Calcul de poteaux béton soumis à la compression centrée avec RF-CONCRETE Members

Article technique sur le calcul de structure et l'utilisation des produits Dlubal

  • Base de connaissance

Article technique

Le présent article traite des éléments rectilignes dont la section est soumise à un effort normal de compression. Il s'agit dans cet article de montrer la considération de nombreux paramètres définis dans les Eurocodes pour le calcul des poteaux béton dans le logiciel de calcul RFEM.

C'est quoi la compression centrée ?

Une section d'un élément est sollicitée en compression centrée lorsque les forces agissant d'un côté de la section sont réduites au centre de gravité de la section en une force unique N. Cet effort normal N est alors perpendiculaire à la section et dirigé vers la section. Cette sollicitation ne se rencontre jamais en pratique à l'inverse de la flexion composée, car un poteau réel est toujours soumis soit à la dissymétrie du chargement, soit aux imperfections d'exécution comme on peut le voir dans cet article technique.

Critère d'élancement pour les éléments isolés

On admet que les effets du second ordre (imperfections, dissymétrie, etc…) peuvent être négligés si l'élément est sollicité uniquement par un effort normal de compression NEd, et si le critère d'élancement est respecté.

Critère d'élancement

λ < λlim

λ ... Coefficient d'élancement

λlim ... Élancement limite

Élancement et longueur efficace selon l'EN 1992-1-1

Coefficient d’élancement

λ = l0i

λ Coefficient d'élancement
l0 Longueur efficace = kcr ⋅ l
i Rayon de giration de la section de béton non fissurée
kcr Facteur de longueur efficace = 0,5 ⋅ √[(1 + k1 / (0,45 + k1)) ⋅ (1 + k2 / (0,45 + k2))] selon 5.8.3.2(3) formule (5.15)
l Longueur libre
k1, k2 Coefficients de souplesse aux deux extrémités de l'élément

Élancement limite selon l'EN 1992-1-1

Élancement limite

λlim = (20 ⋅ A ⋅ B ⋅ C) / √n selon 5.8.3.1(1) formule (5.13N)

A = 1 / (1 + 0,2 φef) = 0,7 si φef est inconnu

B = √(1 + 2 ⋅ ω) = 1,1 si ω est inconnu

C = 1,7 - rm = 0,7 si rm est inconnu

n = NEd / (Ac ⋅ fcd) ... Effort normal relatif

φef ... Coefficient de fluage effectif

ω ... Ratio mécanique d'armatures

rm ... Rapport des moments

NEd ... Valeur de calcul de l'effort normal agissant

Ac ... Aire totale de la section de béton seul

fcd ... Valeur de calcul de la résistance en compression du béton

Contrainte de compression dans l'acier

Le raccourcissement du béton sous compression centrée est limité à εc2 dans le cas du diagramme σ-ε parabole-rectangle. Par adhérence du béton et de l'acier, les raccourcissements sont identiques pour les armatures et on peut en déduire leur contrainte.

Contrainte dans les armatures

σs = fyd si εc2 > εudEs · εc2 sinon

σs Contrainte dans l'armature
fyd Limite d'élasticité de calcul de l'acier de béton armé = fyk / γs
εc2 Déformation relative en compression pour la contrainte maximale
Es Module d'élasticité
fyk Limite d'élasticité caractéristique
γs Coefficient partiel de l'acier
εud Déformation limite de calcul = fyd / Es

Contrainte de compression dans le béton

Contrainte dans le béton

fcd = αcc ⋅ fck / γc

αcc ... Facteur tenant compte des effets à long terme sur la résistance en compression

fck ... Résistance caractéristique en compression du béton

γc ... Coefficient partiel relatif au béton

Dimensions de la section de béton

La force que peut équilibrer la section de béton correspond à sa capacité portante maximale en compression qui dépend directement de sa section et de sa résistance de calcul.

Force d'équilibre du béton

Fc = Ac ⋅ fcd

Les armatures vont alors équilibrer le reste de la charge de compression centrée.

Force d'équilibre des armatures

Fs = NEd - Fc

À partir de ces deux équations d'équilibre, on peut en déduire la section de béton à dimensionner, puis celle des armatures.

Aire de la section de béton

Ac ≥ NEd / (fcd + As / Ac ⋅ σs)

As = Fs / σs ... Aire de la section d'armature

Application de la théorie avec le module additionnel RF-CONCRETE Members

Dans cet article, nous allons analyser les résultats obtenus automatiquement lors du calcul des armatures. L'objectif étant également de déterminer la section de béton à dimensionner, le modèle de base RFEM aura une largeur définie et une hauteur inconnue supérieure ou égale à la largeur.

On va considérer les paramètres ci-après :

  • Charges permanentes : Ng = 1 390 kN
  • Charges variables : Nq = 1 000 kN
  • Longueur poteau : l = 2,1 m
  • Section rectangulaire à déterminer : largeur b = 40 cm / hauteur inconnue ≥ 40cm
  • Poids propre du poteau négligeable.
  • Poteau non intégré au contreventement.
  • Classe de résistance du béton : C25/30
  • Aciers : S 500 A à palier incliné
  • Diamètre des armatures longitudinales : ϕ = 20 mm
  • Diamètre des armatures transversales : ϕt = 8 mm
  • Enrobage : 3 cm

Caractéristique des matériaux

Valeur de calcul de la résistance en compression du béton

fcd = 1 ⋅ 25 / 1,5 = 16,7 MPa

Déformation relative en compression pour la contrainte maximale

εc2= 2 ‰

Limite d'élasticité de calcul de l'acier de béton armé

fyd = 500 / 1,15 = 435 MPa

Déformation limite dans l'armature

εud = fyd / Es = 435 / (2 ⋅ 105) = 2,17 ‰

Contrainte dans l'armature

σs = 2 ⋅ 105 ⋅ 0,002 = 400 MPa car εc2 < εud

Afin de vérifier le paramétrage des matériaux sur RF-CONCRETE Members, la figure 02 affiche les contraintes et les déformations prévue pour le béton et les armatures requises.

