11412x

001647

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

17.7.2020

Klopení dřevěných konstrukcí | Příklady 1

V článku Klopení dřevěných konstrukcí | Teorie přibližujeme teoretická východiska pro analytickou metodu stanovení kritického ohybového momentu M_crit, respektive kritického ohybového napětí σ_crit pro klopení ohybového nosníku. V následujícím příspěvku na příkladech ověříme analytické řešení výsledkem analýzy vlastních čísel.

Boční klopení dřevěných konstrukcí - teorie

Použité symboly

L	Délka nosníku
b	Šířka nosníku
h	Výška nosníku
E	Modul pružnosti
G	Smykový modul
I_z	Moment setrvačnosti kolem slabé osy
I_T	Torzní moment setrvačnosti
a_z	Vzdálenost působiště zatížení od středu smyku

Vidlicově uložený prostě podepřený nosník bez mezilehlého podepření

Symbol	Hodnota	Jednotka
L	18	m
b	160	mm
h	1.400	mm
a_z	700	mm
I_z	477.866.667	mm⁴
I_T	1.773.842.967	mm⁴
E_0,05	10.400	N/mm²
G_0,05	540	N/mm²

Jednoduše podepřený nosník s kloubovými ložisky při rovnoměrném spojitém zatížení

Jednoduše podepřený jednopolový nosník s rovnoměrně rozloženým zatížením

Pro vidlicově uložený prostě podepřený nosník bez mezilehlého podepření zobrazený na obrázku výše vyplývá při působení zatížení na horní hraně ekvivalentní délka prutu:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot [1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{{EI}_{z}}{{GI}_{T}}}]} = 18.26 m

délka náhradního prutu

Faktory a₁ a a₂ lze odečíst z obrázku 02 podle průběhu momentu.

Součinitele klopení

Kritický ohybový moment lze poté vypočítat následovně:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 375, 42 kNm

Vzorec 2

Zvýšení součinu 5% kvantilů parametrů tuhosti z důvodu homogenizace nosníků z lepeného lamelového dřeva se v tomto příkladu neuvažuje.

Metoda vlastních čísel pro určení kritického ohybového momentu

Pro složitější systémy může být výhodné určit kritická zatížení, momenty, případně napětí pomocí řešiče vlastních čísel. Ten je v dimenzování dřeva přímo implementován a ovládá se přes Délky vzpěru. Předpokládá se přitom pružné chování materiálu při geometricky nelineárním chování. Protože se má určit dolní kvantil kritického momentu, je třeba pro parametry tuhosti E a G použít 5% kvantily. To se provádí automaticky. Jako výsledek je rozhodující kritický součinitel zatížení. Ten udává, jakým faktorem lze zatížení vynásobit, než se systém stane nestabilním.

V tomto příkladu je nosník zatížen jednotkovým zatížením 1 kN/m. Ohybový moment pro tento případ vychází:

M = \frac{q \cdot L^{2}}{8} = \frac{1, 00 \cdot 18, 00^{2}}{8} = 40, 50 kNm

Vzorec 3

Průběh momentů prostého nosníku s rovnoměrně rozloženým zatížením

Průběh momentu prostého nosníku s rovnoměrně rozloženým zatížením

Následně je třeba definovat vidlicová uložení. K tomu je prutu třeba přiřadit typ posouzení Délky vzpěru a zvolit typ Metoda vlastních čísel.

Aktivace řešiče vlastních čísel v efektivních délkách

Aktivace řešiče vlastních tvarů v efektivních délkách

V záložce Nodální podpory a délky vzpěru je standardně definováno vidlicové uložení na začátku i na konci prutu. Pro tento příklad tedy nejsou nutná žádná další nastavení.

Definice vidlicového uložení

Zatížení působí pro řešič vlastních čísel standardně destabilizačně, tedy na horní straně nosníku. Pokud tomu tak není, lze polohu zatížení pro řešič vlastních čísel změnit v konfiguraci únosnosti.

Definice bodu působení zatížení

Výsledky z analýzy vlastních čísel

Z výpočtu vyplývá kritický součinitel zatížení 9,47 (viz následující obrázek).

Pro kritický moment platí:

M_{crit} = 9, 47 \cdot 40, 50 kNm = 383, 72 kNm

Vzorec 4

Detail kontroly s výstupem kritického součinitele zatížení a kritického ohybového momentu

Detail kontroly s výstupem kritického zatěžovacího faktoru a kritického ohybového momentu

Pokud se nyní zatížení tímto faktorem vynásobí, dojde k vybočení horního pásu a systém se stane nestabilním. Příslušný vlastní tvar lze v navigátoru výsledků graficky zobrazit:

Zobrazení vlastního tvaru - vybočení horního pásu

Zobrazení tvaru vlastního kmitu - Vzpěr horního pasu

Výsledek řešiče vlastních čísel velmi dobře odpovídá výsledku analytického řešení.

