Superpozice modálních odezev při analýze spektra odezvy pomocí ekvivalentní lineární kombinace

Odborný článek

Analýza spektra odezvy je jednou z nejčastěji používaných metod posouzení seizmických účinků. Tato metoda má mnoho výhod. Nejvýznamnější je pak asi zjednodušení: Složitost zemětřesení se zjednodušuje do té míry, že posouzení lze provést s přijatelným úsilím. Nevýhodou této metody naopak je, že v důsledku tohoto zjednodušení se mnoho informací ztrácí. Jedním ze způsobů, jak tuto nevýhodu zmírnit, je použití ekvivalentní lineární kombinace pro superpozici modálních odezev. Blíže vysvětlíme v našem příspěvku na konkrétním příkladu.

Teoretické pozadí

Při analýze spektra odezvy se stanoví pro každou vlastní frekvenci modální odezva na základě zadaného spektra odezvy. U složitých systémů se může stát, že je třeba zohlednit velké množství vlastních tvarů. Následná superpozice se může proto jevit jako obtížná, protože ve skutečnosti se nikdy nemohou projevovat současně veškerá vlastní kmitání ve své plné velikosti. Abychom tuto skutečnost mohli při výpočtu zohlednit, jednotlivé modální odezvy se superponují kvadraticky. Příslušná evropská norma pro posouzení EN 1998-1 k tomu stanoví dvě pravidla: metodu druhé odmocniny ze součtu čtverců (pravidlo SRSS) a metodu úplné kvadratické superpozice (pravidlo CQC) [1].

Použití těchto pravidel obvykle vede k realistickým a hospodárným výsledkům na rozdíl od jednoduchého sčítání. Při superpozici se ovšem ztrácí směr buzení, a tím i znaménka výsledků. V důsledku toho se výsledky zobrazí vždy jako maximální hodnoty v kladném i v záporném směru. Přidružené vnitřní síly, například příslušný moment při maximální normálové síle, se přitom ztrácí. Tomu lze zabránit úpravou pravidel SRSS a CQC: Vzorce se místo jako odmocnina zapisují jako lineární kombinace. Toto pravidlo zavedl prof. Dr.-Ing. C. Katz [2] a názorně si ho předvedeme na pravidle SRSS.

ESRSS = E12 + E22 + ... + Ep2

Standardní pravidlo SRSS

ESRSS = i = 1p fi · Ei mit fi = Eij = 1p Ej2

Upravené pravidlo SRSS - ekvivalentní lineární kombinace

Porovnání výsledků na příkladu

Vliv ekvivalentní lineární kombinace si ukážeme na jednoduché dvourozměrné ocelové konstrukci. Uvažovat přitom budeme tři vnitřní síly: normálovou sílu N, posouvající sílu Vz a moment My. Pro názornost použijeme modul RF-DYNAM Pro - Equivalent Loads. Chování v modulu RF-DYNAM Pro - Forced Vibrations je stejné.

Vypočítají se čtyři vlastní tvary výhradně ve směru X a použije se spektrum odezvy podle EN 1998-1. Aktivace ekvivalentní lineární kombinace a výběr kombinačního pravidla se provádí v záložce „Dynamické stavy“ v podzáložce „Metoda náhradních sil“ [3].

Výsledky jednotlivých modálních odezev analyzujeme na příkladu uzlu číslo 5 (na prutu 6 → levá strana). Uvedeny jsou v následující tabulce.

 Odezva z
vlastního tvaru 1
Odezva z
vlastního tvaru 2
Odezva z
vlastního tvaru 3
Odezva z
vlastního tvaru 6
Normálová síla N1,361 kN-0,246 kN0,815 kN-2,322 kN
Posouvající síla Vz0,480 kN-1,635 kN-0,556 kN1,546 kN
Moment My-2,400 kNm8,174 kNm2,781 kNm-7,732 kNm

Při uplatnění standardního pravidla SRSS dostaneme následující hodnoty.

NSRSS = (1,361 kN)2 + (-0,246 kN)2 + (0,815 kN)2 + (-2,322 kN)2 = 2,823 kN

Normálová síla - vypočítaná pomocí standardního pravidla SRSS

Vz,SRSS = (0,480 kN)2 + (-1,635 kN)2 + (-0,556 kN)2 + (1,546 kN)2 = 2,367 kN

Posouvající síla - vypočítaná pomocí standardního pravidla SRSS

My,SRSS = (-2,400 kNm)2 + (8,174 kNm)2 + (2,781 kNm)2 + (-7,732 kNm)2 = 11,836 kNm

Moment - spočítá se podle standardního pravidla SRSS

Pro vyhodnocení těchto výsledků v programu RFEM se podíváme na vygenerovanou kombinaci výsledků. Maximální výsledky jsou znázorněny jak v grafickém okně, tak v tabulce „4.6 Pruty - vnitřní síly“.

