Berechnung

Allgemein

Die zeitabhängige Analyse der Langzeiteffekte wird mittels des Zeitschrittverfahrens durchgeführt. Hierfür erfolgt eine inkrementelle Zerlegung des zu berechnenden Zeitraums in Zeitpunkte zwischen welchen eine linearisierte Berechnung des Spannungs- und Verformungszustands erfolgt.
Die zu berechnenden Zeitpunkte können hierbei linear, oder logarithmisch verteilt sein. Empfehlenswert ist jedoch auf Grund der allgemeinen Natur zeitabhängigen Verhaltens (abklingende Exponentialfunktion) eine logarithmische Verteilung. Auf deren Definition wird im Kapitel Eingabe genauer eingegangen.
Der Ansatz erfolgt gemäß der Definition in der Eingabe der zeitabhängigen Kennwerte. Die Schwinddehnung wird gemäß des zeitvektoriellen Werte als Belastung aufgebracht und erzeugt je nach System Dehnungen und/oder Zwangsspannungen. Bei Alterung wird eine Erhöhung bzw. Verringerung der Materialkennwerte (Elastizitätsmodul und Festigkeit) entsprechend der zeitvektoriellen Definition je Zeitinkrement angesetzt. Für Kriechen und Relaxation ist ein etwas komplexerer Ansatz erforderlich, weshalb im nachfolgenden Punkt genauer hierauf eingegangen wird. Vereinfacht kann man sagen, dass hier auf Grundlage der Eingabe ein Materialgesetz mit Gedächtnis angesetzt wird.

Viskoelastisches Verhalten

Im Rahmen der Finite-Elemente-Analyse für Kriechen und Relaxation werden die im Kapitel Rheologisches Modelle beschriebenen Modelle aus der Differentialgleichungsform zeitdiskretisiert. Hierfür werden die zeitabhängigen Kernfunktionen über interne Variablen, Spannung, Dehnung und Retardationszeit, numerisch in jedem Zeitschritt umgesetzt. Es ergibt sich daraus eine Summe exponentiell abklingender Funktionen je Zeitschritt. Somit wird in jedem Schritt die Dehnung des FE-Elements aus dem Verschiebungsfeld bestimmt. Daraufhin werden die inneren Variablen aktualisiert und die Spannungen aus dem Materialgesetzt bestimmt. Falls geometrische oder materielle Nichtlinearitäten vorliegen muss das nichtlineare Gleichungssystem, iterativ, gelöst werden.

Kriechen von Beton mittels Kriechzahl nach Eurocode

Nach EN 1992-1-1, Abschnitt 3.1.4 ist die Kriechzahl φ(t,t₀) eine dimensionslose Größe, die das Verhältnis der Kriech- zur Sofortdehnung beschreibt:

Die Gesamtdehnung unter konstanter Dehnung kann nach folgender Gleichung berechnet werden:

Durch den Vergleich der Kriechzahlformulierung und der Kelvin-Kette (ohne freien Dämpfer) kann die Gesamtkriechfunktion (Kriechkompliance) in Abhängigkeit der Kriechzahl dargestellt werden:

Durch Anpassung der Kriechzahl als Prony-, beziehungsweise Drichlet-Reihe kann eine Minimierung dieser im Vergleich zu den analytischen Kriechzahlen durchgeführt werden:

Im Vergleich zu der Kelvinkette kann nun aus den angepassten Gewichten die Federsteifigkeiten der Elemente und wiederum aus den Retardationszeiten die Dämpferkonstanten abgeleitet werden:

Für einen vereinfachten Ansatz des Kriechens, kann durch eine zeitunabhängige Berechnung (kein Zeitschrittverfahren) das Kriechen des Betons als Abminderung des mittleren zum effektiven Elastistizitätsmodul angesetzt werden. Anzumerken ist hierbei, dass diese Vereinfachung nur für proportionale, monoton wachsende Belastung gilt und nicht äquivalent zur Kelvin-Kette ist. Sie unterschätzt die Kriechverformung bei veränderlicher Last und erfasst keine Relaxation.