37x

10.4.2026

VE0084 | Tenkostěnná kulová nádoba

Popis

Na tenkostěnnou kulovou nádobu působí při zatížení vnitřní tlak p. Při zanedbání vlastní tíhy určete von Misesovo napětí σ_Mises a radiální průhyb u_R nádoby.

Materiál	Izotropní lineárně elastický	Modul pružnosti	E	210 000,0	MPa
Materiál	Izotropní lineárně elastický	Poissonův součinitel	ν	0.296	-
Geometrie	Kulová skořepina	Poloměr	R	0,500	m
Geometrie	Kulová skořepina	Tloušťka skořepiny	t	5.000	mm
Zatížení	Tlak	Vnitřní tlak	p	5,000	MPa

Tenkostěnná kulová nádoba

Analytické řešení

Analytické řešení vychází z teorie tenkostěnných nádob. Tato teorie předpokládá stav napětí skořepiny; proto musí být splněny následující podmínky:

Tloušťka skořepiny se nesmí diskontinuálně měnit.
Spojité zatížení se nesmí diskontinuálně měnit.
Poloměry zakřivení a polohy středů se nesmí diskontinuálně měnit.
Vnější síly včetně reakčních sil musí být tangenciální k ploše skořepiny.

Stav napětí je popsán Laplaceovou rovnicí:

\frac{σ_{1}}{R_{1}} + \frac{σ_{2}}{R_{2}} = \frac{p}{t}

Laplaceova rovnice

kde
σ₁, σ₂ jsou napětí v meridiánovém a paralelním směru,
R₁, R₁ jsou poloměry v příslušných směrech.
U kulové nádoby lze toto vzhledem k symetrii zjednodušit (σ₁ = σ₂ = σ, R₁ = R₂ = R) do tvaru:

σ = \frac{p R}{2 t}

Laplaceova rovnice pro kulovou nádobu

Von Misesovo napětí σ_Mises lze určit z hlavních napětí:

σ_{Mises} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{(σ_{1} - σ_{2})^{2} + (σ_{2} - σ_{3})^{2} + (σ_{3} - σ_{1})^{2}} = σ \approx 250.000 {Nmm}^{- 2}

Kulová nádoba – napětí podle von Misese

Radiální průhyb u_R nádoby vyplývá z Hookeova zákona:

u_{R} = \frac{R}{E} (σ - μ σ) \approx 0.419 mm

Kulová nádoba – radiální průhyb

Nastavení RFEM

Modelováno v RFEM 5.39 a RFEM 6.13
Velikost prvku l_FE = 0.010 m
Izotropní lineárně elastický materiál
Plný a osminový výpočetní model

Výsledky

Výsledky RFEM – osminový model kulové nádoby, von Misesovo napětí

Výpočetní model	Teorie σ_Mises [MPa]	RFEM 6 σ_Mises [MPa]	Poměr [-]	RFEM 5 σ_Mises [MPa]	Využití [-]
Plný model	250,000	249,984	1,000	249,987	1,000
Osminový model	250,000	249,984	1,000	249,984	1,000

U obou výpočetních modelů se měří von Misesovo napětí v měřicím bodě A. Na ploše se vyskytují drobné odchylky v napětí způsobené topologií sítě.

Výpočetní model	Teorie u_R [mm]	RFEM 6 u_R [mm]	Využití [-]	RFEM 5 u_R [mm]	Využití [-]
Plný model	0.419	0,419	1,000	0,419	1,000
Osminový model	0.419	0,419	1,000	0,419	1,000

573x

Verifikační příklad 000084 | 1

;