Deformace nosné prutové konstrukce smykem v dřevěných konstrukcích

Odborný článek

V běžné literatuře se uvádějí vzorce pro ruční výpočet vnitřních sil nebo deformací obvykle bez ohledu na deformaci smykem. Obzvláště v dřevěných konstrukcích se tak často deformace vlivem smykové síly podceňují.

Použité symboly:
h ... výška průřezu
L ... rozpětí
E ... modul pružnosti
G ... smykový modul
κ ... opravný smykový součinitel
A ... průřezová plocha
w ... deformace

Rozhodující je přitom nízká hodnota smykového modulu, respektive poměru G/E. Například pro jehličnaté dřevo se v důsledku anizotropie uvádí 1/16 podle [1]. U izotropních materiálů je tento poměr mnohem větší. Například poměr G/E u oceli činí 1/2,6.

Teorie nosníků

Zatímco v klasické Bernoulliho teorii ohybu nosníku se předpokládá, že při deformaci zůstává průřez prutu kolmý na osu prutu, zohledňuje Timošenkova teorie ohybu nosníku smykové posunutí (nosník poddajný ve smyku). Průřez prutu tak při jeho deformaci nezůstává kolmý na osu prutu (viz obr. 01). Pokud předpokládáme, že průřez zůstává rovinný, je rozdělení smykového napětí po výšce prutu konstantní. Protože je ovšem rozdělení parabolické, zohlední se při výpočtu smykových ploch opravný smykový součinitel. V případě obdélníkového průřezu činí 5/6. Tuhost obdélníkového prutu ve smyku se tak stanoví následovně:

$\mathrm{GA}^\ast\;=\;\mathrm\kappa\;\cdot\;\mathrm G\;\cdot\;\mathrm A\;=\;\frac56\;\cdot\;\mathrm G\;\cdot\;\mathrm A$

Obr. 01 - Porovnání deformací Bernoulliho nosníku a Timošenkova nosníku

Ustanovení normy

Norma neposkytuje žádný údaj o tom, zda anebo případně počínaje jakým kritériem je třeba zohlednit u prutů deformaci smykem. Statik musí sám dle svého uvážení rozhodnout.

Příklad

Na jednoduchém příkladu si ukážeme vliv deformací smykem. Posoudíme nosník o jednom poli s kloubovým uložením, který má sloužit jako průvlak. Podrobnosti jsou znázorněny na obr. 02.

Obr. 02 - Příklad nosníku o jednom poli

Nejdříve určíme pouze deformaci od momentového zakřivení. U znázorněné konstrukce je charakteristická deformace:

${\mathrm w}_{\mathrm M}\;=\;\frac{{\mathrm q}_{\mathrm z}\;\cdot\;\mathrm L^4}{384\;\cdot\;\mathrm E\;\cdot\;{\mathrm I}_{\mathrm y}}\;=\;3,09\;\mathrm{mm}$

Z toho lze odvodit složku smykové deformace anebo ji můžeme zjednodušeně stanovit z posouzení v [2] nebo [3]. Pro kloubově uložený nosník o jednom poli platí:

${\mathrm w}_{\mathrm V}\;=\;\frac{{\mathrm q}_{\mathrm z}\;\cdot\;\mathrm L^2}{8\;\cdot\;\mathrm\kappa\;\cdot\;\mathrm G\;\cdot\;\mathrm A}\;=\;1,03\;\mathrm{mm}$

Celková deformace je tak:

${\mathrm w}_{\mathrm{tot}}\;=\;{\mathrm w}_{\mathrm M}\;+\;{\mathrm w}_{\mathrm V}\;=\;3,09\;+\;1,03\;=\;4,12\;\mathrm{mm}\;$

V tomto příkladu složka smykové deformace odpovídá již 25% celkové deformace. Na obr. 03 jsou graficky znázorněny jednotlivé složky deformace.

Obr. 03 - Superpozice složek deformace

Štíhlost

Rozhodující pro složku smykové deformace je štíhlost prutu. Zatímco u štíhlých prutů s velkou hodnotou poměru L/h jsou deformace smykem zanedbatelně malé, u prutů s většími příčnými rozměry, a tudíž menším poměrem L/h mají značný význam.

