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Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

06-05-2026

Pandeo lateral torsional en estructuras de madera | Ejemplos 2

En el artículo anterior Pandeo lateral-torsional en construcciones de madera | Ejemplos 1 se explicó la aplicación práctica para la determinación del momento crítico de flexión M_crit o bien de la tensión crítica de flexión σ_crit para el vuelco de una viga a flexión mediante ejemplos sencillos. En este artículo se determina el momento crítico de flexión teniendo en cuenta una base elástica, resultante de un arriostramiento.

Pandeo lateral torsional en construcción de madera - Ejemplos 1

Modelo estático

Para el sistema mostrado en la imagen siguiente, se deben analizar los pórticos frente al vuelco. En el plano de la cubierta hay seis pórticos como vigas paralelas con una longitud de 18 m y dos arriostramientos. Las vigas en los lados de hastial están apoyadas por pilares y no se consideran en el cálculo. Sobre los pórticos actúa una carga de dimensionamiento q_d de 10 kN/m. Se trata principalmente de determinar el momento crítico de pandeo lateral torsional. No se aborda en detalle la verificación en el estado límite último ni en el estado límite de servicio.

1 Modelo estático

Datos del modelo

GL24h	-	-	Material según EN 14080
L	18	m	Longitud de la viga
b	120	mm	Ancho de la viga
h	1.200	mm	Altura de la viga
I_z	172.800.000	mm⁴	Momento de inercia
I_T	647.654.753	mm⁴	Momento de inercia torsional
q_d	10	kN/m	Carga de dimensionamiento
a_z	600	mm	Posición de la carga
e	600	mm	Posición del apoyo

Información

Aunque en las ecuaciones siguientes para E y G no se indica explícitamente en el subíndice la referencia a los valores cuantil del 5 %, estos han sido tenidos en cuenta igualmente de forma correspondiente.

Viga simplemente apoyada articulada sin apoyos intermedios

Viga de un solo tramo con apoyo articulado en ambos extremos sin apoyos intermedios

2 Viga de un solo vano con apoyo en horquilla sin apoyos intermedios

Por completitud, primero se analiza el pórtico sin arriostramiento lateral (véase la imagen 02). La longitud equivalente de la barra resulta, para una aplicación de la carga en la parte superior del pórtico, con a₁ = 1,13 y a₂ = 1,44, en:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 17, 79 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Longitud de barra equivalente

El momento crítico de pandeo puede calcularse entonces como sigue:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 134, 52 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Momento crítico de flexión

En estos ejemplos se prescinde del incremento del producto de los cuantiles del 5 % de los parámetros de rigidez debido a la homogeneización de vigas de madera laminada encolada.

El momento flector que actúa sobre los pórticos resulta:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8} = 405, 00 kNm

M_d	Bemessungsmoment
q_d	Bemessungslast
L	Trägerlänge

Momento de diseño

El análisis de valores propios arroja como resultado un factor de carga de pandeo de 0,32. De ello se deduce el momento crítico de pandeo

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 0, 32 \cdot 405, 00 kNm = 136, 39 kNm

Momento crítico de pandeo lateral-torsional del solucionador de autovalores

y es, por tanto, idéntico al resultado de la solución analítica.

Detalle de verificación con salida del factor de carga crítico y del momento flector crítico

3 Detalle de comprobación con salida del factor de carga crítico y del momento flector crítico

Como era de esperar para este pórtico esbelto no arriostrado, el momento flector actuante es mayor (por un factor de 3) que el momento crítico de pandeo, y por tanto el pórtico no está suficientemente retenido frente al vuelco. Sin embargo, para contrarrestarlo se dispone de un arriostramiento, que ahora se considera en el cálculo.

