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Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

17.07.2020

Déversement dans les structures en bois | Exemples 1

L’article Déversement dans les structures en bois | Théorie explique les principes théoriques de la détermination analytique du moment critique de flexion M_crit ou de la contrainte critique de flexion σ_crit pour le déversement d’une poutre en flexion. Dans cet article, la solution analytique doit être vérifiée à l’aide d’exemples avec le résultat de l’analyse des valeurs propres.

Déversement dans les structures en bois - Théorie

Symboles utilisés

L	Longueur de la poutre
b	Largeur de la poutre
h	Hauteur de la poutre
E	Module d’élasticité
G	Module de cisaillement
I_z	Moment d’inertie autour de l’axe faible
I_T	Moment d’inertie de torsion
a_z	Distance du point d’application de la charge au centre de cisaillement

Poutre avec maintien latéral et en torsion sans appui intermédiaire

Symbol	Valeur	Unité
L	18	m
b	160	mm
h	1.400	mm
a_z	700	mm
I_z	477.866.667	mm⁴
I_T	1.773.842.967	mm⁴
E_0,05	10.400	N/mm²
G_0,05	540	N/mm²

Poutre à travée unique sur appuis articulés soumise à une charge uniformément répartie

Poutre isostatique à appuis articulés sous charge uniformément répartie

Pour la poutre avec maintien latéral et en torsion illustrée ci-dessus, sans appui intermédiaire, la longueur de barre équivalente résulte, pour une charge appliquée sur la face supérieure, en :

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot [1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{{EI}_{z}}{{GI}_{T}}}]} = 18.26 m

longueur de barre équivalente

Les facteurs a₁ et a₂ peuvent être relevés sur la figure 02 en fonction de la distribution du moment.

Facteurs utilisés pour le déversement latéral

Le moment fléchissant critique peut ensuite être calculé comme suit :

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 375, 42 kNm

Formule 2

Dans cet exemple, l’augmentation du produit des quantiles à 5 % des caractéristiques de rigidité en raison de l’homogénéisation des poutres en bois lamellé-collé est négligée.

Méthode des valeurs propres pour la détermination du moment fléchissant critique

Pour des systèmes plus complexes, il peut être avantageux de déterminer les charges critiques, les moments ou les contraintes à l’aide d’un solveur aux valeurs propres. Celui-ci est directement intégré dans la vérification du bois et contrôlé via les longueurs de flambement.

Un comportement élastique du matériau est alors présumé avec un comportement géométriquement non linéaire. Comme le quantile inférieur du moment critique doit être déterminé, les quantiles à 5 % doivent être utilisés pour les caractéristiques de rigidité E et G. Cela se fait automatiquement. Pour le résultat, le facteur de charge critique est déterminant. Celui-ci indique par quel facteur la charge peut être multipliée avant que le système devienne instable.

Dans cet exemple, la poutre est chargée par une charge unitaire de 1 kN/m. Il en résulte le moment fléchissant suivant :

M = \frac{q \cdot L^{2}}{8} = \frac{1, 00 \cdot 18, 00^{2}}{8} = 40, 50 kNm

Formule 3

Répartition des moments d'une poutre à travée unique avec charge répartie uniforme

Diagramme de moment fléchissant d'une poutre à travée unique soumise à une charge répartie uniforme

Ensuite, les maintiens latéraux et en torsion doivent être définis. Pour cela, assignez le type de vérification longueurs de flambement à la barre et sélectionnez le type [/fr/telechargements-et-informations/documents/manuels-en-ligne/rfem-6-verification-du-bois/000448#eigenvaluesolver méthode des valeurs propres].

Activation du solveur de valeurs propres dans les longueurs efficaces

Activation du solveur aux valeurs propres dans les longueurs efficaces

Dans l’onglet Appuis nodaux et longueurs de flambement, un appui articulé est défini par défaut au début et en fin de barre. Aucune autre configuration n’est donc requise pour cet exemple.

Définition de l'appui articulé

La charge agit par défaut de manière déstabilisante pour le solveur aux valeurs propres, donc sur la face supérieure de la poutre. Dans le cas contraire, la position de la charge pour le solveur aux valeurs propres peut être modifiée dans la configuration pour l’ELU.

Point d'application de la charge

Résultats de l’analyse des valeurs propres

Le calcul donne un facteur de charge critique de 9,47 (voir l’image suivante).

Pour le moment critique, on obtient :

M_{crit} = 9, 47 \cdot 40, 50 kNm = 383, 72 kNm

Formule 4

Détail de la justification avec sortie du facteur de charge critique et du moment fléchissant critique

Détail du calcul avec affichage du facteur de charge critique et du moment fléchissant critique

Si la charge est maintenant multipliée par ce facteur, une flèche de la membrure supérieure se produira et le système deviendra instable. Le mode propre correspondant peut être affiché graphiquement dans le Navigateur - Résultats :

Représentation du mode propre - Flambement de la membrure supérieure

Représentation de la forme propre - Flambement de la membrure supérieure

Le résultat du solveur aux valeurs propres concorde très bien avec celui de la solution analytique.

