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27. Juni 2020

VE 0017 | Plastische Biegung - Dauerlast

Beschreibung

Am linken Ende wird eine dünne Platte vollständig fixiert und mit einem gleichmäßigen Druck beaufschlagt. In diesem Beispiel werden kleine Verformungen berücksichtigt und das Eigengewicht wird vernachlässigt. Das Problem wird durch folgenden Parametersatz beschrieben. Es soll die maximale Durchbiegung u_z,max bestimmt werden.

Material	Elastisch-Plastisch	Elastizitätsmodul	E	210000,000	MPa
		Querdehnzahl	ν	0,000
		Schubmodul	G	105000,000	MPa
		Fließgrenze	f_y	40,000	MPa
Geometrie	Platte	Länge	L	1,000	m
		Breite	w	0,050	m
		Stärke	t	0,005	m
Last		Gleichmäßiger Druck	P	2,750	kPa

Plastische Biegung - Dauerlast

Analytische Lösung

Zunächst werden die Größen der Last besprochen. Das Moment M_e beim Auftreten der ersten Streckung und das Bruchmoment M_p beim Übergang zum plastischen Gelenk werden wie folgt berechnet:

M_{e} = 2 \int_{0}^{t / 2} σ (z) zw dz = 2 \int_{0}^{t / 2} \frac{2 f_{y}}{t} z^{2} w dz = \frac{f_{y} {wt}^{2}}{6}

Elastisches Moment

M_{p} = 2 \int_{0}^{t / 2} σ (z) zw dz = 2 \int_{0}^{t / 2} f_{y} zw dz = \frac{f_{y} {wt}^{2}}{4}

Plastisches Bruchmoment

Durch den Druck p wird die Platte in den elastisch-plastischen Zustand gebracht. Die Biegespannung wird nach folgender Formel definiert:

σ_{x} (x, z) = - κ (x) Ez

Biegespannung

wobei κ die Krümmung ist. Die elastisch-plastische Zonenlänge wird durch den Parameter x_p beschrieben. Die Biegespannungsgröße an der Fläche ist gleich der plastischen Festigkeit f_y im Punkt x_p, siehe folgendes Schema.

Biegespannungsverlauf

Das elastisch-plastische Moment M_ep (Schnittgröße) muss gleich dem Biegemoment M (Fremdkraft) sein. Aus dieser Gleichheit resultiert die Krümmung_p in der elastisch-plastischen Zone.

κ_{p} = \frac{1}{E} \sqrt{\frac{\frac{f_{y}^{3} w}{3}}{- \frac{q (L - x)^{2}}{2} + \frac{f_{y} t^{2} w}{4}}}

Krümmung im elastisch-plastischen Bereich

u_{z, \max} = \int_{0}^{x_{p}} κ_{p} (L - x) dx + \int_{x_{p}}^{L} κ_{e} (L - x) dx = 83.117 + 83.117 = 166.234 mm

Maximale Durchbiegung des Kragarms

RFEM-Einstellungen

Modelliert in RFEM 5.26 und RFEM 6.01
Die Elementgröße beträgt l_FE =0,020 m
Bei Volumenmodellen wird eine Netzverdichtung über die Dicke verwendet (6 Elemente pro Dicke)
Theorie I. Ordnung wird berücksichtigt.
Die Anzahl der Inkremente beträgt 5.
Die Schubsteifigkeit der Stäbe wird vernachlässigt.

Ergebnisse

Modell	Analytische Lösung	RFEM 5		RFEM 6
Modell	u_z,max [mm]	u_z,max [mm]	Ausnutzung [-]	u_z,max [mm]	Ausnutzung [-]
Isotrop plastisch 1D	166,234	166,214	1,000	166,018	0,999
Isotrop plastisch 2D/3D, Platte		162,987	0,980	162,960	0,980
Isotrop nichtlinear elastisch 2D/3D, Platte, von Mises		165,730	0,997	165,700	0,997
Isotrop nichtlinear elastisch 2D/3D, Platte, Tresca		166,998	1,005	166,969	1,004
Isotrop plastisch 2D/3D, Volumen		160,601	0,966	162,429	0,977
Isotrop nichtlinear elastisch 2D/3D, Volumen, von Mises		163,003	0,981	165,593	0,996
Isotrop nichtlinear elastisch 2D/3D, Volumenkörper, Tresca		168,725	1,015	169,691	1,021
Isotrop nichtlinear elastisch 1D		166,214	1,000	166,018	0,999

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Verifikationsbeispiel 0017 | 1

Referenzen

lubliner, J. (1990) angewendet. Plastizitätstheorie. NewYork: Macmillan, 2006

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