Na obr. 04 je znázorněn v grafu vliv smykové deformace na celkovou deformaci. U prostých nosníků  s kloubovým uložením a obdélníkovým průřezem převládá přetvoření smykem až do poměru L/h 4. Teprve pak převládá složka od momentového zakřivení. Od poměru L/h 12 činí vliv smykové deformace na celkovou deformaci pouhých 10%.

Obr. 04 - Vliv deformace smykem na celkovou deformaci nosníku o jednom poli obdélníkového průřezu

Staticky neurčité systémy

Ve staticky neurčitých systémech má smyková deformace větší vliv než ve staticky určitých systémech. V tomto případě mají deformace od posouvající síly vliv na ohybový moment, a tím také na deformace ohybem. Tato redistribuce může mít například příznivý vliv na podporové momenty (viz obr. 05).

Obr. 05 - Redistribuce momentů vlivem smykové deformace

Deformace smykem v programech RFEM a RSTAB

V programech RFEM a RSTAB se u prutů deformace smykem zohledňují automaticky. Pro kontrolní výpočet je lze ovšem také zanedbat. Slouží k tomu funkce znázorněná na obr. 06. Pokud je zaškrtávací políčko označeno, smykové deformace se zohledňují. Pokud je deaktivováno, zohlední se pouze složky deformace od ohybového momentu.

Obr. 06 - Zohlednění deformace smykem v programech RFEM a RSTAB

Shrnutí

V praxi lze často deformace smykem zanedbat, protože výrazně nepřispívají k celkové deformaci. U prutů s většími příčnými rozměry již deformace smykem nelze opomíjet. Zatímco v programech RFEM a RSTAB se deformace smykem standardně uvažuje vždy, musíme při ručním výpočtu sáhnout po odborné literatuře (viz [2] nebo [3]).

Klíčová slova

Deformace smykem Smyková plocha Opravný smykový součinitel Bernoulli Timošenko

Literatura

[1]   Bauholz für tragende Zwecke - Festigkeitsklassen; EN 338:2016
[2]   Eierle, B.; Bös, B.: Schubverformungen von Stabtragwerken in der praktischen Anwendung, Bautechnik 90, Seiten 747 - 752. Berlin: Ernst & Sohn, 2013
[3]   Eierle, B.; Bös, B.: Schubverformungen von Holztragwerken, Bauen mit Holz 90, Seiten 33 - 38. Köln: Bruderverlag, 2015

Ke stažení

Odkazy

Kontakt

Kontakt

Máte dotazy nebo potřebujete poradit?
Kontaktujte prosím kdykoli naši bezplatnou technickou podporu e-mailem, na chatu nebo na fóru anebo se podívejte do sekce často kladených dotazů (FAQ).

+420 227 203 203

info@dlubal.cz

Kontakt

Kontakt

Nenalezli jste odpověď na Vaši otázku?
Kontaktujte prosím naši bezplatnou podporu e-mailem, na chatu nebo na fóru, případně nám zašlete Váš dotaz prostřednictvím online formuláře.

+420 227 203 203

info@dlubal.cz

RFEM Hlavní program
RFEM 5.xx

Hlavní program

Program RFEM pro statické výpočty metodou konečných prvků umožňuje rychlé a snadné modelování konstrukcí, které se skládají z prutů, desek, stěn, skořepin a těles. Pro následná posouzení jsou k dispozici přídavné moduly, které zohledňují specifické vlastnosti materiálů a podmínky uvedené v normách.

Cena za první licenci
3 540,00 USD
RSTAB Hlavní program
RSTAB 8.xx

Hlavní program

Program pro statický výpočet a navrhování prutových a příhradových konstrukcí, provedení lineárních a nelineárních výpočtů vnitřních sil, deformací a podporových reakcí.

Cena za první licenci
2 550,00 USD
Samostatné Dřevěné konstrukce
RX-TIMBER Glued-Laminated Beam 2.xx

Samostatný program

Posouzení lepených lamelových nosníků

Cena za první licenci
1 120,00 USD
Samostatné Dřevěné konstrukce
RX-TIMBER Continuous Beam 2.xx

Samostatný program

Analýza a návrh spojitých nosníků podle Eurokódu 5 nebo DIN 1052

Cena za první licenci
360,00 USD