Nyní vypočítáme vnitřní síly podle upraveného pravidla SRSS. Při ekvivalentní lineární kombinaci se vnitřní síly spočítají zvlášť pro každý maximální účinek. Pro maximální normálovou sílu dostaneme následující vnitřní síly.

fmaxN,LF1 = 1,361 kN2,823 kN = 0,482fmaxN,LF2 = -0,246 kN2,823 kN = -0,087fmaxN,LF3 = 0,815 kN2,823 kN = 0,289fmaxN,LF4 = -2,322 kN2,823 kN = -0,822

Koeficienty ekvivalentní lineární kombinace pro maximální normálovou sílu

NmaxN = 0,482 · 1,361 kN - 0,087 · (-0,246 kN) + 0,289 · 0,815 kN - 0,822 · (-2,322 kN) = 2,823 kN

Maximální osová síla - vypočítaná pomocí ekvivalentní lineární kombinace

Vz,maxN = 0,482 · 0,480 kN - 0,087 · (-1,635 kN) + 0,289 · (-0,556 kN) - 0,822 · 1,546 kN = -1,058 kN

Přidružená smyková síla - Vypočítáno na ekvivalentní lineární kombinaci

My,maxN = 0,482 · (-2,400 kNm) - 0,087 · 8,174 kNm + 0,289 · 2,781 kNm - 0,822 · (-7,732 kNm) = 5,292 kNm

Přidružený moment - výpočet pomocí ekvivalentní lineární kombinace

Takto je třeba nyní postupovat u všech účinků. Výsledné vnitřní síly jsou uvedeny v následující tabulce.

 Normálová síla NPosouvající síla VzMoment My
Max N2,823 kN-1,058 kN5,292 kNm
Min N-2,823 kN1,058 kN-5,292 kNm
Max Vz-1,263 kN2,367 kN-11,836 kNm
Min Vz1,263 kN-2,367 kN11,836 kNm
Max My1,263 kN-2,367 kN11,836 kNm
Min My-1,263 kN2,367 kN-11,836 kNm

V grafickém okně v RFEMu jsou znázorněny vždy pouze maximální vnitřní síly. V tabulce ovšem můžeme vidět rozdíly.

Závěr a další možnosti použití

Ukázali jsme, že příslušné vnitřní síly při použití ekvivalentní lineární kombinace zůstávají zachovány. Pokud použijeme toto kombinační pravidlo a načteme ho do návrhových modulů, dostaneme obvykle hospodárnější výsledky. Příklad použití v přídavném modulu lze najít níže mezi odkazy.

Ekvivalentní lineární kombinaci lze uplatňovat i jinde než v modulu RF-/DYNAM Pro. Lze ji aktivovat v parametrech výpočtu u libovolné kombinace výsledků, pokud použijeme pravidlo SRSS. U pravidla CQC je postup podobný. Pravidlo CQC lze ovšem použít pouze u těch kombinací výsledků, v nichž jsou výlučně zatěžovací stavy s kategorií účinku Seizmicita a parametry pro pravidlo CQC byly definovány v samotném zatěžovacím stavu.

Odpověď na otázku, jaké kombinační pravidlo se má nakonec pro posouzení použít, není jednoznačná. Pravidlo CQC poskytuje vždy přesnější výsledky, protože může zohlednit význam vlastních tvarů ležících blízko sebe. Pravidlo SRSS lze použít při ručních výpočtech. V počítačově podporovaných výpočtech, například v programech RFEM a RF-DYNAM Pro, se doporučuje používat pravidlo CQC, sestavené jako lineární kombinace, protože v každém případě vede ke správným a hospodárným výsledkům. Výpočetní náročnost se zvyšuje pouze nepatrně.

Klíčová slova

Dynamika Zemětřesení Spektrum odezvy Kombinace Modální odezva

Literatura

[1]   Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance - Part 1: General rules, seismic actions and rules for buildings; EN 1998‑1:2004/A1:2013
[2]   Katz, C.: Anmerkung zur Überlagerung von Antwortspektren. D-A-CH Mitteilungsblatt, 2009.
[3]   Manuál RF-DYNAM Pro. Tiefenbach: Dlubal Software, říjen 2018.

Odkazy

Kontakt

Máte dotazy nebo potřebujete poradit?
Kontaktujte prosím kdykoli naši bezplatnou technickou podporu e-mailem, na chatu nebo na fóru anebo se podívejte do sekce často kladených dotazů (FAQ).

+420 227 203 203

info@dlubal.cz

RFEM Hlavní program
RFEM 5.xx

Hlavní program

Program RFEM pro statické výpočty metodou konečných prvků umožňuje rychlé a snadné modelování konstrukcí, které se skládají z prutů, desek, stěn, skořepin a těles. Pro následná posouzení jsou k dispozici přídavné moduly, které zohledňují specifické vlastnosti materiálů a podmínky uvedené v normách.

Cena za první licenci
3 540,00 USD
RFEM Dynamická analýza
RF-DYNAM Pro - Equivalent Loads 5.xx

Přídavný modul

Náhradní statické zatížení za použití analýzy multimodálního spektra odezvy

Cena za první licenci
760,00 USD
RFEM Dynamická analýza
RF-DYNAM Pro - Forced Vibrations 5.xx

Přídavný modul

Časová analýza a analýza multimodálního spektra odezvy

Cena za první licenci
1 120,00 USD
RSTAB Hlavní program
RSTAB 8.xx

Hlavní program

Program pro statický výpočet a navrhování prutových a příhradových konstrukcí, provedení lineárních a nelineárních výpočtů vnitřních sil, deformací a podporových reakcí.

Cena za první licenci
2 550,00 USD
RSTAB Dynamická analýza
DYNAM Pro - Equivalent Loads 8.xx

Přídavný modul

Náhradní statické zatížení za použití analýzy multimodálního spektra odezvy

Cena za první licenci
580,00 USD