Viga simplemente apoyada articulada con apoyos intermedios rígidos

Viga de un solo vano con apoyos intermedios rígidos y apoyada en horquillas

4 Viga de una sola luz apoyada con horquillas con apoyos intermedios rígidos

Si el arriostramiento es lo suficientemente rígido, en la práctica suele utilizarse la distancia entre los apoyos laterales (por ejemplo, mediante correas) como longitud equivalente para la verificación frente al vuelco. Este procedimiento ya se mostró en el artículo anterior Pandeo lateral torsional en construcción de madera | Ejemplos 1.

Pandeo lateral en estructuras de madera | Ejemplos 1

Por lo tanto, se utiliza L = 2,25 m. Para a₁ = 1,00 y a₂ = 0,00 resulta:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 2, 25 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Longitud de barra de sustitución

Para el momento crítico de pandeo se obtiene:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
l_ef	Ersatzstablänge

Momento crítico de flexión

Dado que el momento flector que actúa sobre la viga es menor que el momento crítico de pandeo, la viga no presenta riesgo de vuelco suponiendo apoyos intermedios rígidos.

El análisis de valores propios con el Add-On Dimensionamiento de madera arroja como resultado un factor de carga de pandeo de 2,86. De ello se deduce el momento crítico de pandeo

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 2, 86 \cdot 40, 50 kNm = 1.158, 92 kNm

M_crit	Kritisches Biegemoment
α	Factor de carga de bifurcación
M_d	Bemessungsmoment

Momento crítico de pandeo lateral-torsional

5 Detalle de comprobación con salida del factor de carga crítico y del momento flector crítico

También aquí ambos procedimientos coinciden muy bien.

Viga simplemente apoyada articulada con apoyos de barra elásticos

Viga de un solo vano articulada con apoyo elástico de barra

6 Viga de un solo vano con apoyo articulado y lecho de barras elástico

Como se explica en Pandeo lateral torsional en construcción de madera - Teoría, en [1 ] la determinación de la longitud equivalente para barras apoyadas elásticamente se amplía con el factor α y β.

De este modo es posible tener en cuenta la rigidez a cortante de un arriostramiento para el vuelco de los pórticos.

Rigidez a cortante del arriostramiento de cubierta

La determinación de la rigidez a cortante del arriostramiento puede realizarse, por ejemplo, según [2] figura 6.34. Como se desprende de ella, depende del tipo de arriostramiento, de la rigidez axial de las diagonales y de los montantes, de la inclinación de las diagonales y de la deformabilidad de los medios de unión. Para el arriostramiento mostrado en la imagen 01, la rigidez a cortante resulta:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidez a cortante ideal de los arriostramientos de rigidización

Aquí E_D es el módulo E de las diagonales y A_D su área de sección transversal. Sin embargo, la ecuación anterior no incluye la deformabilidad de los medios de unión de las diagonales. Esta y el alargamiento de las diagonales pueden tenerse en cuenta mediante un área de sección ficticia A_D'. Se obtiene:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidez ideal al cortante del arriostramiento

con

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}} = 12.548 {mm}^{2}

A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
A_D	Querschnittsfläche der Diagonalen
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
L_D	Länge der Diagonalen
K_ser	Verschiebungsmodul der Verbindung

Área ficticia de la sección de las diagonales

Las diagonales tienen la dimensión b/h = 120/200 mm y una longitud L_D de 4,59 m. El módulo de desplazamiento de la unión en cada lado de las diagonales debe ser de 110.000 N/mm.

Por lo tanto, el área teórica es

A_D' = 12.548 mm²

y con ello la rigidez a cortante de un arriostramiento, con un ángulo de las diagonales respecto al cordón de 60,64°,

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
E_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
A_D'	Fiktive Querschnittsfläche der Diagonalen
α	Winkel zwischen der Diagonalen und der Gurte

Rigidez ideal al cortante del arriostramiento

La apoyadura de barra por arriostramiento puede transformarse a partir de ello según [2] fórmula 7.291 de la siguiente manera:

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband
s_id	Ideelle Schubsteifigkeit des Aussteifungsverbandes
L	Länge des Verbandes

