Quast
该用于考虑混凝土在裂缝之间受拉作用的模型，基于受拉区混凝土的一条定义好的应力-应变曲线（抛物线-矩形图）。
Quast 方法的基本假定可归纳如下：
- 在达到开裂应变 εcr,R 或混凝土计算抗拉强度 fct,R 之前，混凝土受拉作用完全有效。
- 在受拉区，根据现有混凝土应变，混凝土的加劲作用被折减。
- 当控制钢筋开始屈服后，不再考虑张力加劲。
概括而言，这意味着计算抗拉强度 fct,R 不是一个固定值，而是与控制钢筋（受拉）纤维中的现有应变相关。最大抗拉强度 fct,R 从定义的开裂应变 εcr,R 起，直至钢筋屈服应变，在控制钢纤维处呈线性递减（当 nVMB = 1 时）至零。 这是通过下图中所示的混凝土受拉区应力-应变曲线（抛物线-矩形图）以及折减系数 VMB（混凝土加劲作用）的确定来实现的。
下一张图示意性地展示了张力加劲作用下随荷载增加的应力状态。
受拉区的应力-应变曲线可用下列公式描述：
适用于 0 < ε < εcr,R 适用于 ε > εcr,R- 第一段抛物线的饱满程度可通过指数 nPR 控制。
- 该指数应调整得当，使从压力区到受拉区的过渡尽可能采用相同的弹性模量。
为确定折减系数 VMB，采用受拉最强钢纤维处的应变。参考点的位置在随后的图形中予以说明。
折减系数 VMB 随钢筋应变的增大而减小。在 VMB 系数的图表中（见下图）可以看出，VMB 系数恰好在钢筋开始屈服时被折减为零。
状态 II（ε > εcr,R）中折减系数 VMB 的变化曲线可通过指数 nVMB 控制。
- 根据 Pfeiffer [2] 的经验值，对于受弯构件，取 nVMB = 1（线性）至 nVMB = 2（抛物线）。
- Quast [3] 在其模型中采用指数 nVMB = 1（线性），并在柱试验的验算中取得了良好的一致性。
- 根据 Pfeiffer [2]，采用 nVMB = 2 可以以可接受的一致性模拟纯拉伸试验。
对开裂混凝土受拉区采用抛物线-矩形图的假定应视为一种计算辅助手段。乍看之下，它与纯混凝土受拉侧由试验确定的应力-应变曲线存在很大差异。
但在考察受弯钢筋混凝土截面中的实际应力时可以发现，抛物线-矩形图确实能更好地从平均意义上描述应变和应力。 在受弯梁中，两条裂缝之间会形成一个混凝土体。它以一种类似平板的方式工作，拉力通过钢筋逐渐重新传入其中。由此产生非常不规则的应力和应变分布。然而，从平均意义上可以建立一个具有抛物线-矩形分布的应变平面，通过它可以掌握平均曲率。
对于 Quast 模型，所采用的计算值建议如下
- 对于抗拉强度 fct,R
- 对于开裂应变 εcr,R
因此，抗拉强度 fct,R 的计算值小于欧洲规范的规定值。其原因在于工作曲线的描述以及折减系数 VMB 的确定方式——在超过受拉应变后，所假定的拉应力及其产生的拉力仅缓慢折减。当应变为 2 ⋅ εcr 时，仍存在约 0.95 ⋅ fct,R 的有效拉应力。因此，对于受弯荷载，可以较好地预测刚度的折减。而在纯受拉时，上述 fct,R 的值偏低。此时根据 Pfeiffer [2]，应采用 EC 2 中抗拉强度的计算值。 Quast [3] 推荐的值 fct,R = 1/20 ⋅ fcm 可通过取 EC 2 规定抗拉强度的 60% 来实现。取 fct,R = 0.6 ⋅ fctm 一方面会导致截面开裂被过早预测；另一方面，它已经考虑了连续荷载（约 70%）下抗拉强度的折减，或导致受拉区损伤的暂时较高荷载（例如短期施加频遇作用组合）的影响。 混凝土受拉区的各个计算值可如下描述：
改进的 Quast 方法
改进的 Quast 方法使用与 Quast 方法相同的计算抗拉强度 fct,R（见前述章节），但采用一条独立的、更简单的目标曲线 σ̂(ε)：它从零线性上升至抗拉强度 fct,R（在应变为 fct,R/E 处，E 为混凝土的弹性模量），之后保持恒定。没有抛物线部分；不使用 Quast 方法中的指数 nt 和开裂应变 εcr,R。此外，施加于混凝土应力的方式也有所不同：
- 在 Quast 方法中，受拉区的混凝土应力被直接设定为目标曲线值（σc = σ̂(ε)，参见章节 Quast 中的目标曲线）；相对于未修改的基础材料模型应力，这既可能意味着提高，也可能意味着折减。
- 在改进方法中，目标曲线改为纯叠加到基础材料模型（例如损伤模型）给出的混凝土应力 σc,Basis(ε) 上。
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σ̂(ε) |
目标应力曲线，按 Quast 或按 Quast 修正，见相应节 |
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σc |
受拉区混凝土应力 |
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σc,Basis(ε) |
