2.4.9 Konvergence

Konvergence

Jak rychle a spolehlivě se provede konverze nelineárního výpočtu závisí na množství faktorů a lze ji stanovit jen obecně.

Hlavním výchozím bodem posouzení konvergence je použitá metoda. Je známé, že metody založené na tangenciálních vylepšeních (tangenciální maticové tuhosti) mají tendenci konvergovat rychleji (kvadratická konvergence v požadovaném řešení) než metody, které určují iterativní zesílení s tukovými tuhostmi. Nicméně, sekantní metody jsou obecně numericky stabilnější, zvláště v rozsahu velmi mělkých přechodů v blízkosti stavu selhání (tangenciální tuhost se blíží nule). Samozřejmě, že není možná žádná paušalizace, protože konvergence je ovlivněna přírůstkovou aplikací zatížení, různými iteračními metodami (Newton-Raphson, Riks/Wempner/Wessels atd.) a dalšími parametry.

V následujícím textu bude stručně představeno konvergenční chování aplikovaného algoritmu. RF-CONCRETE Members provádí vlastní iteraci deformačního stavu na úrovni průřezu. To znamená, že jsou kalkulovány stále nové stavy pracovního diagramu na základě průběhu vnitřních sil uvnitř iteračního cyklu. Konvergence je dosaženo, nastene-li stav rovnováhy, t.j. pokud průběh vnitřních sil ve dvou po sobě následujícíh krocích zůstává v rozmezí stanovených hranic.

Samotný postup je velmi stabilní při nižším kolísání tuhostí u staticky neurčitých nosných konstrukcí. Problémy ovšem vyvstávají u skokové změny popř. u větších skoků v hodnotách tuhosti. Zde může docházet k oscilaci výpočtu. Aby se předešlo tomuto nesouladu, byla při výpočtu zavedena tlumená redukce tuhosti. Skok mezi tuhostmi dvou iteračních kroků je přitom utlumen podle specifikací uživatele. Výpočet se tím poněkud zpomalí, je však numericky výrazně stabilnější. Zbývá poznamenat, že tlumení nemá žádný smysl u staticky určených systémů.

Z toho plynou obě kontrolovatelná kritéria pro ukončení nelineárního výpočtu:

${\epsilon }_1 = \left|{\left(1/\gamma \right)}_i - {\left(1/\gamma \right)}_{i-1}\right| \le \text{ Toleranz 1 }$

γ je indikátorem poměru mezního momentu a působícího momentu. Kritérium ukončení ε₁ tak zohledňuje změnu vnitřních sil.

${\epsilon }_2 = {\left(E{I}_i - E{I}_{i-2} \right)}^2 / {\left(E{I}_i\right)}^2 \le \text{ Toleranz 2 }$

Toto kritérium posouzení kontroluje rozdíl tuhostí mezi dvěma po sobě následujícími iteračními kroky u uzlů.

Dodatečně se interně kontroluje rodíl deformace mezi dvěma iteracemi:

${\epsilon }_3 = \left|u_i - u_{i-1}\right| \le \text{Toleranz 3 }\left(\mathrm{fix}\right)$

Maximální deformační rozdíl je pevně nastaven na hodnotu ≤ 0.1 mm.

Pokud neproběhne konvergence nelineárního výpočtu, existují v dialogu Nastavení nelineárního výpočtu, viz Obr. 2.30, možnosti vylepšení konvergenčního chování.

Iterační proces velmi závisí na tvaru průřezu, systému a zatížení. To může vést k jinému chování konvergence. Komponenty silně namáhané tlakem konvergují zpravidla o něco pomaleji. Vzhledem k tomu, že se během výpočtu neustále zobrazují skutečné odchylky ε₁ a ε₂, lze jednoduše rozhodnout, zda zvýšení počtu iterací (pomalá ale konstantní konvergence ) dává smysl.

V prvním kroku zatížení se jako výstupní proměnná používá lineární elastická tuhost. Při kalkulaci za použití jen jednoho zátěžového kroku v prvním iteračním cyklu může vyjít velmi velký rozdíl tuhosti, který brání konvergenci. V tomto případě může být účelné, aby se zatížení postupně navyšovalo.

Oscilaci při výpočtu lze potlačit cíleným omezováním skoků v tuhosti mezi dvěma iteračními kroky. U dvou po sobě následujících iteračních kroků se rozdíl tuhosti stanoví na jednom uzlu. Součinitel tlumení charakterizuje poměr rozdílu tuhosti, který je zohledněn u nově použité tuhosti v dalším iteračním kroku:

$E · I_{i,\text{gedämpft}} = E · I_{i-1} · \left(1 -\text{ Dämpfungsfaktor}\right) + E · I_i ·\text{ Dämpfungsfaktor}$

To znamená, že: Čím větší je součinitel tlumení, tím menší je vliv tlumení. U součinitele od 1 nemá tlumení žádný vliv na iterativní výpočet.