11913x

001647

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

6.5.2026

Klopení dřevěných konstrukcí | Příklady 1

V článku Klopení dřevěných konstrukcí | Teorie přibližujeme teoretická východiska pro analytickou metodu stanovení kritického ohybového momentu Mcrit, respektive kritického ohybového napětí σcrit pro klopení nosníku namáhaného ohybem. V následujícím příspěvku na příkladech ověříme analytické řešení výsledkem analýzy vlastních čísel.

Klopení dřevěných konstrukcí - teorie

Použité symboly

L	Délka nosníku
b	Šířka nosníku
h	Výška nosníku
E	Modul pružnosti
G	Smykový modul
I_z	Moment setrvačnosti okolo hlavní osy nejmenší tuhosti
I_T	Moment tuhosti v prostém kroucení
a_z	Vzdálenost působiště zatížení od středu smyku

Prostý nosník s vidlicovým uložením bez mezilehlých podpor

Symbol	Hodnota	Jednotka
L	18	m
b	160	mm
h	1 400	mm
a_z	700	mm
I_z	477 866 667	mm⁴
I_T	1 773 842 967	mm⁴
E_0,05	10 400	N/mm²
G_0,05	540	N/mm²

Vidlicově podepřený prostý nosník při rovnoměrném spojitém zatížení

Vidlicově podepřený prostý nosník při rovnoměrně rozloženém zatížení

U prostého nosníku s vidlicovým uložením bez mezilehlých podpor (viz obr. 01) se délka náhradního prutu při působení zatížení na horní straně stanoví ze vztahu:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot [1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{{EI}_{z}}{{GI}_{T}}}]} = 18.26 m

Délka náhradního prutu

Součinitel a₁ a a₂ lze převzít z tabulky na obr. 02 v závislosti na příslušném průběhu momentů.

Součinitele klopení

Kritický ohybový moment lze pak vypočítat následovně:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 375, 42 kNm

Vzorec 2

V našem příkladu nebudeme uvažovat zvýšení součinu 5% kvantilů tuhosti v důsledku homogenizace nosníků z lepeného lamelového dřeva.

Metoda vlastních čísel pro určení kritického ohybového momentu

U složitějších systémů může být výhodné použít pro stanovení kritických zatížení, momentů nebo napětí řešič vlastních čísel. Řešič je přimo implementován v addonu Posouzení dřevěných konstrukcí a nastavuje se přes Vzpěrné délky. Předpokládá se přitom pružné chování materiálu při geometricky nelineárním chování. Protože se má stanovit dolní kvantil kritického momentu, je třeba pro parametry tuhosti E a G použít 5% kvantily. To se provádí automaticky. Rozhodujícím výsledkem je kritický součinitel zatížení. Udává, jakým součinitelem lze zatížení vynásobit, než dojde ke ztrátě stability konstrukce.

V našem příkladu zatížíme nosník jednotkovým zatížením 1 kN/m. Výsledkem je tak následující ohybový moment:

M = \frac{q \cdot L^{2}}{8} = \frac{1, 00 \cdot 18, 00^{2}}{8} = 40, 50 kNm

Vzorec 3

Průběh momentu prostého nosníku s rovnoměrně rozloženým zatížením

Následně je třeba zadat vidlicové uložení. K tomu je prutu třeba přiřadit typ posouzení Vzpěrné délky a zvolit typ Metoda vlastních čísel.

Aktivace řešiče vlastních čísel ve vzpěrných délkách

V záložce Uzlové podpory a vzpěrné délky je standardně zadáno vidlicové uložení na počátku i na konci prutu. V našem příkladu tedy nejsou nutná žádná další nastavení.

Zadání vidlicového uložení

Zatížení působí pro řešič vlastních čísel standardně jako destabilizující, tedy na horní straně nosníku. Pokud tomu tak není, lze polohu zatížení pro řešič vlastních čísel změnit v konfiguraci únosnosti.

Zadání působiště zatížení

Výsledky z analýzy vlastních čísel

Výsledkem výpočtu je součinitel kritického zatížení 9,47 (viz následující obrázek).

Pro kritický moment pak platí:

M_{crit} = 9, 47 \cdot 40, 50 kNm = 383, 72 kNm

Vzorec 4

Detaily posouzení se zobrazením součinitele kritického zatížení a kritického ohybového momentu

Pokud se zatížení nyní vynásobí tímto součinitelem, dojde k vybočení horní pásnice a ztrátě stability systému. Příslušný vlastní tvar lze graficky zobrazit z navigátoru Výsledky:

Zobrazení vlastního tvaru - vybočení horní pásnice

Výsledek řešení vlastních čísel téměř odpovídá výsledku analytického řešení.

