Klopení dřevěných konstrukcí | Příklady 1

Odborný článek

V článku Klopení v dřevěné konstrukci | Teorie přibližujeme teoretická východiska pro analytickou metodu stanovení kritického ohybového momentu Mcrit, respektive kritického ohybového napětí σcrit pro klopení ohybového nosníku. V následujícím příspěvku na příkladech ověříme analytické řešení výsledkem analýzy vlastních čísel.

Použité symboly:
L ... délka nosníku
b ... šířka nosníku
h ... výška nosníku
E ... modul pružnosti
G ... smykový modul
Iz ... moment setrvačnosti osy s menší tuhostí
IT ... moment setrvačnosti v kroucení
az ... vzdálenost působiště zatížení od středu smyku

Prostý nosník s vidlicovým uložením bez mezilehlých podpor

L = 18 m
b = 160 mm
h = 1 400 mm
az = 700 mm
Iz = 477 866 667 mm4
IT = 1 773 842 967 mm4
E0,05 = 10 400 N/mm²
G0,05 = 540 N/mm²

Obr. 01 - Prostý nosník s vidlicovým uložením bez mezilehlých podpor

U prostého nosníku s vidlicovým uložením bez mezilehlých podpor (viz obr. 01) se délka náhradního prutu při působení zatížení na horní straně stanoví ze vztahu:

${\mathrm l}_{\mathrm{ef}}\;=\;\frac{\mathrm L}{{\mathrm a}_1\;\cdot\;\left[1\;-\;{\mathrm a}_2\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm a}_{\mathrm z}}{\mathrm L}\;}\;\cdot\;\sqrt{\displaystyle\frac{{\mathrm{EI}}_{\mathrm z}}{{\mathrm{GI}}_{\mathrm T}}}\right]}\;=\;18,26\;\mathrm m$

Součinitele a1 a a2 lze převzít z tabulky na obr. 02 v závislosti na příslušném průběhu momentů.

Obr. 02 - Součinitele klopení

Kritický ohybový moment lze pak spočítat následovně:

${\mathrm M}_{\mathrm{crit}}\;=\;\frac{\mathrm\pi\;\cdot\;\sqrt{{\mathrm E}_{0,05}\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm z}\;\cdot\;{\mathrm G}_{0,05}\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm T}}}{{\mathrm l}_{\mathrm{ef}}}\;=\;375,42\;\mathrm{kNm}$

V našem příkladu nebudeme uvažovat zvýšení součinu 5% kvantilů tuhosti v důsledku homogenizace nosníků z lepeného lamelového dřeva.

U složitějších systémů může být výhodné použít pro stanovení kritických zatížení, momentů nebo napětí řešič vlastních čísel. Přídavný modul RF-/FE-LTB umožňuje vypočítat kritická zatížení u sad prutů metodou konečných prvků. Přitom se pro geometricky nelineární chování předpokládá pružné chování materiálu. Důležitým výsledkem pro dřevěné konstrukce je součinitel kritického zatížení, který udává, jakým součinitelem lze zatížení vynásobit, než dojde ke ztrátě stability konstrukce.

V našem příkladu zatížíme nosník jednotkovým zatížením 1 kN/m. Výsledkem je tak následující ohybový moment:

$\mathrm M\;=\;\frac{\mathrm q\;\cdot\;\mathrm L^2}8\;=\;\frac{1,00\;\cdot\;18,00^2}8\;=\;40,50\;\mathrm{kNm}$

Obr. 03 - Průběh momentů na prostém nosníku při jednotkovém zatížení

Protože se má stanovit dolní kvantil kritického momentu, použijí se pro hodnoty tuhosti E a G 5% kvantily. K tomu je třeba vytvořit uživatelsky definovaný materiál, který se použije pouze v tomto přídavném modulu. U daného materiálu nahradíme příslušné hodnoty tuhosti E a G.

Obr. 04 - Vytvoření uživatelsky definovaného materiálu

Následně zadáme vidlicové uložení. Přitom je důležité uvolnit také stupeň volnosti φZ.

Obr. 05 - Zadání podporových podmínek

Aby zatížení působilo na horní část nosníku, je třeba ho zadat s excentricitou.

Obr. 06 - Excentrické působení zatížení

V detailech pak ještě musíme deaktivovat volbu pro redukci tuhosti dílčím součinitelem spolehlivosti γM (viz obr. 07), případně můžeme u materiálu zadaného uživatelem nastavit dílčí součinitel spolehlivosti na 1,0.

Obr. 07 - Detaily v RF-/FE-LTB

Výsledkem výpočtu je součinitel kritického zatížení 9,3333 (viz obr. 08). Pokud se zatížení vynásobí tímto součinitelem, dojde k vybočení horní pásnice a ztrátě stability systému.

Obr. 08 - Součinitel kritického zatížení

Kritický moment se určí ze vztahu:

${\mathrm M}_{\mathrm{crit}}\;=\;9,3333\;\cdot\;40,50\;\mathrm{kNm}\;=\;378,00\;\mathrm{kNm}$

Tento výsledek odpovídá výsledku analytického řešení.

Prostý nosník s vidlicovým uložením s mezilehlým podepřením

Nosník je ve třetinách podepřen proti příčnému posunutí.

