Statische Analyse

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist eine leistungsstarke numerische Technik, die im Bauwesen eingesetzt wird, um das Verhalten von Strukturen unter verschiedenen Belastungen und Randbedingungen zu analysieren. Sie stellt einen mathematischen Ansatz dar, bei dem komplexe Modelle in kleinere, besser handhabbare Elemente unterteilt werden, sodass Ingenieure ihr Verhalten genauer approximieren können.

Im Bereich des Bauwesens wird die FEM eingesetzt, um vorherzusagen, wie Konstruktionen wie Brücken, Gebäude und Dämme auf äußere Kräfte wie Lasten und Umweltbedingungen reagieren werden. Die Analyse umfasst mehrere zentrale Schritte:

• Diskretisierung: Der erste Schritt besteht darin, die gesamte Struktur in kleinere finite Elemente wie Dreiecke oder Rechtecke für 2D-Strukturen oder Tetraeder und Hexaeder für 3D-Strukturen zu unterteilen. Diese Elemente sind an bestimmten Punkten, den sogenannten Knoten, miteinander verbunden.
• Formulierung von Gleichungen: Für jedes Element werden Gleichungen auf Grundlage der geltenden physikalischen Gesetze formuliert, wie beispielsweise Gleichgewichtsgleichungen, konstitutive Beziehungen für Materialien und Kompatibilitätsbedingungen. Diese Gleichungen liegen häufig in Form von Matrizen vor.
• Assemblierung: Die Gleichungen aus jedem Element werden zu einem Gleichungssystem für die gesamte Struktur zusammengefasst. Dieser Prozess umfasst die Assemblierung der Steifigkeitsmatrix und des Lastvektors durch Berücksichtigung der Beiträge aller Elemente und ihrer jeweiligen Knoten.
• Anwendung von Randbedingungen: Randbedingungen, die durch Auflager und auf die Konstruktion einwirkende Lasten dargestellt werden, werden auf das Gleichungssystem angewendet. Dieser Schritt ist entscheidend für die genaue Simulation des realen Verhaltens der Konstruktion.
• Lösung: Das Gleichungssystem wird mit numerischen Verfahren wie Matrixinversion oder iterativen Methoden gelöst. Diese werden später in speziellen Kapiteln behandelt. Die Lösung liefert Verschiebungen, aus denen später die Reaktionen und Schnittgrößen innerhalb der Struktur berechnet werden können.
• Nachbearbeitung: Sobald die Lösung vorliegt, können Ingenieure wertvolle Informationen wie Spannungsverteilung, Verformungsmuster und Sicherheitsfaktoren extrahieren. Während der Nachbearbeitung werden Reaktionen und Schnittgrößen auf der Grundlage von Verschiebungsergebnissen berechnet. Dies hilft bei der Beurteilung, ob die Struktur Bemessungskriterien und Sicherheitsstandards erfüllt.

Die FEM bietet mehrere Vorteile bei der bautechnischen Analyse:

• Flexibilität: Die FEM kann komplexe Geometrien und Materialverhalten modellieren, die häufig in Bauprojekten vorkommen.
• Genauigkeit: Durch die Aufteilung von Strukturen in kleinere Elemente liefert die FEM im Vergleich zu vereinfachten analytischen Methoden eine genauere Darstellung ihres Verhaltens.
• Vielseitigkeit: Die FEM kann eine Vielzahl von Belastungen analysieren, darunter statische, dynamische, thermische und Fluid-Struktur-Interaktionen.
• Optimierung: Die FEM kann zur Optimierung von Bemessungen verwendet werden, indem die Konstruktion auf Grundlage von Analyseergebnissen iterativ verfeinert wird.
• Realistische Simulationen: Mit der FEM können Ingenieure das Verhalten von Konstruktionen unter verschiedenen Bedingungen simulieren, was zu besseren Bemessungsentscheidungen und einem besseren Verständnis potenzieller Versagensarten führt.

Die nächsten beiden Unterkapitel befassen sich mit linearen und nichtlinearen Solvern. Im Folgenden werden deren Unterschiede und Besonderheiten kurz erläutert.

Im Zusammenhang mit FEM-Software bezieht sich die Unterscheidung zwischen linearen und nichtlinearen Lösern darauf, wie sie das Verhalten von Materialien und Strukturen als Reaktion auf aufgebrachte Lasten behandeln. Im Allgemeinen unterscheiden sich lineare und nichtlineare Solver wie folgt:

Linearer Löser

Ein linearer Solver wird verwendet, wenn das Verhalten des Materials oder der Struktur als linear approximiert werden kann. Lineares Verhalten bedeutet, dass das Verhältnis zwischen Spannungen und Dehnungen unabhängig von der Größe der aufgebrachten Lasten konstant bleibt. Mit anderen Worten, es gilt das Überlagerungsprinzip, d.h. die Antwort auf eine Kombination von Lasten ist einfach die Summe der Antworten auf jede einzelne Last.

Lineare Löser sind schneller und oft einfacher zu implementieren, da sie direkte Lösungsmethoden wie Gaußsche Eliminierung oder Matrixfaktorisierung zur Lösung des Gleichungssystems verwenden können. Diese Solver eignen sich gut für Fälle, in denen die Verformungen gering sind und sich die Materialien elastisch verhalten, ohne dass es zu wesentlichen Änderungen der Steifigkeit oder Geometrie kommt.

Nichtlinearer Löser

Ein nichtlinearer Solver ist erforderlich, wenn das Material- oder Strukturverhalten nichtlinear ist. Nichtlineares Verhalten kann durch Faktoren wie große Verformungen, Materialfließen, Kontakt zwischen Flächen oder Änderungen der Steifigkeit aufgrund von Beschädigungen oder anderen Einflüssen verursacht werden.

Bei der nichtlinearen Analyse ist das Verhältnis zwischen Spannungen und Dehnungen nicht konstant, und das Überlagerungsprinzip gilt nicht mehr. Das bedeutet, dass die Antwort auf kombinierte Lasten nicht einfach durch Addition der Antworten auf einzelne Lasten bestimmt werden kann.

Nichtlineare Löser verwenden iterative Methoden, um die Lösung zu approximieren. Dabei wird in der Regel die Steifigkeitsmatrix aktualisiert und so lange iteriert, bis eine Konvergenz erreicht ist. In RFEM stehen verschiedene Lösungsmethoden zur Verfügung, die im Unterkapitel Nichtlineare Löser näher erläutert werden.

Hauptunterschiede

Die wichtigsten Unterschiede zwischen linearen und nichtlinearen Solvern sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst.