8.34 Solides - contraintes

Cochez la case Solides dans le navigateur de Résultats pour contrôler l'affichage graphique des contraintes de solide. Le tableau 4.34 donne les contraintes des solides sous forme numérique.

Les résultats dans le tableau dépendent des points de grille des contours de surfaces. Le tableau ne contient donc pas de contraintes disponibles dans le solide. Cependant, les contraintes à l'intérieur du solide peuvent être représentées graphiquement sur les points de maillage EF intérieurs. Dans le navigateur de Résultats, cochez la case Valeurs aux Surfaces → Paramètres → Sur les points de maillage EF. Afin d'afficher des valeurs précises, utilisez un plan de découpage (voir le Chapitre 9.9.2).

Le tableau donne les contraintes de solide classées par surfaces. Les résultats sont classés selon les points de grille de chaque surface.

Les numéros des points de grille sont triés par surface. Pour plus d'informations sur les points de grille, voir le Chapitre 8.13.

Les colonne C à E du tableau donnent les coordonnées des points de grille du système de coordonnées global XYZ.

Contrairement aux contraintes de surface, les contraintes de solide ne peuvent pas être décrites par des équations simples. Les Contraintes de base σ_x, σ_y et σ_z ainsi que les Contraintes de cisaillement τ_xy, τ_yz et τ_xz sont déterminées directement par le noyau de calcul.

Si un cube avec des côtés de longueur d_x, d_y et d_z est extrait d'un objet 3D avec chargement multi-axial, les contraintes dans chaque surface cubique peuvent être divisées en contraintes normales et de cisaillement. Si ni l'effort spatial, ni les différences de contrainte sur les surfaces parallèles ne sont considérés, la condition de contrainte dans le système de coordonnées local du cube peut être décrite par neuf composants de contrainte.

La matrice du tenseur de contrainte est la suivante :

$S=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_x& {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_y& {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{zx}& {\tau }_{zy}& {\sigma }_z\end{array}\right]$

Les Contraintes principales σ₁, σ₂ et σ₃ résultent des valeurs propres du tenseur selon la formule suivante :

Contraintes principales

$\text{det}(S-\sigma E)=0$

où

E : matrice unitaire 3x3

La contrainte de cisaillement maximale τ_max est déterminée selon le cercle de Mohr :

Contrainte de cisaillement maximale :

${\tau }_{\text{max}}=\frac{1}{2}({\sigma }_1-{\sigma }_3)$

L'entrée σ₁₂₃ dans le navigateur permet de représenter graphiquement les trajectoires des contraintes principales.

La contrainte équivalente σ_v selon von Mises peut être exprimée par les équations équivalente suivantes :

Contrainte équivalente à partir des contraintes principales selon von Mises :

${\sigma }_v=\sqrt{\frac{1}{2}\left[({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+({\sigma }_1-{\sigma }_3{)}^2+({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2\right]}$

Contrainte équivalente à partir des contraintes de base selon von Mises :

${\sigma }_v=\sqrt{{\sigma }_x^2+{\sigma }_y^2+{\sigma }_z^2-{\sigma }_x{\sigma }_y-{\sigma }_x{\sigma }_z-{\sigma }_y{\sigma }_z+3({\tau }_{xy}^2+{\tau }_{xz}^2+{\tau }_{yz}^2)}$

RFEM analyse les différences par rapport aux contraintes principales et en détermine la valeur maximale afin de déterminer la Contrainte équivalente σ_v selon Tresca.

Détermination de la contrainte équivalente selon Tresca :

${\sigma }_v=\text{max}\left(\left|{\sigma }_1-{\sigma }_2\right|, \left|{\sigma }_2-{\sigma }_3\right|, \left|{\sigma }_3-{\sigma }_1\right|\right)$

La Contrainte équivalente σ_v selon Rankine est déterminée à partir des valeurs maximales absolues des contraintes principales.

Détermination de la contrainte équivalente selon Rankine :

${\sigma }_v=\text{max}\left(\left|{\sigma }_1\right|, \left|{\sigma }_2\right|, \left|{\sigma }_3\right|\right)$

Afin de déterminer la Contrainte équivalente σ_v selon Bach, RFEM analyse les différences de contrainte principale, en considérant le coefficient de Poisson ν, afin d'en déterminer la valeur maximale.

Détermination de la contrainte équivalente selon Bach :

${\sigma }_v=\text{max}\left[\left|{\sigma }_1-\nu ({\sigma }_2+{\sigma }_3)\right|, \left|{\sigma }_2-\nu ({\sigma }_3+{\sigma }_1)\right|, \left|{\sigma }_3-\nu ({\sigma }_1+{\sigma }_2)\right|\right]$