Obliczanie żelbetowych elementów ściskanych poddanych zginaniu ukośnemu z wykorzystaniem metody nominalnej krzywizny

Artykuł o tematyce technicznej

Do codziennych zadań w dziedzinie projektowania konstrukcji żelbetowych należy także wymiarowanie elementów ściskanych poddanych zginaniu ukośnemu. W poniższym artykule opisano różne metody według pkt. 5.8.9 normy EN 1992-1-1, jakie mogą być stosowane do obliczania elementów ściskanych mimośrodowo w ramach metody nominalnej krzywizny zgodnie z pkt. 5.8.8.

Ogólne informacje

Moduł dodatkowy RF-/CONCRETE Columns wymiaruje elementy ściskane z betonu zbrojonego według metody nominalnej krzywizny, opisanej w pkt. 5.8.8. Eurokodu 2. Metoda ta jest znana również z innych norm pod nazwą „metody słupa modelowego”. W jednym z poprzednich artykułów szczegółowo omówiono wyznaczanie mimośrodów w ramach metody nominalnej krzywizny, w tym miejscu zrezygnowano zatem z dokładnego opisu określania poszczególnych mimośrodów.

Oddzielne obliczanie w kierunku osi głównych bez uwzględniania interakcji momentów zginających w dwóch kierunkach

Zgodnie z 5.8.9 (2), EN 1992-1-1 [1], można przyjąć obliczanie słupa dla każdego kierunku głównego oddzielnie z pominięciem zginania ukośnego, jeżeli spełnione są warunki równań 5.38a oraz 5.38b [1]. Równania te opisano w artykule wspomnianym powyżej. Ta metoda obliczeń opiera się na założeniu, że jeden z mimośrodów ma wartość dominującą, a drugi - podrzędną. Przy obliczeniach w oddzielnych kierunkach osi głównych należy uwzględnić dodatkowy mimośród od imperfekcji tylko w dominującym, a zatem miarodajnym kierunku. Rysunek 01 pokazuje, w jakich obszarach zginanie dwukierunkowe może zostać pominięte. Jeżeli mimośrodowa siła osiowa znajduje się w obszarach zacieniowanych, słup można obliczyć oddzielnie w obu kierunkach. Należy przy tym uwzględnić mimośrody drugiego rzędu w odpowiednich kierunkach głównych. Wyjaśnia to również rysunek 01. Punkty A i B na rysunku 01 mają symbolizować dwa przykłady możliwego położenia obciążenia, w którym wpływ mimośrodu drugiego rzędu jest zupełnie różny. Bez uwzględnienia teorii drugiego rzędu (e2) obydwa punkty znajdują się w zakreskowanych, dopuszczalnych obszarach, w których zginanie ukośne może zostać pominięte. Przy uwzględnieniu mimośrodu według teorii drugiego rzędu wpływ dwukierunkowego mimośrodu dla punktu A ulega redukcji, natomiast w położeniu B wpływ zginania dwukierunkowego zwiększa się, a obciążenie zostaje przesunięte poza dopuszczalny zakres.

Rysunek 01 - Mimośrody dwukierunkowe w przekroju

Oddzielne obliczanie w kierunku osi głównych z uwzględnieniem interakcji momentów zginających w dwóch kierunkach

Jeżeli warunki równania 5.38a oraz równania 5.38b [1] nie są spełnione, nie istnieją przesłanki do oddzielnych obliczeń dla każdego kierunku głównego z pominięciem zginania ukośnego zgodnie z 5.8.9 (2). Paragraf (4) rozdz. 5.8.9 [1] poprzez równanie 5.39 opisuje metodę uproszczoną, w której zginanie ukośne może być uwzględnione poprzez wcześniejsze obliczenie poszczególnych kierunków osi głównych.

Poniższe równanie 5.39 [1] uwzględnia interakcję momentów w sposób uproszczony.

$\left[\frac{{\mathrm M}_{\mathrm{Ed},\mathrm z}}{{\mathrm M}_{\mathrm{Rd},\mathrm z}}\right]^{\mathrm a}\;+\;\left[\frac{{\mathrm M}_{\mathrm{Ed},\mathrm y}}{{\mathrm M}_{\mathrm{Rd},\mathrm y}}\right]^{\mathrm a}\;\leq\;1$
gdzie
M Ed, z / y = moment obliczeniowy względem odpowiedniej osi (z włączeniem momentu drugiego rzędu)
M Rd, z / y = moment graniczny względem odpowiedniej osi
a = 2 dla kołowych i eliptycznych przekrojów poprzecznych, według rysunku 02 dla prostokątnych przekrojów poprzecznych

Rysunek 02 - wykładnik potęgi a dla równania 5.39

Rysunek 02 przedstawia wykładniki potęgi a w zależności od stosunku NEd/NRd. NRD oznacza przy tym nośność obliczeniową przekroju przy obciążeniu osiowym i może być obliczona według wzoru NRd = Ac ⋅ fcd + As + fyd.  Ac oznacza tu całkowite pole przekroju, As jest polem przekroju zbrojenia podłużnego, a fcd lub fyd oznaczają wytrzymałości obliczeniowe zastosowanych materiałów.

Korzystając z równania 5.39 [1], należy też pamiętać, że obydwa momenty graniczne MRdy i MRdz przy stałej sile osiowej należy przyjąć z wykresów interakcji dla obu kierunków głównych (zob. rysunek 03).

