Statische Berechnung

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist eine leistungsstarke numerische Technik, die im Bauingenieurwesen verwendet wird, um das Verhalten von Strukturen unter verschiedenen Lasten und Randbedingungen zu analysieren. Sie stellt einen mathematischen Ansatz dar, der komplexe Modelle in kleinere, handhabbare Elemente unterteilt, wodurch Ingenieure deren Verhalten genauer approximieren können.

Im Kontext des Bauingenieurwesens wird FEM eingesetzt, um vorherzusagen, wie Strukturen wie Brücken, Gebäude und Dämme auf äußere Kräfte wie Lasten und Umweltbedingungen reagieren werden. Die Analyse umfasst mehrere Schlüsselprozesse:

• Diskretisierung: Der erste Schritt besteht darin, die gesamte Struktur in kleinere finite Elemente zu unterteilen, wie Dreiecke oder Rechtecke für 2D-Strukturen oder Tetraeder und Hexaeder für 3D-Strukturen. Diese Elemente sind an speziellen Punkten, den sogenannten Knoten, miteinander verbunden.
• Formulierung von Gleichungen: Für jedes Element werden basierend auf den geltenden physikalischen Gesetzen, wie z.B. Gleichgewichtsgleichungen, Materialkennlinien und Kompatibilitätsbedingungen, Gleichungen formuliert. Diese Gleichungen liegen oft in Form von Matrizen vor.
• Zusammenstellung: Die Gleichungen jedes Elements werden kombiniert, um ein Gleichungssystem für die gesamte Struktur zu bilden. Dieser Prozess beinhaltet die Zusammenstellung der Steifigkeitsmatrix und des Lastvektors, indem die Beiträge aller Elemente und ihrer jeweiligen Knoten berücksichtigt werden.
• Anwendung von Randbedingungen: Randbedingungen, die durch Auflager und angelegte Lasten dargestellt werden, werden auf das Gleichungssystem angewendet. Dieser Schritt ist entscheidend, um das reale Verhalten der Struktur akkurat zu simulieren.
• Lösung: Das Gleichungssystem wird mit numerischen Techniken gelöst, wie z.B. Matrizeninversion oder iterativen Methoden. Diese werden in spezifischen Kapiteln später näher diskutiert. Die Lösung liefert Verschiebungen, aus denen Reaktionen und innere Kräfte innerhalb der Struktur später berechnet werden können.
• Nachverarbeitung: Sobald die Lösung vorliegt, können Ingenieure wertvolle Informationen wie Spannungsverteilung, Verformungsmuster und Sicherheitsfaktoren extrahieren. Während der Nachverarbeitung werden Reaktionen und innere Kräfte basierend auf den Verschiebungsergebnissen berechnet. Dies hilft bei der Bewertung, ob die Struktur die Designkriterien und Sicherheitsstandards erfüllt.

FEM bietet mehrere Vorteile in der Analyse des Bauingenieurwesens:

• Flexibilität: FEM kann komplexe Geometrien und Materialverhalten modellieren, die in Bauprojekten häufig anzutreffen sind.
• Genauigkeit: Durch die Unterteilung von Strukturen in kleinere Elemente bietet FEM eine genauere Darstellung ihres Verhaltens im Vergleich zu vereinfachten analytischen Methoden.
• Vielseitigkeit: FEM kann eine breite Palette von Belastungen analysieren, einschließlich statischer, dynamischer, thermischer und Fluid-Struktur-Interaktionen.
• Optimierung: FEM kann verwendet werden, um Entwürfe zu optimieren, indem die Struktur iterativ basierend auf den Analyseergebnissen verfeinert wird.
• Realistische Simulationen: FEM ermöglicht es Ingenieuren, das Verhalten von Strukturen unter verschiedenen Bedingungen zu simulieren, was zu besseren Designentscheidungen und einem besseren Verständnis potenzieller Versagensmodi führt.

Die nächsten beiden Unterkapitel befassen sich mit linearen und nichtlinearen Lösern. Im Folgenden werden ihre Unterschiede und besonderen Merkmale kurz erläutert.

Im Kontext von FEM-Software bezieht sich die Unterscheidung zwischen linearen und nichtlinearen Lösern darauf, wie sie das Verhalten von Materialien und Strukturen als Reaktion auf angelegte Lasten handhaben. Im Allgemeinen sind die Unterschiede zwischen linearen und nichtlinearen Lösern wie folgt:

Linearer Löser

Ein linearer Löser wird eingesetzt, wenn das Verhalten des Materials oder der Struktur als linear angenähert werden kann. Lineares Verhalten bedeutet, dass die Beziehung zwischen Spannungen und Verformungen konstant bleibt, unabhängig von der Größe der angelegten Lasten. Mit anderen Worten, das Superpositionsprinzip wird angewendet, was bedeutet, dass die Reaktion auf eine Kombination von Lasten einfach die Summe der Reaktionen auf jede einzelne Last ist.

Lineare Löser sind schneller und oft einfacher zu implementieren, da sie direkte Lösungsmethoden wie die Gauß-Elimination oder Matrixfaktorisierung verwenden können, um das Gleichungssystem zu lösen. Diese Löser eignen sich gut für Fälle, in denen Verformungen gering sind und Materialien sich elastisch verhalten, ohne signifikante Änderungen in der Steifigkeit oder Geometrie zu durchlaufen.

Nichtlinearer Löser

Ein nichtlinearer Löser ist erforderlich, wenn das Material- oder Strukturverhalten nichtlinear ist. Nichtlineares Verhalten kann aus Faktoren wie großen Verformungen, Materialfließen, Kontakt zwischen Oberflächen oder Änderungen der Steifigkeit aufgrund von Schäden oder anderen Effekten resultieren.

In der nichtlinearen Analyse ist die Beziehung zwischen Spannungen und Verformungen nicht konstant, und das Superpositionsprinzip ist nicht mehr gültig. Dies bedeutet, dass die Reaktion auf kombinierte Lasten nicht einfach durch Addition der Reaktionen auf einzelne Lasten bestimmt werden kann.

Nichtlineare Löser verwenden iterative Methoden, um die Lösung zu approximieren. Sie beinhalten typischerweise die Aktualisierung der Steifigkeitsmatrix und eine Iteration, bis Konvergenz erreicht ist. In RFEM stehen verschiedene Lösungsmethoden zur Verfügung, die im Unterkapitel Nichtlineare Löser genauer erklärt werden.

Hauptunterschiede

Die Hauptunterschiede zwischen linearen und nichtlinearen Lösern sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst.