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10. April 2026

VE0084 | Dünnwandiger kugelförmiger Behälter

Beschreibung

Ein dünnwandiger Kugelbehälter wird durch den Innendruck p belastet. Unter Vernachlässigung des Eigengewichts besteht das Ziel darin, die von-Mises-Spannung σ_Mises und die radiale Verschiebung u_R des Behälters zu bestimmen.

Material	Isotrop linear elastisch	Elastizitätsmodul	E	210000.0	MPa
Material	Isotrop linear elastisch	Querkontraktionszahl	ν	0.296	-
Geometrie	Kugelschale	Radius	R	0.500	m
Geometrie	Kugelschale	Schalendicke	t	5.000	mm
Last	Druck	Innendruck	p	5.000	MPa

Dünnwandiger Kugelbehälter

Analytische Lösung

Die analytische Lösung basiert auf der Theorie dünnwandiger Behälter. Diese Theorie nimmt den Membranspannungszustand der Schale an; daher müssen die folgenden Bedingungen erfüllt sein:

Die Dicke der Schale darf sich nicht sprunghaft ändern.
Die verteilte Belastung darf sich nicht sprunghaft ändern.
Die Krümmungsradien und die Lage der Mittelpunkte dürfen sich nicht sprunghaft ändern.
Die äußeren Kräfte einschließlich der Reaktionskräfte müssen tangential zur Schalenoberfläche sein.

Der Spannungszustand wird durch die Laplace-Gleichung beschrieben:

\frac{σ_{1}}{R_{1}} + \frac{σ_{2}}{R_{2}} = \frac{p}{t}

Laplace-Gleichung

Dabei sind σ₁, σ₂ die Spannungen in Meridian- bzw. Parallelrichtung und R₁, R₁ die Radien in den entsprechenden Richtungen. Für den Kugelbehälter kann dies aufgrund der Symmetrie (σ₁ = σ₂ = σ, R₁ = R₂ = R) in die Form vereinfacht werden:

σ = \frac{p R}{2 t}

Laplace-Gleichung für den kugelförmigen Behälter

Die von-Mises-Spannung σ_Mises kann aus den Hauptspannungen bestimmt werden:

σ_{Mises} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{(σ_{1} - σ_{2})^{2} + (σ_{2} - σ_{3})^{2} + (σ_{3} - σ_{1})^{2}} = σ \approx 250.000 {Nmm}^{- 2}

Sphärischer Behälter – von-Mises-Spannung

Die radiale Verschiebung u_R des Behälters ergibt sich aus dem Hooke'schen Gesetz:

u_{R} = \frac{R}{E} (σ - μ σ) \approx 0.419 mm

Kugelförmiger Behälter - Radiale Durchbiegung

RFEM-Einstellungen

Modelliert in RFEM 5.39 und RFEM 6.13
Elementgröße l_FE = 0.010 m
Isotrop linear elastisches Material wird verwendet
Voll- und Achtelmodell werden verwendet

Ergebnisse

RFEM-Ergebnisse - Achtes Modell des kugelförmigen Behälters, von Mises-Spannung

Berechnungsmodell	Theorie σ_Mises [MPa]	RFEM 6 σ_Mises [MPa]	Verhältnis [-]	RFEM 5 σ_Mises [MPa]	Verhältnis [-]
Vollmodell	250.000	249.984	1.000	249.987	1.000
Achtelmodell	250.000	249.984	1.000	249.984	1.000

Die von-Mises-Spannung wird für beide Berechnungsmodelle am Prüfpunkt A ermittelt. Aufgrund der Netzgeometrie gibt es auf der Oberfläche geringfügige Spannungsabweichungen.

Berechnungsmodell	Theorie u_R [mm]	RFEM 6 u_R [mm]	Verhältnis [-]	RFEM 5 u_R [mm]	Verhältnis [-]
Vollmodell	0.419	0.419	1.000	0.419	1.000
Achtelmodell	0.419	0.419	1.000	0.419	1.000

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Verifikationsbeispiel 000084 | 1

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