Symbol	Hodnota	Jednotka
M_{crit,analytisch}	375,42	kNm
M_{crit,Eigenwert}	383,72	kNm

Vidlicově uložený prostě podepřený nosník s mezilehlým podepřením

Nosník je nyní ve třetinových bodech zajištěn bočním ztužujícím prvkem proti bočnímu posuvu. K tomu jsou prutu přiřazeny dva 'Uzly na prutu', na nichž působí boční zajištění.

Vložení „Uzel na prutu“

Tip

Pokud je prut rozdělen pomocí 'Standardní uzly' na několik prutů, je třeba boční zajištění (Délka vzpěru) definovat na jednotlivém úseku prutu.

Následuje přiřazení bočních zajištění pomocí Délka vzpěru:

Definice bočních podpěr

Polohu bočního zajištění nelze zohlednit rovnicemi uvedenými v normě, proto se pro lepší porovnatelnost uvažuje ve středu smyku. Protože je průběh momentu ve střední oblasti téměř konstantní, předpokládá se pro součinitele klopení v dobré aproximaci konstantní průběh momentu.

Téměř konstantní průběh ohybového momentu ve středním poli

Hodnota a₁ je tedy 1,0 a a₂ rovna 0. Pro efektivní délku L = 6,0 m vychází

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot [1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{{EI}_{z}}{{GI}_{T}}}]} = 6, 00 m

Vzorec 5

a kritický moment

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1142, 41 kNm

Vzorec 6

Z řešiče vlastních čísel vyplývá s ohledem na mezilehlá podepření ve středu smyku kritický součinitel zatížení 27,64.

Detail návrhu s výstupem kritického součinitele zatížení a kritického ohybového momentu nosníku podepřeného v třetinových bodech

Detail kontroly s výstupem kritického součinitele zatížení a kritického ohybového momentu nosníku podepřeného v třetinových bodech

Pro kritický moment platí:

M_{crit} = 27, 64 \cdot 40, 50 kNm = 1.119, 46 kNm

Vzorec 7

Zobrazení vlastní formy - Vybočení horního pásu s ohledem na boční podpory v bodech třetinového dělení

Zobrazení vlastního tvaru - Vychýlení horního pásu s ohledem na boční ztužení v třetinových bodech

Analytický přibližný výpočet je i v tomto případě velmi dobrý.

Symbol	Hodnota	Jednotka
M_{crit,analytisch}	1142,41	kNm
M_{crit,Eigenwert}	1119,46	kNm

Působí-li mezilehlé podepření na horní hraně (viz následující obrázek), je kritický součinitel zatížení větší (36,74), protože tato poloha má příznivější vliv na klopení nosníku.

M_{crit} = 36, 74 \cdot 40, 50 kNm = 1.488, 05 kNm

Vzorec 8

Excentricita bočních podpor

Alternativní posouzení na plošném modelu

Součinitele rozvětvení zatížení lze také vypočítat pomocí RFEM a doplňku Strukturstabilita. K tomu je nutné modelovat nosník jako ortotropní plošný prvek. Výsledky z doplňku velmi dobře odpovídají výpočtu prutem. První vlastní tvar i příslušný součinitel rozvětvení zatížení jsou zobrazeny na následujícím obrázku.

Vlastní tvary a příslušné faktory kritického zatížení na plošném modelu

Vlastní tvary a související faktory zatížení při vzpěru plošného modelu

System	M_{crit,analytisch}	M_{crit,Eigenwert}	M_crit,Fläche
ohne Zwischenabstützung	375,42 kNm	383,72 kNm	377,43 kNm
mit Zwischenabstützung im Schubmittelpunkt	1.142,41 kNm	1119,46 kNm	1079.28 kNm
mit Zwischenabstützung am Obergurt	-	1488,05 kNm	1447.20 kNm

Pro většinu případů je zřejmě dostatečné určit kritický ohybový moment M_crit, případně kritické ohybové napětí σ_crit, pomocí analytických rovnic z literatury. Pro speciální případy byly ukázány dvě možnosti, jak to lze realizovat pomocí RFEM a RSTAB. Zatímco s doplňkem 'Posouzení dřeva' se výpočet provádí pomocí prutů, s doplňkem Strukturstabilita lze provádět ještě složitější posouzení stability. Jako příklad zde lze uvést vidlicové uložení, které není umístěno po celé výšce nosníku. To lze s plošným modelem velmi pohodlně analyzovat.

Autor

Ing. Rehm se podílí na vývoji programů pro dřevěné konstrukce a zajišťuje technickou podporu zákazníkům.

Odkazy

Stahování

Model z článku Databáze znalostí | Příklady 1

1,07 MB

;