8.19 Flächen - Hauptspannungen

σ_1,+

Spannung in Richtung der Hauptachse 1 an der positiven Flächenseite
(d. h. auf der Seite in Richtung der positiven Flächenachse z)

${\sigma }_{1,+}=\frac{1}{2}\left({\sigma }_{x,+}+{\sigma }_{y,+}+\sqrt{({\sigma }_{x,+}-{\sigma }_{y,+}{)}^2+4{\tau }_{xy,+}^2}\right)$

σ_2,+

Spannung in Richtung der Hauptachse 2 an der positiven Flächenseite
(d. h. auf der Seite in Richtung der positiven Flächenachse z)

${\sigma }_{2,+}=\frac{1}{2}\left({\sigma }_{x,+}+{\sigma }_{y,+}-\sqrt{({\sigma }_{x,+}-{\sigma }_{y,+}{)}^2+4{\tau }_{xy,+}^2}\right)$

α₊

Winkel zwischen der lokalen Achse x (bzw. y) und der Hauptachse 1 (bzw. 2) für die Spannungen an der positiven Flächenseite

${\alpha }_{+}=\frac{1}{2}\text{atan2}\left(\frac{2 {\tau }_{xy,+}}{{\sigma }_{x,+}-{\sigma }_{y,+}}\right) \in (-90°, 90°]$

σ_1,−

Spannung in Richtung der Hauptachse 1 an der negativen Flächenseite

${\sigma }_{1,-}=\frac{1}{2}\left({\sigma }_{x,-}+{\sigma }_{y,-}+\sqrt{({\sigma }_{x,-}-{\sigma }_{y,-}{)}^2+4{\tau }_{xy,-}^2}\right)$

σ_2,−

Spannung in Richtung der Hauptachse 2 an der negativen Flächenseite

${\sigma }_{2,-}=\frac{1}{2}\left({\sigma }_{x,-}+{\sigma }_{y,-}-\sqrt{({\sigma }_{x,-}-{\sigma }_{y,-}{)}^2+4{\tau }_{xy,-}^2}\right)$

α₋

Winkel zwischen der lokalen Achse x (bzw. y) und der Hauptachse 1 (bzw. 2) für die Spannungen an der negativen Flächenseite

${\alpha }_{-}=\frac{1}{2}\text{atan2}\left(\frac{2 {\tau }_{xy,-}}{{\sigma }_{x,-}-{\sigma }_{y,-}}\right) \in (-90°, 90°]$

σ_1,m

Membranspannung in Richtung der Hauptachse 1

${\sigma }_{1,m}=\frac{1}{2}\left({\sigma }_{x,m}+{\sigma }_{y,m}+\sqrt{({\sigma }_{x,m}-{\sigma }_{y,m}{)}^2+4{\tau }_{xy,m}^2}\right)$

σ_2,m

Membranspannung in Richtung der Hauptachse 2

${\sigma }_{2,m}=\frac{1}{2}\left({\sigma }_{x,m}+{\sigma }_{y,m}-\sqrt{({\sigma }_{x,m}-{\sigma }_{y,m}{)}^2+4{\tau }_{xy,m}^2}\right)$

α_m

Winkel zwischen der lokalen Achse x und der Hauptachse 1 für die Membranspannungen

${\alpha }_m=\frac{1}{2}\text{atan2}\left(\frac{2·{\tau }_{xy,m}}{{\sigma }_{x,m}-{\sigma }_{y,m}}\right) \in (-90°, 90°]$

τ_max

Maximale Schubspannung senkrecht zur Fläche

${\tau }_{\text{max}}=\sqrt{{\tau }_{xz}^2+{\tau }_{yz}^2}$