Bemessung einer zentrisch druckbeanspruchten Betonstütze mit RF-BETON Stäbe

Fachbeitrag zum Thema Statik und Anwendung von Dlubal Software

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Fachbeitrag

Dieser Fachbeitrag befasst sich mit geradlinigen Elementen, deren Querschnitt durch Drucknormalkraft beansprucht wird. Ziel des Beitrags ist es, die Berücksichtigung zahlreicher Parameter, die in den Eurocodes für Betonstützen definiert sind, in der Statik-Software RFEM aufzuzeigen.

Was ist eine zentrische Druckbeanspruchung?

Der Querschnitt eines Bauteils ist zentrisch druckbeansprucht, wenn die Kräfte, die auf einer Seite des Profils wirken, im Schwerpunkt des Querschnitts auf eine einzige Kraft N reduziert sind. Diese Normalkraft N steht also senkrecht zum Querschnitt und ist auf den Querschnitt gerichtet. Im Gegensatz zur kombinierten Biegung ist diese Beanspruchung in der Praxis nie anzutreffen, da eine Stütze in Wirklichkeit nie ganz symmetrisch belastet wird oder Imperfektionen in der Bauausführung unterliegt, wie in diesem Fachbeitrag beschrieben ist.

Schlankheitsgrad bei Einzelelementen

Es wird davon ausgegangen, dass die Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung (Imperfektionen, fehlende Symmetrie etc.) vernachlässigt werden können, wenn das Element nur mit einer Drucknormalkraft NEd beansprucht wird und das Schlankheitskriterium erfüllt ist.

Schlankheitskriterium

λ < λlim

λ ... Schlankheitsgrad

λlim ... Grenzschlankheit

Schlankheit und effektive Länge nach EN 1992-1-1

Schlankheitsgrad

λ = l0i

λ Schlankheitsgrad
l0 effektive Länge = kcr ⋅ l
i Trägheitsradius des ungerissenen Betonquerschnitts
kcr Knicklängenbeiwert = 0,5 ⋅ √[(1 + k1 / (0,45 + k1)) ⋅ (1 + k2 / (0,45 + k2))] gemäß 5.8.3.2(3) Formel (5.15)
l freie Länge
k1, k2 Biegsamkeitskoeffizienten an beiden Enden des Elements

Grenzwert der Schlankheit nach EN 1992-1-1

Grenzschlankheit

λlim = (20 ⋅ A ⋅ B ⋅ C) / √n gemäß 5.8.3.1(1) Formel (5.13N)

A = 1 / (1 + 0,2 φef) = 0,7 falls φef nicht bekannt ist

B = √(1 + 2 ⋅ ω) = 1,1 falls ω nicht bekannt ist

C = 1,7 - rm = 0,7 falls rm nicht bekannt ist

n = NEd / (Ac ⋅ fcd) ... relative Normalkraft

φef ... effektive Kriechzahl

ω ... mechanischer Bewehrungsgrad

rm ... Momentenverhältnis

NEd ... Bemessungswert der einwirkenden Normalkraft

Ac ... Gesamtfläche des Betonquerschnitts

fcd ... Bemessungswert der Druckfestigkeit des Betons

Druckspannung im Stahl

Die Betonverkürzung unter zentrischem Druck ist beim σ-ε-Parabel-Rechteck-Diagramm auf εc2 begrenzt. Durch den Verbund von Beton und Stahl sind die Verkürzungen für den Bewehrungsstahl identisch und wir können auf dessen Spannung schließen.

Spannung in Bewehrung

σs = fyd wenn εc2 > εudEs · εc2 andernfalls

σs Spannung in Bewehrung
fyd Bemessungswert der Streckgrenze von Bewehrungsstahl = fyk / γs
εc2 relative Druckverformung bei maximaler Spannung
Es Elastizitätsmodul
fyk charakteristische Streckgrenze
γs Teilsicherheitsbeiwert des Stahls
εud Bemessungsgrenzverformung = fyd / Es

Druckspannung im Beton

Betonspannung

fcd = αcc ⋅ fck / γc

αcc ... Beiwert zur Berücksichtigung der Langzeiteinwirkung auf Druckfestigkeit

fck ... charakteristische Druckfestigkeit des Betons

γc ... Teilsicherheitsbeiwert bezogen auf Beton

Abmessungen des Betonquerschnitts

Die Kraft, die durch den Betonquerschnitt ausgeglichen werden kann, entspricht seiner maximalen Drucktragfähigkeit, die direkt von seinem Querschnitt und seiner Beanspruchbarkeit abhängt.