État limite ultime

Sollicitations de calculs à l'état limite ultime

NEd = 1,35 ⋅ Ng + 1,5 ⋅ Nq

NEd = 1,35 ⋅ 1390 + 1,5 ⋅ 1000 = 3,38 MN

Non prise en compte des effets du second ordre à l'ELU

Dans notre modèle, afin de pouvoir appliquer correctement une charge en tête de poteau nous avons modélisé une barre uniquement encastrée en pied et libre en tête. Cependant, nous voulons prendre en compte que le poteau est fixé en tête à des poutres avec l'hypothèse que le poteau est moins raide que les poutres. Nous pouvons alors considérer que la barre est encastrée à ses deux extrémités. Ainsi, dans la théorie, les coefficients de souplesse devraient être nuls pour un encastrement parfait, mais les encastrements parfaits n'existant pas dans la pratique, la valeur minimale à considérer pour les coefficients de souplesse est : k1 ou k2 = 0,1.

Facteur de longueur efficace

kcr = 0,5 ⋅ (1 + 0,1 / (0,45 + 0,1)) = 0,59

La figure 04 montre la possibilité sur RFEM de paramétrer le facteur de longueur efficace pour un élément de type barre.

La hauteur de la section étant à déterminer, on suppose que h > b et donc que le rayon d'inertie d'une section rectangulaire est plus déterminant pour la petite largeur.

Rayon d'inertie déterminant dans le plan parallèle à la largeur b = 40 cm.

iz = b / √12

Élancement

λz = (0,59 ⋅ 2,1 ⋅ √12) / 0,40 = 10,73 m

La figure 05 montre les valeurs d'élancement déterminées pour la barre après calcul dans le tableau 4.10 de RFEM.

Pour vérifier notre élancement, nous déterminons manuellement l'élancement limite, avec l'hypothèse h = b.

Élancement limite

n = 3,38 / (0,40² ⋅ 16,7) = 1,26

λlim = 20 ⋅ 0,7 ⋅ 1,1 ⋅ 0,7 / √1,26 = 9,6 m

λz > λlim → La condition n'est pas respectée.

Cependant, nous allons tout de même calculer en compression centrée car l'écart étant faible, nous constatons par la suite qu'avec la détermination de la hauteur réelle de section, la condition sera respectée.

Hauteur réelle à calculer

Afin de déterminer la hauteur réelle h de la section, on peut adopter l'hypothèse suivante pour le ratio d'armatures à considérer : As / Ac = 1 %. On peut alors en déduire la section réelle à calculer et sa hauteur en fonction de la contrainte dans les armatures et de la largeur de la section b.

Aire de la section de béton

Ac ≥ 3,38 / (16,7 + 400 / 100) = 0,163 m²

Hauteur de la section

Ac = b ⋅ h → h ≥ 0,163 / 0,4 = 0,41 m

L'hypothèse h > b faite pour le calcul de l'élancement est correcte, et nous pouvons retenir une hauteur de section en choisissant un multiple de 5 cm, soit h = 45 cm.

La figure 06 décrit les étapes pour déterminer automatiquement la hauteur de la section rectangulaire sur RF-CONCRETE Members, à l'aide de la fonction « optimiser ».

Section résistante

Force d'équilibre du béton

Fc = 0,40 ⋅ 0,45 ⋅ 16,7 = 3 MN

Force d'équilibre des armatures

Fs= 3,376 - 3 = 0,38 MN

On en déduit la section d'armatures correspondantes :

Aire de la section d'armatures

As = 0,38 / 400 ⋅ 104 = 9,5 cm²

En ayant paramétré des aciers de diamètre 20 mm dans RF-CONCRETE Members, les armatures prévues déterminées automatiquement par le module sont 4 barres, avec une répartition dans les coins comme demandé soit 1 HA 20 par coin ce qui nous donne l'aire de section d'armatures suivantes :

As = 4 ⋅ 3,142 = 12,57 cm²

Ratio mécanique d'armatures

ω = (As ⋅ fyd) / (Ac ⋅ fcd) = 12,57 ⋅ 435 / (40 ⋅ 45 ⋅ 16,7) = 0,182

Vérification finale de l'élancement limite car h > b

n = 3,38 / (0,40 ⋅ 0,45 ⋅ 16,7) = 1,125

B = √(1 + 2 ⋅ ω) = 1,17

λlim = 20 ⋅ 0,7 ⋅ 1,17 ⋅ 0,7 / √1,125 = 10,81 m

λz < λlim → Le critère d'élancement est respecté.

Application dans les autres modules

Le module RF-CONCRETE Columns permet également de déterminer les armatures pour un élément en compression centrée. Un article technique détaillant les différences avec RF-CONCRETE Members est disponible ici.

Auteur

M.Eng. Milan Gérard

M.Eng. Milan Gérard

Vente et Support technique

Milan Gérard travaille sur le site de Paris. Il assure la vente et le support technique chez Dlubal.

Mots-clés

Eurocodes Compression Armatures Élancement

Littérature

[1]   Eurocode 2 : Calcul des structures en béton – Partie 1-1 : Règles générales et règles pour les bâtiments ; NF EN 1992-1-1 : 2005
[2]   Roux, J.: Pratique de l'eurocode 2 - Guide d'application. Paris: Groupe Eyrolles, 2007

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  • Mis à jour 2 août 2021

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