197x

27.6.2020

VE 0017 | Plastický ohyb - spojité zatížení

Popis

Tenká deska je zcela upevněna na levém konci a vystavena rovnoměrnému tlaku. Uvažují se malé deformace a vlastní tíha se v tomto příkladu zanedbá. Problém je popsán pomocí následující sady parametrů. Určete maximální průhyb u_z,max.

Materiál	Elastic-Plastic	Modul pružnosti	E	210000,000	MPa
		Poissonův součinitel	ν	0,000	-
		Smykový modul	G	105000,000	MPa
		Mez kluzu	f_y	40,000	MPa
Geometrie	Talíř	obvod	L	1,000	m
		Šířka	w	0,050	m
		Tloušťka	t	0,005	m
Zatížení		Rovnoměrný tlak	p	2,750	kPa

Plastický ohyb - spojité zatížení

Analytické řešení

Nejprve se probereme velikosti zatížení. Moment M_e, když nastane první kluznost, a mezní moment M_p, když se konstrukce stane plastickým kloubem, se vypočtou následovně:

M_{e} = 2 \int_{0}^{t / 2} σ (z) zw dz = 2 \int_{0}^{t / 2} \frac{2 f_{y}}{t} z^{2} w dz = \frac{f_{y} {wt}^{2}}{6}

Pružný moment

M_{p} = 2 \int_{0}^{t / 2} σ (z) zw dz = 2 \int_{0}^{t / 2} f_{y} zw dz = \frac{f_{y} {wt}^{2}}{4}

Mezní plastický moment

Tlakem p se deska uvede do pružně-plastického stavu. Ohybové napětí se zadává podle následujícího vzorce:

σ_{x} (x, z) = - κ (x) Ez

ohybové napětí

kde κ je zakřivení. Délka pružně-plastické oblasti je dána parametrem x_p. Velikost ohybového napětí na ploše je rovna plastické pevnosti f_y v bodě x_p, viz následující schéma.

Průběh napětí v ohybu

Pružno-plastický moment M_ep (vnitřní síla) se musí rovnat ohybovému momentu M (vnější síla). Z této rovnosti vyplývá zakřivení_κp v pružně-plastické oblasti.

κ_{p} = \frac{1}{E} \sqrt{\frac{\frac{f_{y}^{3} w}{3}}{- \frac{q (L - x)^{2}}{2} + \frac{f_{y} t^{2} w}{4}}}

Zakřivení v elasticko-plastické oblasti

u_{z, \max} = \int_{0}^{x_{p}} κ_{p} (L - x) dx + \int_{x_{p}}^{L} κ_{e} (L - x) dx = 83.117 + 83.117 = 166.234 mm

Maximální průhyb konzoly

Nastavení programu RFEM

Modelováno v programech RFEM 5.26 a RFEM 6.01
Velikost prvku je l_FE =0,020 m
V případě modelů těles se použije zahuštění sítě přes tloušťku (6 prvků na tloušťku)
Je uvažována geometrická lineární analýza
Počet přírůstků je 5
Smyková tuhost prutů se zanedbá

Výsledky

Model	Analytické řešení	RFEM 5		RFEM 6
Model	u_z,max [mm]	u_z,max [mm]	Poměr [-]	u_z,max [mm]	Poměr [-]
Izotropní plastický 1D	166,234	166,214	1,000	166,018	0,999
Izotropní plast 2D/3D, deska		162,987	0,980	162,960	0,980
Izotropní nelineární elastické 2D/3D, deska, von Mises		165,730	0,997	165,700	0,997
Izotropní nelineární elastické 2D/3D, Plech, Tresca		166,998	1,005	166,969	1,004
Izotropní plastický 2D/3D, těleso		160,601	0,966	162,429	0,977
Izotropní nelineární elastické 2D/3D, těleso, von Mises		163,003	0,981	165,593	0,996
Izotropní nelineární elastické 2D/3D, těleso, Tresca		168,725	1,015	169,691	1,021
Izotropní nelineárně elastický 1D		166,214	1,000	166,018	0,999

424x

Verifikační příklad 0017 | 1

Reference

Lubliner, J. (1990). Teorie plasticity. New York: Macmillan.

;