Éléments finis du point de vue topologique

Grâce à RFEM, vous avez la possibilité d'analyser différents composants structuraux tels que des éléments de barre, des plaques, des voiles, des coques et des solides. Avant d'effectuer des calculs, vous devez générer un maillage aux éléments finis (EF) qui correspond aux éléments 1D, 2D et 3D souhaités.

L'analyse aux éléments finis consiste à diviser la structure en sous-systèmes plus petits, chacun représenté par des éléments finis. Les conditions d'équilibre sont établies pour chacun de ces éléments. Ce processus permet de formuler un système linéaire d'équations avec de nombreuses variables inconnues. La précision des résultats est directement influencée par le niveau de raffinement dans la taille du maillage des éléments finis. Il est important de noter qu'un maillage plus fin améliore la précision, mais cela augmente également considérablement le temps de calcul en raison de la plus grande quantité de données à traiter. Cela est dû au fait que des équations supplémentaires doivent être résolues pour chaque nœud EF supplémentaire.

heureusement, le maillage EF est généré automatiquement par le logiciel. Néanmoins, il existe des options qui permettent de contrôler le processus de génération de maillage.

Éléments 1D

Concernant les éléments de barre, on suppose que la section conserve sa forme plane pendant la déformation. Les éléments de barre 1D sont utilisés pour représenter les poutres, les treillis, les nervures, les câbles et les assemblages rigides. Chaque élément de barre 1D englobe un total de douze degrés de liberté - six à son point d'introduction et six à son point final. Ces degrés de liberté sont relatifs aux déplacements (u_x, u_y, u_z ) et rotations (φ_x, φ_y, φ_z ).

Dans le cadre du calcul de structure linéaire, la traction, la compression et la torsion sont exprimées comme des fonctions linéaires le long de l'axe de barre (x), indépendantes des effets de flexion et de cisaillement. Cette représentation rapproche ces effets à l'aide d'un polynôme du troisième ordre en x, qui prend également en compte l'influence des contraintes de cisaillement résultant des efforts tranchants V_y et V_z. La matrice de rigidité_KL (12, 12) caractérise le comportement linéaire de ces éléments 1D. La matrice de rigidité K_NL (12, 12) est utilisée de plus pour les scénarios avec problèmes géométriquement non-linéaires où l'effort normal interagit avec la flexion.

Pour des calculs précis dans des cas de déformations importantes, il est conseillé d'augmenter la précision du maillage aux éléments finis (EF) pour les lignes, comme cela est détaillé dans le chapitre Raffinements de maillage linéiques de la documentation.

Éléments 2D

Les éléments quadrilatéral servent généralement de composants 2D dans le calcul de structure. Le processus de génération de maillage introduit des éléments triangulaires là où ils sont nécessaires. Les degrés de liberté associés aux nœuds de coin des éléments quadrilatères et triangulaires s'alignent sur ceux des éléments 1D, englobant le déplacement (u_x, u_y, u_z ) et la rotation (φ_x, φ_y, φ_z ). Cette disposition garantit la compatibilité entre les éléments 1D et 2D au niveau des nœuds. Les paramètres sont d'abord définis dans le système de coordonnées local des éléments, puis transformés dans le système de coordonnées global lors de la création de la matrice de rigidité globale.

01 Éléments de coque (2D) dans RFEM

Les éléments en coque 2D sont basés sur la théorie de Mindlin/Reissner. La représentation graphique dans la figure illustre les approches des éléments. Pour créer un lien direct avec les éléments de barre, une approche carrée est adoptée dans le plan de la coque (u_x,_uy ). Ce choix supprime les nœuds intermédiaires, ce qui donne un élément à quatre nœuds avec un degré de liberté φ_x supplémentaire. Cette configuration facilite le couplage direct entre les éléments de voile et les éléments de poutre. De plus, les éléments MITC4 ( M ixed I interpolation of Tensorial Composants) tels que introduits par Dvorkin et Bathe {%}#Refer [1]]] sont utilisés. Elles s'appuient sur une technique d'interpolation mixte englobant les déformations transversales, les rotations de section et les déformations dues au cisaillement transversales.

Les éléments de barre sont actuellement traités par la résolution directe de l'équation différentielle de l'analyse du second ordre. Cependant, les effets de gauchissement ne sont pas pris en compte lors de l'utilisation de la torsion de Saint-Venant. L'analyse des membranes est basée sur les principes de Bergan. Par exemple, les éléments triangulaires sont définis en décomposant les fonctions fondamentales en trois déformations de corps rigides, trois conditions de déformation constante et trois gradients linéaires spécifiques de contrainte et de déformation. Dans un élément, le champ de déformation affiche le comportement quadratique, tandis que le champ de contrainte conserve la linéaire. La matrice de rigidité des éléments_KL est ensuite transformée en neuf paramètres combinés des types u_x, u_y, φ_z. Ces composants de matrice sont intégrés à la matrice de rigidité globale (18, 18), aux côtés des composants contribuant aux effets de flexion et de cisaillement, résultant du concept de Lynn-Dhillon.

L'analyse implique ensuite l'application de plaques de Mindlin, où les plaques avec des déformations de cisaillement distinctes sont analysées à l'aide des principes de Timoshenko'. Cela permet à RFEM de résoudre correctement les problèmes liés aux plaques épaisses et minces (plaques Navier). Dans le cas de problèmes géométriquement non linéaires, la division des conditions de contrainte-déformation à l'état plan et la flexion avec interactions de cisaillement n'est pas possible. Les interactions entre ces états sont considérées à l'aide de la matrice K_NL. RFEM utilise une version simplifiée mais efficace de la matrice K_NL, influencée par les approches de Zienkiewicz'. Le composant carré ε₂ de la déformation Green/Lagrange ε = ε₁ + ε₂ est utilisé. Une distribution linéaire de u_z (x, y) sous la condition de contrainte plane et des distributions linéaires de u_x (x, y) et u_y (x, y) sont supposés lors de l'interaction de la flexion. Cette hypothèse est valide en raison de l'impact primaire de l'interaction dépendant de la première dérivée de l'équation différentielle et de la réduction rapide de l'influence des composants d'ordre supérieur avec des divisions d'élément plus petites. De nombreuses analyses numériques ont validé l'exactitude de cette approche.

Lorsque vous travaillez avec des éléments en coque, il est essentiel que l’épaisseur des éléments soit nettement inférieure à leur dimension. Si cette condition n'est pas remplie, nous vous recommandons de modéliser des objets sous forme de solides. De plus, lorsque vous utilisez des éléments en coque, introduisez progressivement les contraintes de torsion, car le degré de liberté en rotation autour de la normale de surface est très sensible.

Éléments 3D

Les éléments 3D suivants sont inclus dans RFEM : tétraèdre, pentaèdre (prisme, pyramide) et hexaèdre. Des informations détaillées sur les éléments et matrices appliqués sont disponibles dans le Sevčík Éléments finis 3D avec degrés de liberté de rotation (en tchèque, disponible sur demande auprès de Dlubal Software).

02 Élément solide (hexaèdre)

En général, tous les degrés de liberté en rotation doivent être considérés comme critiques pour les solides. Puisque la déformation d'un solide est déterminée uniquement à partir des vecteurs de déplacement, la rotation d'un nœud de maillage, par exemple due à la torsion introduite comme singulière, n'affecte pas la déformation dans le solide.