Analyse statique

La méthode des éléments finis (FEM) est une technique numérique puissante utilisée en ingénierie civile pour analyser le comportement des structures sous diverses charges et conditions aux limites. Elle représente une approche mathématique qui divise les modèles complexes en éléments plus petits et plus gérables, permettant aux ingénieurs d'approximer leur comportement avec plus de précision.

Dans le contexte de l'ingénierie civile, la FEM est employée pour prédire comment des structures telles que des ponts, des bâtiments et des barrages répondront aux forces externes telles que les charges et les conditions environnementales. L'analyse implique plusieurs étapes clés :

• Discrétisation : La première étape consiste à diviser l'ensemble de la structure en éléments finis plus petits, tels que des triangles ou des rectangles pour les structures 2D ou des tétraèdres et des hexaèdres pour les structures 3D. Ces éléments sont interconnectés à des points spécifiques appelés nœuds.
• Formulation des équations : Pour chaque élément, des équations sont formulées en fonction des lois physiques régissant, telles que les équations d'équilibre, les relations constitutives pour les matériaux et les conditions de compatibilité. Ces équations sont souvent sous forme de matrices.
• Assemblage : Les équations de chaque élément sont combinées pour former un système d'équations pour l'ensemble de la structure. Ce processus implique l'assemblage de la matrice de rigidité et du vecteur de charge en tenant compte des contributions de tous les éléments et de leurs nœuds respectifs.
• Application des conditions aux limites : Les conditions aux limites, qui sont représentées par des supports et des charges appliquées à la structure, sont appliquées au système d'équations. Cette étape est cruciale pour simuler avec précision le comportement réel de la structure.
• Solution : Le système d'équations est résolu à l'aide de techniques numériques, telles que l'inversion matricielle ou les méthodes itératives. Elles seront discutées plus tard dans des chapitres spécifiques. La solution donne les déplacements, à partir desquels les réactions et les forces internes dans la structure peuvent être calculées ultérieurement.
• Post-traitement : Une fois la solution obtenue, les ingénieurs peuvent extraire des informations précieuses telles que la distribution des contraintes, les schémas de déformation et les facteurs de sécurité. Pendant le post-traitement, les réactions et les forces internes sont calculées, sur la base des résultats de déplacement. Cela aide à évaluer si la structure répond aux critères de conception et aux normes de sécurité.

La FEM offre plusieurs avantages en analyse d'ingénierie civile :

• Flexibilité : La FEM peut modéliser des géométries complexes et des comportements de matériaux souvent rencontrés dans les projets d'ingénierie civile.
• Précision : En divisant les structures en éléments plus petits, la FEM fournit une représentation plus précise de leur comportement par rapport aux méthodes analytiques simplifiées.
• Polyvalence : La FEM peut analyser une large gamme de charges, y compris les interactions statiques, dynamiques, thermiques et fluide-structure.
• Optimisation : La FEM peut être utilisée pour optimiser les conceptions en raffinant itérativement la structure sur la base des résultats d'analyse.
• Simulations réalistes : La FEM permet aux ingénieurs de simuler le comportement des structures dans des conditions différentes, permettant de meilleures décisions de conception et une meilleure compréhension des modes de défaillance potentiels.

Les deux sous-chapitres suivants traitent des solveurs linéaires et non linéaires. Dans ce qui suit, leurs différences et leurs caractéristiques spéciales sont brièvement expliquées.

Dans le contexte du logiciel de la méthode des éléments finis (FEM), la distinction entre les solveurs linéaires et non linéaires concerne la façon dont ils traitent le comportement des matériaux et des structures en réponse aux charges appliquées. En général, les différences entre les solveurs linéaires et non linéaires sont les suivantes :

Solveur linéaire

Un solveur linéaire est utilisé lorsque le comportement du matériau ou de la structure peut être approximé comme linéaire. Le comportement linéaire implique que la relation entre les contraintes et les déformations reste constante quelle que soit l'ampleur des charges appliquées. En d'autres termes, le principe de superposition est appliqué, ce qui signifie que la réponse à une combinaison de charges est simplement la somme des réponses à chaque charge individuelle.

Les solveurs linéaires sont plus rapides et souvent plus simples à mettre en œuvre car ils peuvent utiliser des méthodes de solution directe, telles que l'élimination de Gauss ou la factorisation matricielle, pour résoudre le système d'équations. Ces solveurs sont bien adaptés aux cas où les déformations sont faibles et où les matériaux se comportent de manière élastique sans subir de changements significatifs dans la rigidité ou la géométrie.

Solveur non linéaire

Un solveur non linéaire est requis lorsque le comportement matériel ou structurel est non linéaire. Le comportement non linéaire peut résulter de facteurs tels que de grandes déformations, la plasticité des matériaux, le contact entre les surfaces ou les changements de rigidité dus à des dommages ou à d'autres effets.

Dans l'analyse non linéaire, la relation entre les contraintes et les déformations n'est pas constante et le principe de superposition n'est plus valide. Cela signifie que la réponse à des charges combinées ne peut pas être déterminée simplement en additionnant les réponses aux charges individuelles.

Les solveurs non linéaires utilisent des méthodes itératives pour approximer la solution. Ils impliquent généralement la mise à jour de la matrice de rigidité et l'itération jusqu'à l'obtention de la convergence. Dans RFEM, différentes méthodes de solution sont disponibles et expliquées plus en détail dans le sous-chapitre Nonlinear Solvers.

Différences clés

Les principales différences entre les solveurs linéaires et non linéaires sont comparées dans le tableau suivant.