8.34 Tělesa - napětí

Grafické zobrazení napětí na tělesech se nastavuje v navigátoru Výsledky v položce Tělesa. V tabulce 4.34 se zobrazí číselné hodnoty napětí na tělesech.

Napětí na tělesech se v seznamu zobrazí pro jednotlivé plochy seřazená podle bodů rastru.

V tomto sloupci se pro každou plochu zobrazí čísla rastrových bodů. Více informací o rastrových bodech najdeme v kapitole 8.13.

Ve sloupcích C až E jsou v tabulce uvedeny souřadnice rastrových bodů v globálním souřadném systému XYZ.

Napětí na tělesech nelze vyjádřit jednoduchými rovnicemi jako napětí na plochách. Základní napětí σ_x, σ_y a σ_z a dále smyková napětí τ_xy, τ_yz a τ_xz spočítá přímo výpočetní jádro programu.

Pokud z prostorově zatíženého tělesa vyřízneme kostku s hranami o délce d_x, d_y a d_z, pak lze napětí v každé ploše kostky rozložit na normálová a smyková napětí. Při zanedbání prostorové síly a rozdílů v napětí na rovnoběžných plochách lze napětí v lokálním souřadném systému kostky popsat devíti složkami napětí.

Matice tenzoru napětí je následující:

$S=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_x& {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_y& {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{zx}& {\tau }_{zy}& {\sigma }_z\end{array}\right]$

Z vlastních čísel tenzoru se vypočítají hlavní napětí σ₁, σ₂ a σ₃ podle následujícího vzorce:

Hlavní napětí

$\text{det}(S-\sigma E)=0$

kdy

E : 3x3 jednotková matice

Maximální smykové napětí τ_max se určí pomocí Mohrovy kružnice napětí.

Maximální smykové napětí:

${\tau }_{\text{max}}=\frac{1}{2}({\sigma }_1-{\sigma }_3)$

Pomocí položky navigátoru σ₁₂₃ lze graficky zobrazit trajektorie hlavních napětí.

Srovnávací napětí σ_v podle von Misese lze vyjádřit dvěma ekvivalentními vzorci:

Srovnávací napětí z hlavních napětí podle von Misese :

${\sigma }_{eqv}=\sqrt{\frac{1}{2}\left[\right({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+({\sigma }_1-{\sigma }_3{)}^2+({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2]}$

Srovnávací napětí ze základních napětí podle von Misese:

${\sigma }_{eqv}=\sqrt{{\sigma }_x^2+{\sigma }_y^2+{\sigma }_z^2-{\sigma }_x{\sigma }_y-{\sigma }_x{\sigma }_z-{\sigma }_y{\sigma }_z+3({\tau }_{xy}^2+{\tau }_{xz}^2+{\tau }_{yz}^2)}$

Při výpočtu srovnávacího napětí σ_v podle Trescy se vyšetří rozdíly hlavních napětí a z nich se určí maximální hodnota.

Výpočet srovnávacího napětí podle Trescy:

${\sigma }_v=\text{max}\left(\left|{\sigma }_1-{\sigma }_2\right|, \left|{\sigma }_2-{\sigma }_3\right|, \left|{\sigma }_3-{\sigma }_1\right|\right)$

Srovnávací napětí σ_v podle Rankina se stanoví na základě největších absolutních hodnot hlavních napětí.

Výpočet srovnávacího napětí podle Rankina:

${\sigma }_{eqv}=\text{max}(\left|{\sigma }_1\right|, \left|{\sigma }_2\right|, \left|{\sigma }_3\right|)$

Při výpočtu srovnávacího napětí σ_v podle Bacha se vyšetří rozdíly hlavních napětí, přičemž se zohlední Poissonovo číslo ν. Z nich se pak určí maximální hodnota.

Výpočet srovnávacího napětí podle Bacha:

${\sigma }_{eqv}=\text{max}[\left|{\sigma }_1-\nu ({\sigma }_2+{\sigma }_3)\right|, \left|{\sigma }_2-\nu ({\sigma }_3+{\sigma }_1)\right|, \left|{\sigma }_3-\nu ({\sigma }_1+{\sigma }_2)\right|]$