Rysunek 03 - wymiarowy wykres interakcji

Rysunek 03 przedstawia kwadrant trójwymiarowego wykresu interakcji My-Mz-N. Równanie 5.39 opiera się na wykonaniu uproszczonego poziomego przekroju przez trójwymiarowy wykres interakcji przy określonym poziomie siły NEd i wygenerowaniu przy użyciu wykładnika a uproszczonego wykresu interakcji momentów My-Mz. Na rysunku 03 rzeczywisty wykres interakcji momentów My-Mz dla siły osiowej NEd (przekrój poziomy) jest zacieniowany na czerwono. Uproszczony wykres interakcji na rysunku 04, sporządzony na podstawie równania 5.39, dla porównania również został zacieniowany na czerwono. Rysunek 04 przedstawia wykres interakcji momentów zastosowany w równaniu 5.39 [1] w zależności od wykładnika potęgi a.

Rysunek 04 - Uproszczony wykres interakcji momentów według równania 5.39

Zaletą stosowania tej uproszczonej metody według równania 5.39 [1] jest fakt, że przy użyciu znanych wykresów interakcji M-N dla zginania jednokierunkowego z siłą osiową można w szybki i prosty sposób obliczać także elementy zginane ukośnie.

Dokładne obliczanie przekroju z dwukierunkowym mimośrodem

Dokładne obliczenie przekroju poddanego działaniu siły osiowej i zginania dwukierunkowego wymaga obliczeń iteracyjnych odkształceń przekroju. Jest to możliwe tylko przy użyciu odpowiedniego programu obliczeniowego. Warunek nośności przekroju jest spełniony, jeżeli obciążenie znajduje się w obrębie wykresu iteracji Mres–N (obszar zacieniowany na szaro na rysunku 03) lub na dokładnie wyznaczonym wykresie momentów Mz-My (obszar zacieniowany na czerwono na rysunku 03). Dokładne wyznaczenie krzywych granicznych umożliwia wygenerowanie dodatkowych rezerw nośności do obliczeń.

Podsumowanie

W przypadku zginania ukośnego norma dopuszcza różne warianty obliczeń w zależności od położenia obciążenia. Przy zachowaniu warunków brzegowych równań 5.38a i 5.38b [1] możliwe jest pominięcie dwukierunkowej interakcji momentów i przeprowadzenie obliczeń w kierunkach osi głównych. W przypadku przekroczenia wspomnianych granic należy uwzględnić w obliczeniach interakcję momentów. Można tego dokonać metodą uproszczoną, przy użyciu formuły interakcji według równania 5.39 [1] lub za pomocą dokładnej, dwukierunkowej analizy przekroju. Wszystkie omówione metody obliczeń są zawarte w module RF-/CONCRETE.

Słowa kluczowe

Dwuosiowy Mimośród obciążenia Mimośród Wymiarowanie słupa Równanie 5.39 metoda nominalnej krzywizny Interakcja z momentem Wykres interakcji Słup z betonu zbrojonego Element ściskany

Literatura

[1]   Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings; EN 1992‑1‑1:2004 + AC:2010

Linki

Kontakt

Kontakt do Dlubal

Mają Państwo pytania lub potrzebują porady?
Zapraszamy do bezpłatnego kontaktu z nami drogą mailową, poprzez czat lub forum lub odwiedzenia naszej strony z FAQ z użytecznymi wskazówkami i rozwiązaniami.

+48 (32) 782 46 26

+48 730 358 225

info@dlubal.pl

RFEM Program główny
RFEM 5.xx

Program główny

Oprogramowanie do obliczeń płaskich i przestrzennych układów konstrukcyjnych, obejmujących płyty, ściany, powłoki, pręty (belki), bryły i elementy kontaktowe, z wykorzystaniem Metody Elementów Skończonych (MES)

Cena pierwszej licencji
3 540,00 USD
RFEM Konstrukcje z betonu zbrojonego
RF-CONCRETE Columns 5.xx

Moduł dodatkowy

Analiza betonu zbrojonego według metody słupa modelowego (metoda bazująca na zakrzywieniu nominalnym)

Cena pierwszej licencji
630,00 USD
RFEM Konstrukcje z betonu zbrojonego
EC2 for RFEM 5.xx

Rozszerzenie modułu dla RFEM

Zaawansowane ustawienia pozwalające na analizę betonu zbrojonego według Eurokodu 2

Cena pierwszej licencji
360,00 USD
RSTAB Program główny
RSTAB 8.xx

Program główny

Oprogramowanie do obliczania konstrukcji ramowych, belkowych i szkieletowych, wykonujące obliczenia liniowe i nieliniowe sił wewnętrznych, odkształceń i reakcji podporowych

Cena pierwszej licencji
2 550,00 USD
RSTAB Konstrukcje z betonu zbrojonego
CONCRETE Columns 8.xx

Moduł dodatkowy

Analiza betonu zbrojonego według metody słupa modelowego (metoda bazująca na zakrzywieniu nominalnym)

Cena pierwszej licencji
630,00 USD
RSTAB Konstrukcje z betonu zbrojonego
EC2 for RSTAB 8.xx

Rozszerzenie modułu dla RSTAB

Rozszerzenie modułów pozwalające na analizę betonu zbrojonego według Eurokodu  2

Cena pierwszej licencji
360,00 USD