37x

2026-04-10

VE0084 | Cienkościenny zbiornik sferyczny

Opis

Cienkościenne naczynie sferyczne jest obciążone ciśnieniem wewnętrznym p. Pomijając ciężar własny, celem jest wyznaczenie naprężenia von Misesa σ_Mises oraz ugięcia promieniowego u_R naczynia.

Materiał	Izotropowy liniowo sprężysty	Moduł sprężystości	E	210000.0	MPa
Materiał	Izotropowy liniowo sprężysty	Współczynnik Poissona	ν	0.296	-
Geometria	Powłoka sferyczna	Promień	R	0.500	m
Geometria	Powłoka sferyczna	Grubość powłoki	t	5.000	mm
Obciążenie	Ciśnienie	Ciśnienie wewnętrzne	p	5.000	MPa

Cienkościenny zbiornik kulisty

Rozwiązanie analityczne

Rozwiązanie analityczne opiera się na teorii cienkościennych naczyń. Teoria ta zakłada stan naprężeń membranowych powłoki; dlatego muszą być spełnione następujące warunki:

Grubość powłoki nie może zmieniać się skokowo.
Rozłożone obciążenie nie może zmieniać się skokowo.
Promienie krzywizny i położenia środków nie mogą zmieniać się skokowo.
Siły zewnętrzne, w tym siły reakcji, muszą być styczne do powierzchni powłoki.

Stan naprężeń opisuje równanie Laplace'a:

\frac{σ_{1}}{R_{1}} + \frac{σ_{2}}{R_{2}} = \frac{p}{t}

Równanie Laplace'a

Gdzie σ₁, σ₂ są odpowiednio naprężeniami w kierunku południkowym i równoleżnikowym, a R₁, R₁ są promieniami w odpowiednich kierunkach. Dla naczynia sferycznego można to uprościć ze względu na symetrię (σ₁ = σ₂ = σ, R₁ = R₂ = R) do postaci:

σ = \frac{p R}{2 t}

Równanie Laplace’a dla zbiornika kulistego

Naprężenie von Misesa σ_Mises można wyznaczyć na podstawie naprężeń głównych:

σ_{Mises} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{(σ_{1} - σ_{2})^{2} + (σ_{2} - σ_{3})^{2} + (σ_{3} - σ_{1})^{2}} = σ \approx 250.000 {Nmm}^{- 2}

Naczynie sferyczne - naprężenie von Misesa

Ugięcie promieniowe u_R naczynia wynika z prawa Hooke'a:

u_{R} = \frac{R}{E} (σ - μ σ) \approx 0.419 mm

Zbiornik sferyczny - Ugięcie promieniowe

Ustawienia RFEM

Zamodelowano w RFEM 5.39 i RFEM 6.13
Rozmiar elementu l_FE = 0.010 m
Zastosowano izotropowy liniowo sprężysty materiał
Zastosowano modele obliczeniowe pełny i ćwiartkowy

Wyniki

Wyniki RFEM - ósmy model zbiornika sferycznego, naprężenie von Mises

Model obliczeniowy	Teoria σ_Mises [MPa]	RFEM 6 σ_Mises [MPa]	Stosunek [-]	RFEM 5 σ_Mises [MPa]	Stosunek [-]
Model pełny	250.000	249.984	1.000	249.987	1.000
Model ćwiartkowy	250.000	249.984	1.000	249.984	1.000

Naprężenie von Misesa jest odczytywane z punktu testowego A dla obu modeli obliczeniowych. Na powierzchni występują niewielkie odchylenia naprężeń wynikające z topologii siatki.

Model obliczeniowy	Teoria u_R [mm]	RFEM 6 u_R [mm]	Stosunek [-]	RFEM 5 u_R [mm]	Stosunek [-]
Model pełny	0.419	0.419	1.000	0.419	1.000
Model ćwiartkowy	0.419	0.419	1.000	0.419	1.000

Model 000181 | Verification Example 000084 | 1

573x

Przykład weryfikacji 000084 | 1

;