Cimentación de barra elástica por arriostramiento

Para dos arriostramientos y seis pórticos, por cada pórtico se dispone de la siguiente constante elástica:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6} = 455, 6 kN / m^{2} = 0, 456 N / {mm}^{2}

K_y	Elastische Stabbettung pro Binder
K_y'	Elastische Stabbettung pro Verband

Alojamiento elástico de barra por viga

Bajo la condición de que K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 N/mm², e = 600 mm, a₁ = 1,13 y a₂ = 1,44, resulta la longitud equivalente:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β} = 0, 13 m

l_ef	Ersatzstablänge
L	Trägerlänge, Abstand der seitlichen Halterung
a₁,a₂	Kippbeiwerte
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
G_0,05	5 % Quantile des Schubmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
I_T	Torsionsträgheitsmoment
α, β	Beiwerte zur Berücksichtigung einer Stabbettung

Longitud de barra equivalente

El momento crítico de pandeo resulta entonces con un valor utópico de:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 18.482, 84 kNm

M_crit	Momento crítico de flexión
E_0,05	5 % cuantiles del módulo de elasticidad
G_0,05	5 % cuantil del módulo de corte
I_z	Momento de inercia respecto al eje débil
I_T	Momento de inercia a torsión
l_ef	Longitud de barra equivalente

Momento crítico de flexión

Cabe esperar un valor similar al del sistema con apoyos intermedios rígidos. Como se explica en Pandeo lateral torsional en construcción de madera - Teoría, la aplicación de la fórmula ampliada con α y β está limitada en su uso.

Estrictamente hablando, solo es válida cuando se produce una deformación en un gran arco sinusoidal. Es decir, cuando la apoyadura es muy flexible. Esto ya no se da en este ejemplo. Las funciones propias multionda, que para constantes elásticas mayores conducen a la menor carga de pandeo, no están contempladas en dicha ecuación, ya que esta se basa en planteamientos sinusoidales de una sola onda.

Como puede verse en la imagen 7, el análisis de valores propios da lugar a una forma modal multionda con un factor de carga de pandeo de 3,49.

Resultado del análisis de valores propios para la viga de un solo vano con apoyo articulado y lecho de barras elástico

7 Resultado del análisis de autovalores para la viga de un solo vano con apoyos articulados y lecho de barras elástico

A modo de comparación, puede aplicarse el procedimiento derivado por el Prof. Dr. Heinrich Kreuzinger (2020). El momento crítico de pandeo se calcula como sigue:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Kritisches Biegemoment
a_z	Abstand des Lastangriffs vom Schubmittelpunkt
e	Abstand der Stabbettung vom Schubmittelpunkt
K_y	elastische Stabbettung pro Binder
L	Trägerlänge
n	n-te Eigenlösung
E_0,05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
I_z	Trägheitsmoment um die schwache Achse
G_0,05	5 %-Quantile des Schubmoduls
I_T	Torsionsträgheitsmoment

Momento flector crítico

La constante n identifica la 1.ª, 2.ª, 3.ª… solución propia. Por consiguiente, deben analizarse varias soluciones propias y de ellas resulta el menor momento crítico de pandeo. Para n = 1…30 se obtienen los siguientes momentos críticos de pandeo.

n	M_crit [kNm]	n	M_crit[kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

Para n = 6, M_crit es mínimo y vale 1.282,70 kNm.

La solución de valores propios del Add-On Dimensionamiento de madera (véase la imagen 7) da:

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 3, 49 \cdot 40, 50 kNm = 1.413, 71 kNm

M_crit	Momento crítico de pandeo lateral-torsional
α	factor de carga de bifurcación
M_d	Momento de dimensionamiento

Momento crítico de pandeo lateral-torsional

Ambos resultados muestran una buena concordancia. Sin embargo, la solución analítica se sitúa del lado seguro, ya que en este procedimiento se asume de forma simplificada un diagrama de momento flector constante. Al momento crítico constante M_crit se le asigna entonces una carga crítica q_crit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Kritische Last
M_crit	Kritisches Biegemoment
L	Trägerlänge

Carga crítica

Dado que en este ejemplo la apoyadura de barra puede considerarse muy rígida y se distribuye de forma constante a lo largo de la longitud de los pórticos, se obtienen momentos críticos de pandeo ligeramente superiores que en el caso del apoyo individual rígido.