Ausgleichskraft des Betons

Fc = Ac ⋅ fcd

Die Bewehrung gleicht also den Rest der zentrischen Drucklast aus.

Ausgleichskraft der Bewehrung

Fs = NEd - Fc

Aus diesen beiden Gleichgewichtsgleichungen kann auf den zu bemessenden Betonquerschnitt und dann auf den der Bewehrung geschlossen werden.

Betonquerschnittsfläche

Ac ≥ NEd / (fcd + As / Ac ⋅ σs)

As = Fs / σs ... Fläche des Bewehrungsquerschnitts

Anwendung der Theorie mit dem Zusatzmodul RF-BETON Stäbe

Es werden nun die Ergebnisse untersucht, die wir automatisch bei der Berechnung der Bewehrung erhalten haben. Da auch der zu bemessende Betonquerschnitt ermittelt werden soll, hat das RFEM-Basismodell eine definierte Breite sowie eine unbekannte Höhe, die größer oder gleich der Breite ist.

Wir betrachten folgende Parameter:

  • Ständige Lasten: Ng = 1390 kN
  • Veränderliche Lasten: Nq = 1000 kN
  • Stützenlänge: l = 2,1 m
  • Zu bestimmender Rechteckquerschnitt: Breite b = 40 cm / unbekannte Höhe ≥ 40 cm
  • Das Eigengewicht der Stütze ist vernachlässigbar.
  • Stütze nicht in Aussteifungsverband integriert.
  • Betonfestigkeitsklasse: C25/30
  • Stahl: S 500 A bei ansteigendem Ast
  • Durchmesser der Längsbewehrungen: ϕ = 20 mm
  • Durchmesser der Querbewehrungen: ϕt = 8 mm
  • Betondeckung: 3 cm

Materialkennwerte

Bemessungswert der Druckfestigkeit des Betons

fcd = 1 ⋅ 25 / 1,5 = 16,7 MPa

Relative Druckverformung bei maximaler Spannung

εc2= 2 ‰

Bemessungswert der Streckgrenze von Bewehrungsstahl

fyd = 500 / 1,15 = 435 MPa

Grenzverformung in Bewehrung

εud = fyd / Es = 435 / (2 ⋅ 105) = 2,17 ‰

Spannung in Bewehrung

σs = 2 ⋅ 105 ⋅ 0,002 = 400 MPa car εc2 < εud

Zur Überprüfung der Materialeinstellungen in RF-BETON Stäbe sind in Bild 02 die vorhandenen Spannungen und Dehnungen für Beton und die erforderliche Bewehrung dargestellt.

Grenzzustand der Tragfähigkeit

Beanspruchungen im Grenzzustand der Tragfähigkeit

NEd = 1,35 ⋅ Ng + 1,5 ⋅ Nq

NEd = 1,35 ⋅ 1390 + 1,5 ⋅ 1000 = 3,38 MN

Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung sind im GZT nicht berücksichtigt.

Um die Last korrekt am Kopf der Stütze ansetzen zu können, haben wir in unserem Modell einen Stab modelliert, der nur am Fuß eingespannt und am Kopf frei ist. Wir möchten jedoch berücksichtigen, dass der Stützenkopf an Trägern befestigt ist, wobei davon ausgegangen wird, dass die Stütze weniger steif ist als die Träger. Wir können somit davon ausgehen, dass der Stab an beiden Enden eingespannt ist. Somit sollten theoretisch die Biegsamkeitskoeffizienten für eine perfekte Einspannung null sein, aber in der Praxis gibt es keine perfekten Einspannungn, daher ist der für die Koeffizienten der Biegsamkeit zu berücksichtigende Mindestwert: k1 ou k2 = 0,1.

Knicklängenbeiwert

kcr = 0,5 ⋅ (1 + 0,1 / (0,45 + 0,1)) = 0,59

Bild 04 zeigt die Möglichkeit, den Knicklängenbeiwert für das Stabelement in RFEM einzustellen.

Da die Querschnittshöhe ermittelt werden muss, wird davon ausgegangen, dass h > b und so der Trägheitsradius eines rechteckigen Querschnitts für die geringe Breite maßgebender ist.

