Manuels en ligne RFEM 6 | Analyse en fonction du temps (TDA)

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006189

Marc Gebhardt

01.06.2026

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Analyse en fonction du temps (TDA)

Principes théoriques

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Résultats

Calcul

Général

L'analyse en fonction du temps des effets à long terme est effectuée à l'aide de la méthode des pas de temps. Pour cela, la période à analyser est décomposée de manière incrémentale en instants entre lesquels un calcul linéarisé de l’état de contrainte et de déformation est effectué.
Les instants à calculer peuvent être distribués de manière linéaire ou logarithmique. En raison de la nature générale du comportement dépendant du temps (fonction exponentielle décroissante), une distribution logarithmique est toutefois recommandée. Sa définition est détaillée au chapitre Saisie.

L’approche est implémentée conformément à la définition dans la Saisie des valeurs caractéristiques dépendant du temps. La déformation de retrait est appliquée comme charge selon les valeurs du vecteur temps et génère, selon le système, des déformations et/ou des contraintes.

En cas de vieillissement, une augmentation ou une diminution des propriétés du matériau (modules d’élasticité et résistance) est appliquée selon la définition du vecteur temps pour chaque incrément de temps. Pour le fluage et la relaxation, une approche un peu plus complexe est requise, c'est pourquoi le point suivant y est consacré plus en détail. De manière simplifiée, on peut dire qu’une loi de comportement avec mémoire est appliquée ici sur la base de la saisie.

Comportement viscoélastique

Dans le cadre de l’analyse aux éléments finis pour le fluage et la relaxation, les modèles décrits dans le chapitre Modèles rhéologiques sont discrétisés dans le temps à partir de la forme d’équation différentielle.

Pour cela, les fonctions noyaux dépendant du temps sont implémentées numériquement à chaque pas de temps via des variables internes, contrainte, déformation et temps de retardation.

Il en résulte une somme de fonctions à décroissance exponentielle par pas de temps. Ainsi, à chaque pas, la déformation de l’élément fini est déterminée à partir du champ de déplacement. Ensuite, les variables internes sont mises à jour et les contraintes sont déterminées à partir de la loi de comportement. Si des non-linéarités géométriques ou matérielles sont présentes, le système d’équations non linéaires doit être résolu de manière itérative.

Fluage du béton par le coefficient de fluage selon l’Eurocode

Selon l’EN 1992-1-1, 3.1.4, le coefficient de fluage φ(t,t₀) est une grandeur sans dimension qui décrit le rapport entre la déformation due au fluage et la déformation instantanée :

φ (t, t_{0}) = \frac{ε_{c r}}{ε_{e l}} = \frac{ε_{c} (t) - ε_{c 0}}{ε_{c 0}}

φ(t,t0)	Coefficient de fluage
εcr	Déformation de fluage
εel	Déformation élastique
εc(t)	Déformation du béton au fil du temps
εc0	Déformation instantanée du béton

Coefficient de fluage

La déformation totale sous contrainte constante peut être calculée selon l’équation suivante :

ε_{c} (t) = ε_{c 0} \cdot (1 + φ (t, t_{0})) = \frac{σ_{0}}{E_{c m}} \cdot (1 + φ (t, t_{0}))

εc(t)	Déformation du béton avec le temps
εc0	Déformation instantanée du béton
φ(t,t0)	Béton armé
σ0	Contrainte (constante)
Ecm	Module d'élasticité moyen du béton

Déformation totale (coefficient de fluage)

En comparant la formulation du coefficient de fluage et la chaîne de Kelvin (sans amortisseur libre), la fonction de fluage totale (conformité du fluage) peut être représentée en fonction du coefficient de fluage :

J (t) = \frac{ε_{c} (t)}{σ_{0}} = \frac{(1 + φ (t, t_{0}))}{E_{c m}}

εc(t)	Déformation du béton sur temps
σ0	Contrainte (constante)
φ(t,t0)	Coefficient de fluage
Ecm	Moyen Modules d’élasticité du Béton

Fonction de fluage complète (Compliance de fluage) en fonction du coefficient de fluage

En ajustant le coefficient de fluage sous forme de série de Prony ou de Dirichlet, une minimisation de celui-ci par rapport aux coefficients de fluage analytiques peut être effectuée :

min_{α_{k}} \sum_{i = 1}^{m} {(φ (t_{i}) - φ_{∞} \sum_{k = 1}^{n} α_{k} (1 - e^{- t_{i} / τ_{k}}))}^{2}

αk	Facteur de pondération (conditions secondaires : supérieur à 0 et leur somme doit être égale à 1)
i	Incréments de temps
m	Nombre d'incréments de temps
φ(ti)	Indice de fluage au temps i
φ∞	Coefficient de fluage (infini)
k	Élément actuel
n	Nombre d'éléments
e	Nombre d'Euler
ti	Temps au point i
τk=ηk/Ek	Temps de retard de l'Élément actuel Verwende dabei folgende Übersetzungen: "Element" als "Élément"

Adaptation série Prony du coefficient de fluage

Par rapport à la chaîne de Kelvin, les rigidités des ressorts des éléments peuvent maintenant être déduites des poids adaptés, et les constantes d'amortisseur des temps de retard :

E_{k} = \frac{E_{c m}}{φ_{∞} \cdot α_{k}}

η_{k} = E_{k} \cdot τ_{k} = \frac{E_{c m} \cdot τ_{k}}{φ_{∞} \cdot α_{k}}

Rigidité de ressort et constante d'amortissement à partir de poids ajustés

Pour une approche simplifiée du fluage, le fluage du béton peut être pris en compte comme une réduction du module d'élasticité moyen au module d'élasticité effectif par un calcul indépendant du temps (pas de méthode des pas de temps). Il convient de noter que cette simplification n'est valable que pour une charge proportionnelle et croissante de manière monotone et n'est pas équivalente à la chaîne de Kelvin. Elle sous-estime la déformation de fluage en cas de charge variable et ne prend pas en compte la relaxation.

E_{c, eff} = \frac{E_{c m}}{1 + φ (∞, t_{0})}

Ec,eff	Module d'élasticité effectif du béton
Ecm	Module d'élasticité moyen du béton
φ(∞,t0)	Coefficient de fluage (à l'infini, rapporté au temps initial)

Module d'élasticité efficace

Informations

Cette variante est implémentée dans le module complémentaire Vérification du béton avec le type d'analyse Fluage et retrait (linéaire).

Références

Bazant, Z.P. & Wu, S.T. (1974) « Loi de fluage de type taux pour le béton vieillissant basée sur une chaîne de Maxwell. » RILEM Materials and Structures, 7(37), p. 45–60.
Bazant, Z.P. (1988) "Mathematical Modeling of Creep and Shrinkage of Concrete." John Wiley & Sons, Chichester.
Bazant, Z.P. & Prasannan, S. (1989) "Solidification Theory for Concrete Creep." Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 115(8), pp. 1691–1725.
Bazant, Z.P. & Cedolin, L. (1991) "Stability of Structures." Oxford University Press.
Carol, I. & Bazant, Z.P. (1993) « Viscoélasticité avec vieillissement causée par la solidification d'un constituant non vieillissant. » Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 119(11), pp. 2252–2269.
Comité Européen de normalisation (CEN). (2010) Eurocode 2 : Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1‑1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau; EN 1992‑1‑1:2004 + AC:2010
fib bulletin 65 Model Code 2010 (2012). Fédération Internationale du Béton (fib), Lausanne, Suisse.

Chapitre parent

Principes théoriques