Symbol	Hodnota	Jednotka
M_{crit,analyticky}	375,42	kNm
M_{crit,vlastní čísla}	383,72	kNm

Prostý nosník s vidlicovým uložením s mezilehlým podepřením

Nosník je ve třetinách podepřen proti příčnému posunutí. Prutu byly proto přiřazeny dva 'uzly na prutu', na nichž působí příčné ztužení.

Vložení „uzlu na prutu“

Tip

Pokud je prut rozdělen 'standardními uzly' na několik prutů, je třeba příčné podepření (Vzpěrné délky) zadat na sadě prutů.

Příčná podepření se přiřadí přes vzpěrné délky:

Zadání příčných podpor

Polohu příčného podepření nelze zohlednit rovnicemi uvedenými v normě, proto se pro lepší možnost porovnání uvažuje ve středu smyku.
Vzhledem k tomu, že průběh momentů ve střední oblasti je téměř konstantní, bude se pro součinitele vzpěrné délky při klopení uvažovat konstantní průběh momentů.

Téměř konstantní průběh ohybového momentu ve středním poli

Hodnota a₁ je tudíž 1,0 a hodnota a₂ je 0. Vzpěrná délka je tak při L = 6,0 m

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot [1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{{EI}_{z}}{{GI}_{T}}}]} = 6, 00 m

Vzorec 5

a kritický moment

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1142, 41 kNm

Vzorec 6

Analýzou vlastních čísel se při zohlednění mezilehlého podepření ve středu smyku stanoví součinitel kritického zatížení 27,64.

Detaily posouzení se zobrazením součinitele kritického zatížení a kritického ohybového momentu u nosníku s mezilehlým podepřením ve třetinách

Pro kritický moment pak platí:

M_{crit} = 27, 64 \cdot 40, 50 kNm = 1.119, 46 kNm

Vzorec 7

Zobrazení vlastního tvaru - vybočení horní pásnice při zohlednění příčného podepření ve třetinách

I v tomto případě přináší přibližné řešení analytickou metodou poměrně dobrý výsledek.

Symbol	Hodnota	Jednotka
M_{crit,analyticky}	1142,41	kNm
M_{crit,vlastní čísla}	1119,46	kNm

Pokud působí mezilehlé podepření na horní straně (viz následující obrázek), pak je součinitel kritického zatížení větší (36,74), protože toto umístění má příznivější vliv na stabilitní chování nosníku.

M_{crit} = 36, 74 \cdot 40, 50 kNm = 1.488, 05 kNm

Vzorec 8

Excentricita příčných podpor

Analýza plošného modelu jako alternativní řešení

Součinitele kritického zatížení lze vypočítat také pomocí programu RFEM a addonu Stabilita konstrukce. K tomu je třeba modelovat nosník jako ortotropní plochu. Výsledky z addonu velmi dobře odpovídají výpočtu prutu. První vlastní tvar a příslušný součinitel kritického zatížení jsou znázorněny na následujícím obrázku.

Vlastní tvary a příslušné součinitele kritického zatížení na plošném modelu

Systém	M_{crit,analyticky}	M_{crit,vlastní čísla}	M_crit,plocha
bez mezilehlých podpor	375,42 kNm	383,72 kNm	377,43 kNm
s mezilehlým podepřením ve středu smyku	1 142,41 kNm	1119,46 kNm	1079,28 kNm
s mezilehlým podepřením na horní pásnici	-	1488,05 kNm	1447,20 kNm

Ve většině případů pravděpodobně stačí určit kritický ohybový moment M_crit, resp. kritické ohybové napětí σ_crit pomocí analytických rovnic z odborných příruček. Pro zvláštní případy jsme předvedli dvě možnosti, k nimž můžeme využít programy RFEM a RSTAB. Zatímco s addonem 'Posouzení dřevěných konstrukcí' se provádí výpočet prutů, addon Stabilita konstrukce lze použít pro složitější stabilitní posouzení. Jako příklad uvádíme vidlicové uložení, které není uspořádáno po celé výšce nosníku. Takový případ lze snadno posoudit pomocí plošného modelu.

Autor

Gerhard působí v Product Engineering v oblasti dřevěných konstrukcí a navíc podporuje Customer Support. Své zkušenosti z vývoje využívá pro praktická a realizovatelná řešení.

Odkazy

Stahování

Model z článku Databáze znalostí | Příklady 1

1,06 MB

;