existen dos arriostramientos.

8 Desplazamiento horizontal del arriostramiento

La deformación admisible es:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Deformación admisible

Esto confirma la hipótesis de un arriostramiento muy rígido y está en consonancia con los momentos críticos de flexión casi idénticos del sistema con apoyos intermedios rígidos y del sistema con apoyo elástico de barra.

Resumen

System	M_{crit,analytisch}	M_{crit,Eigenwert}
sin apoyos intermedios	134,52 kNm	136,39 kNm
con apoyos intermedios rígidos	1.063,51 kNm	1.158,92 kNm
con apoyo elástico de barra	1.282,70 kNm	1413,71 kNm

Se ha mostrado con qué posibilidades puede estudiarse en construcción de madera el vuelco de vigas sometidas a flexión. Para los métodos habituales debe tenerse en cuenta que los arriostramientos sean lo suficientemente rígidos como para poder asumir apoyos rígidos. Se han mostrado variantes en caso de que esta hipótesis no se cumpla. En principio, las vigas y los arriostramientos deben verificarse todavía, según la norma correspondiente, en cuanto a su capacidad resistente y aptitud para el servicio. Sin embargo, este no es el objeto de este artículo.

Autor

Gerhard trabaja en Product Engineering en el ámbito de la construcción en madera y además presta apoyo en Customer Support. Aprovecha su experiencia en desarrollo para ofrecer soluciones prácticas y aplicables.

Enlaces

Referencias

Anejo Nacional - Eurocódigo 5: Proyecto de estructuras de madera - Parte 1‑1: Reglas generales y reglas para edificación; DIN EN 1995-1-1/NA: 2013-08
Petersen, C.: Estática y estabilidad de estructuras, 2.ª ed. Wiesbaden: Vieweg, 1982
Normas austriacas. (2015). Eurocódigo 5: Proyecto de estructuras de madera - Parte 1‑1: Reglas generales y reglas para edificación; EN 1995-1-1: 2010-12

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Modelo del artículo de la Base de conocimientos | Ejemplos 2

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