Symbol	Valeur	Unité
M_{crit,analytisch}	375,42	kNm
M_{crit,Eigenwert}	383,72	kNm

Poutre à travée simple avec maintien latéral et en torsion avec appui intermédiaire

La poutre est maintenant maintenue latéralement sans déplacement aux points de tiers par une structure de contreventement. Pour cela, deux « nœuds sur la barre » sur lesquels agissent les appuis latéraux sont assignés à la barre.

Insertion de « Nœud sur barre »

Astuce

Si la barre est divisée en plusieurs barres avec des « nœuds standards », le maintien latéral (longueur de flambement) doit être défini pour l’ensemble de barres.

Ensuite, les maintiens latéraux sont assignés via la longueur de flambement :

Définition des appuis latéraux

La position du maintien latéral ne peut pas être prise en compte avec les équations données dans la norme, de sorte que, pour une meilleure comparabilité, il est présumé se trouver au centre de cisaillement.
Comme la distribution du moment dans la zone centrale est presque constante, une distribution de moment constante est présumée comme bonne approximation pour les coefficients de longueur de déversement.

Distribution du moment fléchissant quasiment constante dans la travée médiane

Diagramme de moment fléchissant presque constant dans la travée centrale

La valeur a₁ est donc 1,0 et a₂ est égale à 0. Il en résulte une longueur efficace avec L = 6,0 m, soit

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot [1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{{EI}_{z}}{{GI}_{T}}}]} = 6, 00 m

Formule 5

et le moment critique :

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.142, 41 kNm

Formule 6

Le solveur aux valeurs propres donne, en tenant compte des appuis intermédiaires au centre de cisaillement, un facteur de charge critique de 27,64.

Détail de vérification avec affichage du facteur de charge critique et du moment fléchissant critique de la poutre maintenue aux points de tiers

Détail de vérification avec affichage du facteur de charge critique et du moment de flexion critique de la poutre maintenue aux points du tiers

Pour le moment critique, on obtient :

M_{crit} = 27, 64 \cdot 40, 50 kNm = 1.119, 46 kNm

Formule 7

Représentation de la forme modale - Déversement de la membrure supérieure en tenant compte des maintiens latéraux aux points du tiers

Représentation du mode propre - Flambement de la membrure supérieure en tenant compte des appuis latéraux aux points de tiers

L’approximation analytique est également très bonne dans ce cas.

Symbol	Valeur	Unité
M_{crit,analytisch}	1142,41	kNm
M_{crit,Eigenwert}	1119,46	kNm

Si l’appui intermédiaire agit sur la face supérieure (voir l’image suivante), le facteur de charge critique est plus élevé (36,74), car cette position a un effet plus favorable sur le comportement au déversement de la poutre.

M_{crit} = 36, 74 \cdot 40, 50 kNm = 1.488, 05 kNm

Formule 8

Excentricité des appuis latéraux

Analyse alternative sur le modèle surfacique

Les facteurs de charge critique peuvent également être calculés avec RFEM et le module complémentaire Stabilité de structure. Pour cela, la poutre doit être modélisée comme une surface orthotrope. Les résultats du module complémentaire concordent très bien avec le calcul sur barre. Le premier mode propre ainsi que le facteur de charge critique associé sont représentés dans l’image suivante.

Modes propres et facteurs de charge de bifurcation associés au modèle de surface

Formes propres et facteurs de charge de bifurcation associés au modèle surfacique

System	M_{crit,analytisch}	M_{crit,Eigenwert}	M_crit,Fläche
sans appui intermédiaire	375,42 kNm	383,72 kNm	377,43 kNm
avec appui intermédiaire au centre de cisaillement	1.142,41 kNm	1119,46 kNm	1079.28 kNm
avec appui intermédiaire sur la membrure supérieure	-	1488,05 kNm	1447.20 kNm

Pour la plupart des cas, il suffit probablement de déterminer le moment critique de déversement M_crit ou la contrainte critique de flexion σ_crit à l'aide des équations analytiques de la littérature.

Pour des cas particuliers, deux possibilités ont été présentées pour montrer comment cela peut être réalisé à l’aide de RFEM et RSTAB. Alors qu’avec le module complémentaire Vérification du bois, le calcul est effectué à l’aide de barres, le module complémentaire Stabilité de la structure permet des analyses de stabilité encore plus complexes. À titre d’exemple, on peut citer ici un appui articulé, qui n’est pas disposé sur toute la hauteur de la poutre. Cela peut être très facilement étudié avec un modèle surfacique.

Auteur

M. Rehm est responsable du développement de produits pour les structures en bois et il fournit une assistance technique aux clients.

Liens

Téléchargements

Modèle de l’article de la Knowledge Base | Exemples 1

1,07 MB

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