基材模型的混凝土应力，例如损伤模型 |
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Δσc |
混凝土应力的附加拉应力刚化增量 |
因此，混凝土应力只能通过拉伸刚化被提高，绝不会被折减。这种叠加方式在数值上比 Quast 的强制方式更稳健，因为当基础材料应力已经超过目标曲线时，它不会导致刚度的突然跳变。
程序中的实现：局部各向异性拉伸刚化扩展
使用混凝土损伤模型时，拉伸刚化通过局部各向异性拉伸刚化扩展来实现 [4]。在每个混凝土积分点上，在混凝土基础材料响应上叠加一个由配筋引起的拉应力，其目标变化曲线可按 Quast 方法或改进的 Quast 方法确定。修正按局部（逐积分点）和各向异性（在两个主应变方向上分别）计算；配筋方向与相应主受拉方向之间的夹角被显式纳入。
激活系数
在每个混凝土积分点上确定主应变 ε1、ε2 及相应的主应变角 θp；只有受拉方向与拉伸刚化相关（见下文位置系数）。每层配筋 j 通过三个相乘的子系数对主方向 k 的激活系数 αk 作出贡献：
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Δαj,k |
配筋层 j 对主方向 k 的激活系数的贡献 |
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gj |
配筋层 j 的承载能力系数 |
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aj,k |
配筋层 j 与主方向 k 之间的角度系数 |
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pj |
钢筋层 j 的位置系数 |
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εs,j |
第 j 层钢筋的应变 |
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εc |
混凝土应变 |
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z |
沿截面厚度的位置（深度坐标） |
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Δθ |
配筋方向与主拉方向之间的角度 |
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εeq,s,j |
配筋层 j 位置处的等效应变 |
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εeq,c |
所分析混凝土层的等效应变 |
- gj（容量系数）：随配筋应变的增大而减小，并在达到配筋屈服应变时变为零；配筋应变和屈服应变均相对混凝土开裂应变进行偏移（见下文容量系数）。
- aj,k（角度系数）：在各向异性损伤模型中，主方向 1 取 cos2(Δθ)，主方向 2 取 sin2(Δθ)，其中 Δθ 为配筋层与主方向 1 之间的夹角；两个系数之和恒为 1。在各向同性损伤模型中，则采用上文所述的基于应变的投影，它对两个主方向给出相同的值。
- pj（位置系数）：在所考察配筋层的影响区内为 1（距离 dj ≤ 影响距离 cj，对称于配筋两侧）；在该区之外，该系数不再取决于距离，而是取决于配筋层处与所考察混凝土层处等效应变之比（见下文位置系数）。
等效应变
在系数 gj 和 pj 中，应变不是作为配筋的纯杆件应变或混凝土的纯应变代入，而是作为考虑混凝土泊松比 μ 以及相应位置处沿配筋方向应变状态的等效应变：
它在两处进行计算：在配筋层 j 的位置处（εeq,s,j）以及在所考察的混凝土层中（εeq,c），均在同一配筋层 j 的局部坐标系中。其中 ε∥ 为沿配筋层方向的应变，ε⊥ 为垂直于该方向的应变。截面的主方向在此不起作用；因此 ε∥ 并非始终是两个值中较大的一个。由此，容量的折减遵循混凝土沿配筋方向的实际开展。这些等效应变被代入激活系数贡献项的公式中。
容量系数
当配筋的等效应变从开裂应变 εcr,R 增大到配筋屈服应变 εy,j 时，容量系数从 1 降至 0；配筋应变和屈服应变因此相对混凝土开裂应变偏移：
若 εy,j ≤ εcr,R，则 gj = 0。指数 nVMB（输入项首裂后折减系数抛物线的指数）是一项材料输入参数，在 Quast 方法和改进的 Quast 方法中同等使用，且必须始终输入。开裂应变 εcr,R 在 Quast 方法中为输入项计算开裂应变（参见章节 章节 Quast）。在改进的 Quast 方法中，容量系数按 εcr,R = 0 计算，偏移不适用。
容量系数在荷载步中的作用类似损伤值：一旦 gj 减小，它在后续荷载步中不会再增大。因此多步计算的结果可能小于当前荷载步应变对应的公式值，但绝不会大于该值。
