8.19 Surfaces - Contraintes principales

σ_1,+

Contrainte en direction de l'axe principal 1 du côté positif de la surface (par exemple le côté en direction de l'axe z positif de surface)

${\sigma }_{1,+}=\frac{1}{2}\left({\sigma }_{x,+}+{\sigma }_{y,+}+\sqrt{({\sigma }_{x,+}-{\sigma }_{y,+}{)}^2+4{\tau }_{xy,+}^2}\right)$

σ_2,+

Contrainte en direction de l'axe principal 2 du côté positif de la surface (par exemple le côté en direction de l'axe z positif de surface)

${\sigma }_{2,+}=\frac{1}{2}\left({\sigma }_{x,+}+{\sigma }_{y,+}-\sqrt{({\sigma }_{x,+}-{\sigma }_{y,+}{)}^2+4{\tau }_{xy,+}^2}\right)$

α₊

Angle entre l'axe local x (ou y) et l'axe principal 1 (ou 2) pour les contraintes du côté positif de la surface

${\alpha }_{+}=\frac{1}{2}\text{atan2}\left(\frac{2 {\tau }_{xy,+}}{{\sigma }_{x,+}-{\sigma }_{y,+}}\right) \in (-90°, 90°]$

σ_1,−

Contrainte en direction de l'axe principal 1 du côté négatif de la surface

${\sigma }_{1,-}=\frac{1}{2}\left({\sigma }_{x,-}+{\sigma }_{y,-}+\sqrt{({\sigma }_{x,-}-{\sigma }_{y,-}{)}^2+4{\tau }_{xy,-}^2}\right)$

σ_2,−

Contrainte en direction de l'axe principal 2 du côté négatif de la surface

${\sigma }_{2,-}=\frac{1}{2}\left({\sigma }_{x,-}+{\sigma }_{y,-}-\sqrt{({\sigma }_{x,-}-{\sigma }_{y,-}{)}^2+4{\tau }_{xy,-}^2}\right)$

α₋

Angle entre l'axe local x (ou y) dans l'axe principal 1 (ou 2) pour les contraintes du côté négatif de la surface

${\alpha }_{-}=\frac{1}{2}\text{atan2}\left(\frac{2 {\tau }_{xy,-}}{{\sigma }_{x,-}-{\sigma }_{y,-}}\right) \in (-90°, 90°]$

σ_1,m

Contrainte de membrane en direction de l'axe principal 1

${\sigma }_{1,m}=\frac{1}{2}\left({\sigma }_{x,m}+{\sigma }_{y,m}+\sqrt{({\sigma }_{x,m}-{\sigma }_{y,m}{)}^2+4{\tau }_{xy,m}^2}\right)$

σ_2,m

Contrainte de membrane en direction de l'axe principal 2

${\sigma }_{2,m}=\frac{1}{2}\left({\sigma }_{x,m}+{\sigma }_{y,m}-\sqrt{({\sigma }_{x,m}-{\sigma }_{y,m}{)}^2+4{\tau }_{xy,m}^2}\right)$

α_m

Angle entre l'axe local x et l'axe principal 1 pour les contraintes de membrane

${\alpha }_m=\frac{1}{2}\text{atan2}\left(\frac{2·{\tau }_{xy,m}}{{\sigma }_{x,m}-{\sigma }_{y,m}}\right) \in (-90°, 90°]$

τ_max

Contrainte de cisaillement maximale perpendiculaire à la surface

${\tau }_{\text{max}}=\sqrt{{\tau }_{xz}^2+{\tau }_{yz}^2}$