Verificación de deformación del arriostramiento de cubierta

Según [3] capítulo 9.2.5.3 (2), los arriostramientos deben ser lo suficientemente rígidos como para que la deformación horizontal no supere L/500. El cálculo debe realizarse con los valores de dimensionamiento de las rigideces (véase [1] capítulo NCI a 9.2.5.3).

Para k_crit = 0,195, H = 5 m y q_p = 0,65 kN/m² como presión dinámica del viento, resultan las siguientes cargas (véase [3] capítulo 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h} = 271, 68 kN

N_d	Stabilisierungskraft für den Druckgurt
k_crit	Kippbeiwert
M_d	Bemessungsmoment
h	Trägerhöhe

Fuerza de estabilización para el cordón comprimido

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L} = 2, 76 kN / m

q_d	Aussteifungslast
n	Anzahl der Binder
L	Trägerlänge
k_f,3	Modifikationsbeiwert für den Aussteifungswiderstand

Carga de arriostramiento

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} + c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2} = 1, 5 \cdot (0, 7 + 0, 3) \cdot 0, 65 \cdot \frac{5}{2} = 2, 44 kN / m

q_d,Wind	Bemessungslast aus Wind
γ_Q	Teilsicherheitsbeiwert für veränderliche Einwirkung
c_pe	Außendruckbeiwert
q_p	Böengeschwindigkeitsdruck
h	Höhe des Gebäudes

Carga de cálculo por viento

La deformación del arriostramiento se muestra en la imagen 8. En este caso, las cargas se han reducido de nuevo a la mitad, ya que existen dos arriostramientos.

8 Desplazamiento horizontal del arriostramiento

La deformación admisible es:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Deformación admisible

Esto confirma la hipótesis de un arriostramiento muy rígido y concuerda con los momentos críticos de pandeo prácticamente idénticos del sistema con apoyos intermedios rígidos y del sistema con apoyadura de barra elástica.

Resumen

System	M_{crit,analytisch}	M_{crit,Eigenwert}
sin apoyos intermedios	134,52 kNm	136,39 kNm
con apoyos intermedios rígidos	1.063,51 kNm	1.158,92 kNm
con apoyadura de barra elástica	1.282,70 kNm	1413,71 kNm

Se ha mostrado con qué posibilidades en la construcción de madera puede analizarse el vuelco de vigas flectadas. Para los métodos habituales debe tenerse en cuenta que los arriostramientos sean lo suficientemente rígidos como para poder asumir apoyos rígidos. Se han mostrado igualmente variantes en caso de que esta hipótesis no se cumpla. En principio, las vigas flectadas y los arriostramientos deben verificarse todavía, según la norma correspondiente, en cuanto a su capacidad resistente y aptitud para el servicio. Sin embargo, esto no es objeto de este artículo.

Autor

Gerhard trabaja en Product Engineering en el ámbito de la construcción en madera y además presta apoyo en Customer Support. Aprovecha su experiencia en desarrollo para ofrecer soluciones prácticas y aplicables.

Enlaces

Referencias

Anejo Nacional - Eurocódigo 5: Proyecto de estructuras de madera - Parte 1‑1: Reglas generales y reglas para edificación; DIN EN 1995-1-1/NA: 2013-08
Petersen, C.: Estática y estabilidad de estructuras, 2.ª ed. Wiesbaden: Vieweg, 1982
Normas austriacas. (2015). Eurocódigo 5: Proyecto de estructuras de madera - Parte 1‑1: Reglas generales y reglas para edificación; EN 1995-1-1: 2010-12

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Modelo del artículo de la Base de conocimientos | Ejemplos 2

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