134x

28.1.2025

VE0020 | Plastický ohyb s různými plastickými pevnostmi

Popis

Konzola z materiálu s různou plastickou pevností v tahu a v tlaku je plně fixována na levém konci a zatížena ohybovým momentem podle následujícího náčrtu. Problém je popsán pomocí následující sady parametrů. V tomto příkladu se zohlední malé deformace a vlastní tíha se zanedbá. Stanovíme maximální průhyb u_z,max.

Materiál	Pružný-plastický	Modul pružnosti	E	210000,000	MPa
		Poissonův součinitel	ν	0,000	-
		Smykový modul	G	105000,000	MPa
		Plastická pevnost v tahu	f_t	200,000	MPa
		Plastická pevnost v tlaku	f_c	280,000	MPa
Geometrie	Konzola	obvod	L	2,000	m
		Šířka	w	0,005	m
		Tloušťka	t	0,005	m
Zatížení		Ohybový moment	M	6,000	Nm

Simulace plastického ohybu při různých mezích kluzu materiálu.

Plastický ohyb plastů s různou plastickou únosností

Analytické řešení

Konzola je zatížena ohybovým momentem M. Vzhledem k rozdílné plastické pevnosti v tahu a tlaku nemusí být podle následujícího obrázku neutrální osa shodná s osou symetrie. Zavedeme parametr z₀ a zadáme ho tak, že σ_x (x,z₀ )=0, přičemž v průběhu zatěžování se mění stejně jako parametry z_t a z_c. Napětí v ohybu se stanoví pomocí následujícího vzorce:

σ_{x} = - κE (z - z_{0} (x))

ohybové napětí

Vizualizace rozložení napětí od ohybu s barevným gradientem na konstrukčním prvku

Rozložení napětí v ohybu

Pro získání maximálního průhybu u_z,max je třeba vyřešit zakřivení κ. Pružno-plastický moment_Mep (vnitřní síla) se musí rovnat ohybovému momentu M (vnější síla).

M_{ep} = \int_{- t / 2}^{- z_{t}} f_{t} zw d z + \int_{- z_{t}}^{z_{c}} - κE (z - z_{0}) zw d z + \int_{z_{c}}^{t / 2} - f_{c} zw d z = M

Rovnováha pružno-plastického momentu a ohybového momentu

Vzhledem k neznámým parametrům z_t, z_c a z₀ je třeba napsat další rovnice. Napětí na rozhraní mezi pružnou a plastickou oblastí se definují následovně:

f_{t} = - κE (- z_{t} - z_{0})

Vzorec pro pevnost v tahu

- f_{c} = - κE (z_{c} - z_{0})

Vzorec pro pevnost v tlaku

Poslední podmínka je definována rovnováhou normálových sil.

N = \int_{- t / 2}^{- z_{t}} f_{t} w d z + \int_{- z_{t}}^{z_{c}} - κE (z - z_{0}) w d z + \int_{z_{c}}^{t / 2} - f_{c} w d z = 0

Rovnováha normálových sil

Z numerického řešení těchto rovnic lze vypočítat zakřivení κ a maximální průhyb u_z,max. Výsledek najdete v následující tabulce.

u_{z, \max} = \int_{0}^{L} κ (L - x) d x

Celkový průhyb konzoly

Nastavení programu RFEM

Modelováno v programech RFEM 5.16 a RRFEM 6.06
Velikost prvku je l_FE = 0,020 m
Uvažuje se geometricky lineární analýza
Počet přírůstků je 5
Smyková tuhost prutů se zanedbává

Výsledky

Materiálový model	Analytické řešení	RFEM 6		RFEM 5
Materiálový model	u_z,max [m]	u_z,max [m]	Poměr [-]	u_z,max [m]	Poměr [-]
Ortotropní plastický 2D	1,272	1,277	1,004	1,277	1,004
Izotropní nelineárně elastický 1D		1,272	1,000	1,272	1,000
Nelineární elastický 2D/3D, Mohr - Coulomb, Plech		1,283	1,009	1,283	1,009
Nelineární elastický 2D/3D,Drucker - Prager, Plech		1,283	1,009	1,283	1,009
Izotropní plastický 2D/3D, Mohr - Coulomb, Plech		1,284	1,009	1,284	1,009
Izotropní plastický 2D/3D,Drucker - Prager, Plech		1,272	1,000	1,272	1,000
Nelineární elastický 2D/3D, Mohr - Coulomb, těleso		1,308	1,028	1,307	1,028
Nelineární elastický 2D/3D,Drucker - Prager, těleso		1,313	1,032	1,312	1,031
Izotropní plastický 2D/3D,Mohr - Coulomb, Těleso		1,302	1,024	1,293	1,017
Izotropní plastický 2D/3D,Drucker - Prager, Těleso		1,283	1,009	1,283	1,009

495x

11x

Verifikační příklad 0020 | 1

Reference

Lubliner, J. (1990). Teorie plasticity. New York: Macmillan.

;