Obr. 09 - Průběh ohybového momentu ve středu pole

Vzhledem k tomu, že průběh momentů ve střední oblasti je téměř konstantní, bude se pro součinitele vzpěrné délky při klopení uvažovat konstantní průběh momentů. Hodnota a1 je tudíž 1,0 a hodnota a2 je 0. Vzpěrná délka je tak při L = 6,0 m

${\mathrm l}_{\mathrm{ef}}\;=\;\frac{\mathrm L}{{\mathrm a}_1\;\cdot\;\left[1\;-\;{\mathrm a}_2\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm a}_{\mathrm z}}{\mathrm L}}\;\cdot\;\sqrt{\displaystyle\frac{{\mathrm{EI}}_{\mathrm z}}{{\mathrm{GI}}_{\mathrm T}}}\right]}\;=\;6,00\;\mathrm m$

a kritický moment

${\mathrm M}_{\mathrm{crit}}\;=\;\frac{\mathrm\pi\;\cdot\;\sqrt{{\mathrm E}_{0,05}\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm z}\;\cdot\;{\mathrm G}_{0,05}\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm T}}}{{\mathrm l}_{\mathrm{ef}}}\;=\;1 142,41\;\mathrm{kNm}$

Analýzou vlastních čísel se při zohlednění mezilehlého podepření ve středu smyku (viz obr. 10) stanoví součinitel kritického zatížení 26,1735.

Obr. 10 - Zadání podpor proti příčnému posunutí

Pro kritický moment pak platí:

${\mathrm M}_{\mathrm{crit}}\;=\;26,1735\;\cdot\;40,50\;\mathrm{kNm}\;=\;1 060,03\;\mathrm{kNm}$

Pokud působí mezilehlé podepření na horní straně (viz obr. 11), pak je součinitel kritického zatížení větší (32,5325), protože toto umístění má příznivější vliv na stabilitní chování nosníku.

${\mathrm M}_{\mathrm{crit}}\;=\;32,5325\;\cdot\;40,50\;\mathrm{kNm}\;=\;1 317,57\;\mathrm{kNm}$

Obr. 11 - Zadání excentrického podepření

I v tomto případě přináší přibližné řešení analytickou metodou poměrně dobrý výsledek.

Analýza plošného modelu jako alternativní řešení

Součinitele kritického zatížení lze vypočítat také pomocí programu RFEM a přídavného modulu RF-STABILITY. K tomu je třeba modelovat nosník jako ortotropní plochu. Výsledky z modulu RF-STABILITY velmi dobře odpovídají výpočtu prutu v modulu RF-/FE-LTB. První vlastní tvar a příslušný součinitel kritického zatížení jsou znázorněny na obr. 12.

Obr. 12 - Vlastní tvary plošného modelu s příslušným součinitelem kritického zatížení

SystémMcrit
analyticky
Mcrit
RF-/FE-LTB
Mcrit
RF-STABILITY
bez mezilehlých podpor375,42 kNm378,00 kNm378,55 kNm
s mezilehlým podepřením ve středu smyku1 142,41 kNm1 060,03 kNm1 085,81 kNm
s mezilehlým podepřením na horní pásnici-1 317,57 kNm1 455,98 kNm

Ve většině případů pravděpodobně stačí určit kritický ohybový moment Mcrit, resp. kritické ohybové napětí σcrit pomocí analytických rovnic z odborných příruček. Pro zvláštní případy jsme předvedli dvě možnosti, k nimž můžeme využít programy Dlubal. Zatímco přídavný modul RF-/FE-LTB slouží k výpočtům prutů, přídavný modul RF-STABILITY lze použít pro složitější stabilitní posouzení. Jako příklad jsme uvedli vidlicové uložení, které není uspořádáno po celé výšce nosníku. Takový případ lze snadno posoudit pomocí plošného modelu.

Klíčová slova

Klopení Prostorový vzpěr Vlastní číslo

Ke stažení

Odkazy

Kontakt

Máte dotazy nebo potřebujete poradit?
Kontaktujte prosím kdykoli naši bezplatnou technickou podporu e-mailem, na chatu nebo na fóru anebo se podívejte do sekce často kladených dotazů (FAQ).

+420 227 203 203

info@dlubal.cz

RFEM Hlavní program
RFEM 5.xx

Hlavní program

Program RFEM pro statické výpočty metodou konečných prvků umožňuje rychlé a snadné modelování konstrukcí, které se skládají z prutů, desek, stěn, skořepin a těles. Pro následná posouzení jsou k dispozici přídavné moduly, které zohledňují specifické vlastnosti materiálů a podmínky uvedené v normách.

Cena za první licenci
3 540,00 USD
RFEM Ocelové a hliníkové konstrukce
RF-FE-LTB 5.xx

Přídavný modul

Analýza klopení a prostorového vzpěru podle teorie II. řádu pomocí MKP

Cena za první licenci
900,00 USD
RFEM Ostatní
RF-STABILITY 5.xx

Přídavný modul

Stabilitní analýza podle metody vlastních tvarů

Cena za první licenci
1 030,00 USD
RSTAB Hlavní program
RSTAB 8.xx

Hlavní program

Program pro statický výpočet a navrhování prutových a příhradových konstrukcí, provedení lineárních a nelineárních výpočtů vnitřních sil, deformací a podporových reakcí.

Cena za první licenci
2 550,00 USD
RSTAB Ocelové a hliníkové konstrukce
FE-LTB 8.xx

Přídavný modul

Analýza klopení a prostorového vzpěru podle teorie II. řádu pomocí MKP

Cena za první licenci
900,00 USD