位置系数
在配筋层的影响区内，即对于与该层距离 dj ≤ cj 的混凝土层，pj = 1；该区对称于配筋两侧。其中 dj 为所考察混凝土层与配筋层 j 的距离，cj 为影响距离。影响距离等于层中心到最近截面表面的距离，cj = max(0, h/2 − |zs,j|)，其中 h 为截面厚度，zs,j 为配筋层相对于中面的位置；影响距离对每层配筋单独确定。它不是输入的混凝土保护层：它计至层中心，且较深的层具有较大的影响距离。若某层位于截面中心，则 cj = h/2，且 pj 在整个截面上为 1。距配筋较远处（dj > cj），该系数由配筋位置处与所考察混凝土层处等效应变之比确定，并限制在 [0, 1] 之间：
该变化曲线不是 dj/cj 的固定函数：两个等效应变取决于当前应变状态，因此其形状随荷载工况变化。图中显示的是沿截面厚度一个示例性线性应变分布下的曲线。
位置系数对截面的每个点以及每层配筋进行计算，也包括位于截面另一侧的点。某点是否发生拉伸刚化，与此独立地由一个单独的等效应变决定：只有当等效应变为正（受拉）时，相应主方向的拉伸刚化才可能激活；在零或受压时绝不会激活，与 pj 的值无关。等效应变由所考察主方向上基础材料模型的应变构成，并叠加一个通过泊松比耦合的、基于实际主应变的分量。它不是等效应变 εeq,s,j 或 εeq,c，也不取决于任何特定的配筋层。
所有配筋层的贡献通过 p-范数合并为主方向 k 的两个系数：几何系数 ak 和合并后的容量系数 gk。配筋层的权重为 wj = pj ⋅ aj,k：
因此，容量系数不是取平均，而是采用与几何系数相同的指数 p 加权合并：权重较大的层贡献明显更强，因此哪一层在某点起控制作用可能在荷载步之间变化。只有在合并之后，gk 才被向下限制为 5%，以免单层已经屈服但在几何上仍相关的配筋层将几乎不受力的混凝土层的激活完全拉至零。该下限既不作用于各单个 gj，也不作用于 p-范数内部。主方向 k 的激活系数由这两个系数得出，并被限制在 [0, 1] 之间：
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Δαj,k |
钢筋层 j 对主方向 k 的激活系数的贡献 |
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p |
p-范数聚合器的指数，常用数值 p = 8。注意不要与位置系数 pj 混淆，字母相同，含义不同。 |
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αk |
主方向 k 的激活因子 |
若没有下限且没有限制为 1，则乘积 ak ⋅ gk 等于激活系数贡献公式中各贡献 Δαj,k 的 p-范数。
Quast 和改进 Quast 方法的实现
主方向 k 的目标应力为：
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αk |
主方向激活系数 k |
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εk |
k 方向上的主应变 |
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σtarget,k |
主方向上的目标应力 k |
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σ̂(ε) |
目标应力曲线，按 Quast 或按 Quast 修正，参见相应节 |
对于作为基础的目标应力曲线 σ̂(ε)，有两种变体可供选择，其理论基础已在前面章节中描述。两条曲线均不包含通过容量系数的折减；该折减仅通过 gj 起作用：
| 变体 | 目标应力曲线来自 | 特性 | 推荐 |
|---|---|---|---|
| Quast 方法 | 章节 Quast | 强制方式：既可添加也可移除拉应力，以将平均响应引向目标值 | 用于对给定的平均拉应力-应变行为进行校准时 |
| 改进的 Quast 方法 | 章节 改进的 Quast 方法 | 纯叠加（Δσk ≥ 0）：仅当目标值超过当前混凝土应力时才添加拉应力 | 默认设置（数值上更稳健） |
Quast 方法的实现
在完全激活时，该实现对应于章节 Quast 中所述混凝土应力目标曲线的直接给定。一般情况下，主方向 k 的混凝土应力由目标应力与基础材料模型应力 σc,Basis 的加权叠加得出：
当 ak = 1 且 gk = 1 时，即为目标曲线的直接给定；当 ak = 0 时，基础材料模型的应力保持不变。
改进 Quast 方法的实现
在完全激活时，该实现对应于章节改进的 Quast 方法中的纯叠加增量。在部分激活时，该增量按激活系数的各子系数比例计入混凝土应力。
