Online manuály RFEM 6 | Časově závislá analýza (TDA)

Zpět k online manuálům

006189

Dr. rer. nat. Marc Gebhardt

1.6.2026

Vybrat manuál

Přehled

Add-on Časově závislá analýza (TDA)

Teoretické základy

Zadání

Addon Analysisnávrh: Přidání a správa kombinací účinků

Výpočet

Obecné

Časově závislá analýza Dlouhodobé účinky se provádí pomocí metody časových kroků. Pro tento účel se provádí přírůstkové rozdělení počítaného období do časových bodů, mezi kterými probíhá linearizovaný výpočet napětí a deformací. Časové body, které se mají vypočítat, mohou být rozděleny lineárně nebo logaritmicky. Doporučuje se však logaritmické rozdělení vzhledem k obecné povaze časově závislého chování (klesající exponenciální funkce). Jeho definice je podrobněji popsána v kapitole Zadání. Přístup se provádí podle definice v Zadání časově závislých parametrů. Poměrné přetvoření od smršťování se aplikuje jako zatížení podle hodnot časového vektoru a v závislosti na systému vyvolává přetvoření a/nebo vynucená napětí. Při stárnutí se uvažuje zvýšení nebo snížení materiálových charakteristik (modulu pružnosti a pevnosti) podle definice časového vektoru pro každý časový přírůstek. Pro dotvarování a relaxaci je nutný poněkud složitější přístup, proto se jím podrobněji zabývá následující bod. Zjednodušeně lze říci, že se zde na základě zadání použije materiálový zákon s pamětí.

Viskoelastické chování

V rámci metody konečných prvků pro dotvarování a relaxaci se modely popsané v kapitole Reologické modely z rovnice diferenciální formy diskretizují v čase. K tomuto účelu se časově závislé jádrové funkce numericky převádějí v každém časovém kroku pomocí interních proměnných, napětí, přetvoření a retardační doby. Výsledkem je součet exponenciálně klesajících funkcí pro každý časový krok. V každém kroku se tedy přetvoření prvku MKP určí z pole posunů. Následně se aktualizují vnitřní proměnné a z materiálového zákona se určí napětí. Pokud se vyskytují geometrické nebo materiálové nelinearity, musí se nelineární soustava rovnic řešit iteračně.

Dotvarování betonu součinitelem dotvarování podle Eurokódu

Podle EN 1992-1-1, čl. 3.1.4 je součinitel dotvarování φ(t,t₀) bezrozměrná veličina, která popisuje poměr dotvarování k okamžitému přetvoření:

φ (t, t_{0}) = \frac{ε_{c r}}{ε_{e l}} = \frac{ε_{c} (t) - ε_{c 0}}{ε_{c 0}}

φ(t,t0)	součinitel dotvarování
εcr	Dotvarování
εel	Pružné přetvoření
εc(t)	Přetvoření betonu v průběhu času
εc0	Okamžité přetvoření betonu

Součinitel dotvarování

Celkové přetvoření při konstantním napětí lze vypočítat podle následující rovnice:

ε_{c} (t) = ε_{c 0} \cdot (1 + φ (t, t_{0})) = \frac{σ_{0}}{E_{c m}} \cdot (1 + φ (t, t_{0}))

εc(t)	Přetvoření betonu v čase
εc0	Okamžité přetvoření betonu
φ(t,t0)	Součinitel dotvarování
σ0	Napětí (konstantní)
Ecm	Průměrný modul pružnosti betonu

Celková přetvoření (součinitel dotvarování)

Porovnáním formulace součinitele dotvarování a Kelvinova řetězce (bez volného tlumiče) lze celkovou funkci dotvarování (poddajnost dotvarování) vyjádřit v závislosti na součiniteli dotvarování:

J (t) = \frac{ε_{c} (t)}{σ_{0}} = \frac{(1 + φ (t, t_{0}))}{E_{c m}}

εc(t)	Přetvoření betonu v čase
σ0	Napětí (konstantní) – # extmark .
φ(t,t0)	Součinitel dotvarování
Ecm	Průměrný modul pružnosti betonu

Celková funkce dotvarování (podajnost při dotvarování) v závislosti na součiniteli dotvarování

Úpravou součinitele dotvarování jako Pronyho, resp. Dirichletovy řady lze provést minimalizaci této řady ve srovnání s analytickými součiniteli dotvarování:

min_{α_{k}} \sum_{i = 1}^{m} {(φ (t_{i}) - φ_{∞} \sum_{k = 1}^{n} α_{k} (1 - e^{- t_{i} / τ_{k}}))}^{2}

αk	Váhový faktor (Omezující podmínky: větší než 0 a jejich součet musí být 1)
i	Časové přírůstky
m	Počet časových přírůstků
φ(ti)	Součinitel dotvarování v čase i
φ∞	součinitel dotvarování (nekonečno)
k	Aktuální prvek
n	Počet prvků
e	Eulerovo číslo
ti	Čas v čase i
τk=ηk/Ek	Doba retardace aktuálního prvku

Přizpůsobení součinitele dotvarování Pronyho řadou

Ve srovnání s Kelvinovým řetězcem lze nyní z upravených vah odvodit tuhosti pružin prvků a z retardačních dob pak konstanty tlumičů:

E_{k} = \frac{E_{c m}}{φ_{∞} \cdot α_{k}}

η_{k} = E_{k} \cdot τ_{k} = \frac{E_{c m} \cdot τ_{k}}{φ_{∞} \cdot α_{k}}

Tuhost pružiny a konstanta tlumení z upravených hmotností

Pro zjednodušený přístup k dotvarování lze uvažovat dotvarování betonu pomocí časově nezávislého výpočtu (bez metody časových kroků) jako redukci středního na efektivní modul pružnosti. Je třeba poznamenat, že toto zjednodušení platí pouze pro proporcionální, monotónně rostoucí zatížení a není ekvivalentní Kelvinovu řetězci. Podhodnocuje deformaci dotvarováním při proměnlivém zatížení a nezahrnuje relaxaci.

E_{c, eff} = \frac{E_{c m}}{1 + φ (∞, t_{0})}

Ec,eff	Efektivní modul pružnosti betonu
Ecm	Střední modul pružnosti betonu
φ(∞,t0)	Součinitel dotvarování (nekonečný, vztažený k počátečnímu času)

Efektivní modul pružnosti

Informace

Tato varianta je implementována v addonu Posouzení betonu s typem analýzy Dotvarování a smršťování (lineární).

Reference

Bazant, Z.P. & Wu, S.T. (1974) "Rate-type creep law of aging concrete based on Maxwell chain." RILEM Materials and Structures, 7(37), s. 45–60.
Bazant, Z.P. (1988) "Mathematical Modeling of Creep and Shrinkage of Concrete." John Wiley & Sons, Chichester.
Bazant, Z.P. & Prasannan, S. (1989) "Solidification Theory for Concrete Creep." Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 115(8), s. 1691–1725.
Bazant, Z.P. & Cedolin, L. (1991) "Stabilita konstrukcí." Oxford University Press.
Carol, I. & Bazant, Z.P. (1993) "Viskoelasticita se stárnutím způsobená tuhnutím nestárnoucí složky." Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 119(11), s. 2252–2269.
Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí - Část 1-1: Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby. Český normalizační institut, 2006
fib bulletin 65 Model Code 2010 (2012). Mezinárodní federace pro konstrukční beton (fib), Lausanne, Švýcarsko.

Nadřazená kapitola

Teoretické základy