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Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

28.02.2020

Déversement dans les structures en bois | Théorie

Les poutres en flexion élancées avec un rapport h/b important, chargées parallèlement à l’axe faible, ont tendance à présenter des problèmes de stabilité. Cela est dû au déversement de la semelle comprimée.

La poutre subit un déplacement latéral avec une torsion simultanée (voir image 01). On parle alors de déversement, respectivement de basculement. Par analogie au flambement, où une barre flambe brusquement lorsqu’elle atteint la charge critique de flambement d’Euler, l’aile comprimée se déverse à partir d’une charge critique de déversement. Il en résulte un moment fléchissant critique M_crit, qui entraîne une contrainte critique de flexion au déversement σ_crit.

1 Flambement latéral d’une poutre à travée simple

Symboles utilisés :

L	Longueur de la poutre
E	Module d’élasticité
G	Module de cisaillement
I_z	Moment d’inertie par rapport à l’axe faible
I_T	Moment d’inertie en torsion
I_ω	Module de gauchissement
a_z	Distance entre le point d’application de la charge et le centre de cisaillement
e	Distance de l’appui élastique de la barre par rapport au centre de cisaillement
K_G	Ressort de rotation élastique à l’appui en Nmm
K_Θ	Appui de rotation élastique en N
K_y	Appui élastique de la barre en N/mm²

Détermination analytique de M_crit

Afin de déterminer le moment fléchissant à partir duquel une poutre devient instable, des solutions analytiques sont disponibles dans la littérature pour l’ingénieur, mais leur application est limitée. Dans [1] est dérivée l’équation suivante pour une poutre isostatique sur appuis articulés et en fourche aux deux extrémités, soumise à un moment fléchissant constant et avec application de la charge au centre de cisaillement.

M_{crit} = \frac{π}{L} \cdot \sqrt{{EI}_{z} \cdot {GI}_{T} \cdot (1 + \frac{{EI}_{ω}}{{GI}_{T}} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}})}

Moment critique

Pour les sections sans gauchissement (par exemple une section rectangulaire étroite dans la construction bois), la rigidité au gauchissement peut être mise à zéro et le terme entre parenthèses disparaît ainsi.

M_{crit} = \frac{π}{L} \cdot \sqrt{{EI}_{z} \cdot {GI}_{T}}

Moment critique sans rigidité de gauchissement

Facteurs de correction

Comme il existe en statique des structures beaucoup plus de cas que celui mentionné ci-dessus, des facteurs de correction ont été introduits afin de prendre en compte, par exemple, des distributions de moments différentes, des situations d’appui et une application de charge différente. À cette fin, la longueur de la poutre est modifiée par les facteurs et il en résulte une longueur effective l_ef. Celle-ci est décrite, entre autres, dans [2] comme suit.

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot [1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{{EI}_{z}}{{GI}_{T}}}]}

Longueur efficace

Ici, a_z est la distance entre le point d’application de la charge et le centre de cisaillement.

2 Schéma d’une section rectangulaire

Si la charge agit sur la face inférieure de la poutre, a_z doit être prise avec un signe négatif. Les coefficients a₁et a₂ sont à voir sur l’image 03.

3 Facteurs utilisés pour le déversement latéral

Les différents systèmes sont à comprendre comme suit :

Poutre isostatique sur appuis articulés et en fourche aux deux extrémités
Poutre encastrée
Console avec appui en fourche à l’extrémité libre
Poutre encastrée aux deux extrémités
Poutre isostatique avec encastrement d’un seul côté
Poutre à deux travées
Poutre continue sur appuis articulés - travée intérieure
Poutre continue sur appuis articulés - travée extérieure

M_crit dans la normalisation

Dans les normes, la vérification au déversement est proposée selon la méthode de la barre de remplacement. Le moment critique doit alors être calculé avec les valeurs quantiles à 5 % des rigidités. Pour la construction bois, il en résulte :

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0.05} \cdot I_{z} \cdot G_{0.05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}}

Moment critique pour les structures en bois

La contrainte critique de flexion s’en déduit :

σ_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0.05} \cdot I_{z} \cdot G_{0.05} \cdot I_{T}}}{l_{ef} \cdot W_{y}}

Contrainte en flexion critique

Appui élastique

Si un ressort de rotation élastique (par exemple résultant de la souplesse de l’appui en fourche) à l’appui, un appui de rotation élastique (par exemple dû à des tôles trapézoïdales) ou un appui élastique de la barre (par exemple dû à des contreventements) doit être pris en compte, l’équation précédente peut être étendue comme suit [2].

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot [1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{{EI}_{z}}{{GI}_{T}}}]} \cdot \frac{1}{α \cdot β}

Longueur efficace en considérant le ressort de rotation élastique, le maintien en rotation ou la fondation élastique de barre

Ici, il s’agit de

α = \sqrt{\frac{1}{1 \frac{3.5 \cdot {GI}_{T}}{K_{G} \cdot L}}}

β = \sqrt{(1 \frac{K_{y} \cdot L^{4}}{{EI}_{z} \cdot π^{4}}) \cdot (1 \frac{(K_{θ} e^{2} \cdot K_{y}) \cdot L^{2}}{{GI}_{T} \cdot π^{2}})} + \frac{e \cdot K_{y} \cdot L^{3}}{\sqrt{{EI}_{z} \cdot {GI}_{T}} \cdot π^{3}}

Calcul de α et β

4 Schéma de la section rectangulaire avec ressorts élastiques

Si le ressort de rotation K_G à l’appui est considéré comme infiniment rigide, on obtient α = 1. L’appui de rotation élastique K_Θ n’est généralement pas pris en compte dans la construction bois, car aucune étude n’est disponible à ce sujet. Le paramètre K_Θ intervient donc dans l’équation avec la valeur 0. L’appui élastique de la barre K_y, résultant d’un contreventement ou d’un diaphragme de cisaillement, a un effet favorable sur le comportement au déversement d’une poutre.

Important

Il convient toutefois de noter que l’équation précédente est limitée dans son application. À strictement parler, elle n’est valable que lorsqu’il existe une déformée en grand arc sinusoïdal. Si l’appui élastique de la barre est trop rigide, ce n’est plus le cas, car la forme propre présente plusieurs arcs le long de la poutre. Il n’existe actuellement aucune limite permettant de définir à partir de quel moment la formule étendue avec α et β perd sa validité.

La manière de résoudre habilement de tels problèmes aux valeurs propres sera expliquée dans l’article suivant à l’aide de différents exemples.

Auteur

M. Rehm est responsable du développement de produits pour les structures en bois et il fournit une assistance technique aux clients.

Liens

Logiciels de calcul de structures bois

Références

Timoshenko, S., & Gere, JM M.; Theory of Elastic Stability, 2. édition. New York: McGraw-Hill, 1961
DIN. (2013). Annexe Nationale - Eurocode 5 : Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08

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Déversement dans les structures en bois | Théorie

Détermination analytique de Mcrit

Facteurs de correction

Mcrit dans la normalisation

Appui élastique

Détermination analytique de M_crit

M_crit dans la normalisation