Maßgebender Trägheitsradius in der Ebene parallel zur Breite b = 40 cm

iz = b / √12

Schlankheit

λz = (0,59 ⋅ 2,1 ⋅ √12) / 0,40 = 10,73 m

Bild 05 zeigt die Schlankheitswerte in der RFEM-Tabelle 4.10, die für den Stab nach der Berechnung ermittelt wurden.

Zur Kontrolle der Schlankheit bestimmen wir manuell die Grenzschlankheit unter der Annahme von h = b.

Grenzschlankheit

n = 3,38 / (0,40² ⋅ 16,7) = 1,26

λlim = 20 ⋅ 0,7 ⋅ 1,1 ⋅ 0,7 / √1,26 = 9,6 m

λz > λlim → Die Bedingung ist nicht erfüllt.

Wir werden jedoch trotzdem mit zentrischem Druck rechnen, da wir im Hinblick auf die geringe Abweichung sogleich feststellen, dass mit der Ermittlung der tatsächlichen Querschnittshöhe nämlich die Bedingung erfüllt wird.

Die zu berechnende tatsächliche Höhe

Um die reale Höhe h des Querschnitts zu ermitteln, kann für den zu berücksichtigenden Bewehrungsgrad von folgender Annahme ausgegangen werden: As / Ac = 1 %. Nun können wir auf den zu berechnenden tatsächlichen Querschnitt und dessen Höhe entsprechend der Spannung in der Bewehrung und der Querschnittsbreite b schließen.

Betonquerschnittsfläche

Ac ≥ 3,38 / (16,7 + 400 / 100) = 0,163 m²

Querschnittshöhe

Ac = b ⋅ h → h ≥ 0,163 / 0,4 = 0,41 m

Die Annahme h > b für die Berechnung der Schlankheit ist korrekt, und wir können eine Querschnittshöhe auswählen, indem wir ein Vielfaches von 5 cm wählen, also h = 45 cm.

Bild 06 zeigt die Schritte zur automatischen Ermittlung der Höhe des Rechteckquerschnitts in RF-BETON Stäbe mithilfe der Funktion "Optimieren".

Tragfähiger Querschnitt

Ausgleichskraft des Betons

Fc = 0,40 ⋅ 0,45 ⋅ 16,7 = 3 MN

Ausgleichskraft der Bewehrung

Fs= 3,376 - 3 = 0,38 MN

Wir leiten den entsprechenden Bewehrungsquerschnitt ab:

Fläche des Bewehrungsquerschnitts

As = 0,38 / 400 ⋅ 104 = 9,5 cm²

Da wir den Bewehrungsstahl in RF-BETON Stäbe mit einem Durchmesser von 20 mm eingestellt haben, ergibt sich eine vom Zusatzmodul automatisch ermittelte vorhandene Bewehrung von 4 Stäben mit einer Verteilung in den Ecken wie gewünscht, d.h. 1 HA 20 pro Ecke, was uns folgende Bewehrungsquerschnittsfläche liefert:

As = 4 ⋅ 3,142 = 12,57 cm²

Mechanischer Bewehrungsgrad

ω = (As ⋅ fyd) / (Ac ⋅ fcd) = 12,57 ⋅ 435 / (40 ⋅ 45 ⋅ 16,7) = 0,182

Abschlussnachweis der Grenzschlankheit weil h > b

n = 3,38 / (0,40 ⋅ 0,45 ⋅ 16,7) = 1,125

B = √(1 + 2 ⋅ ω) = 1,17

λlim = 20 ⋅ 0,7 ⋅ 1,17 ⋅ 0,7 / √1,125 = 10,81 m

λz < λlim → Das Schlankheitskriterium ist erfüllt.

Anwendung in anderen Zusatzmodulen

Mit dem Zusatzmodul RF-BETON Stützen kann auch die Bewehrung für ein Element unter zentrischem Druck ermittelt werden. Einen Fachbeitrag zum Vergleich mit RF-BETON Stäbe finden Sie hier.

Autor

M.Eng. Milan Gérard

M.Eng. Milan Gérard

Vertrieb und Technischer Support

Milan Gérard arbeitet am Standort Paris. Er ist bei Dlubal für den Vertrieb und den technischen Support zuständig.

Schlüsselwörter

Eurocodes Druck Bewehrung Schlankheit

Literatur

[1]   EN 1992-1-1: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken – Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. Beuth Verlag GmbH, Berlin, 2004
[2]   Roux, J.: Pratique de l'eurocode 2 - Guide d'application. Paris: Groupe Eyrolles, 2007

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  • Aktualisiert 8. September 2021

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