Extension de rigidité en traction anisotrope locale
Lors de l'utilisation d'un modèle d'endommagement du béton, le raidissement en traction est représenté par l'extension de rigidité en traction anisotrope locale [4]. Cette méthode remplace, dans le cas d'un modèle d'endommagement anisotrope, l'approche antérieure à effet global : au lieu de décrire une seule fois la zone en traction de la section au moyen d'une courbe contrainte-déformation valable pour l'ensemble de la section, elle superpose à la réponse du matériau de base du béton, en chaque point d'intégration du béton, une contrainte de traction due aux armatures. La correction est calculée de manière locale (point d'intégration par point d'intégration) et anisotrope (séparément dans les deux directions principales de déformation) ; l'angle entre la direction des armatures et la direction principale de traction respective est explicitement pris en compte.
Facteur d'activation
En chaque point d'intégration du béton, les déformations principales ε1, ε2 et l'angle principal de déformation associé θp sont déterminés ; seules les directions de traction (εk > 0) sont pertinentes pour le raidissement en traction. Chaque couche d'armature j contribue au facteur d'activation αk de la direction principale k au moyen de trois facteurs partiels multiplicatifs :
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Δαj,k |
Contribution de la couche d'armature j au facteur d'activation de la direction principale k |
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gj |
Facteur de capacité de la couche d'armature j |
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aj,k |
Facteur d'angle entre la couche d'armature j et la direction principale k |
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pj |
Facteur de position de la couche d'armature j |
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εs,j |
Déformation de la couche d'armature j |
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εc |
Déformation du béton |
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z |
Position sur l'épaisseur de la section (coordonnée de profondeur) |
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Δθ |
Angle entre la direction des armatures et la direction de traction principale |
- gj (facteur de capacité) : diminue avec l'augmentation de la déformation des armatures et devient nul à l'atteinte de la déformation à la limite d'élasticité des armatures.
- aj,k (facteur angulaire) : pour le modèle d'endommagement anisotrope, 1 en cas d'orientation parallèle et 0 en cas d'orientation perpendiculaire des armatures et de la direction principale de traction, le complément pour la direction principale respective opposée. Pour le modèle d'endommagement isotrope, un autre calcul s'applique, sans formation de complément, qui fournit la même valeur pour les deux directions principales et qui peut encore être différent de zéro à exactement 90° en cas de traction biaxiale ; voir l'encadré « Domaine de validité selon le modèle de matériau » ci-dessus.
- pj (facteur de position) : 1 à l'intérieur de la zone d'enrobage de la couche d'armature considérée, décroissant à l'extérieur (compatibilité des déformations entre le béton et les armatures).
Les contributions de toutes les couches d'armature sont combinées au moyen d'un agrégateur de p-norme lissée et limitées à [0, 1] :
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Δαj,k |
Contribution de la couche d'armature j au facteur d'activation de la direction principale k |
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p |
Exposant de l'agrégateur de norme p, valeur habituelle p = 8. Attention à ne pas confondre avec le facteur de position pj, même lettre, autre signification. |
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αk |
Facteur d'activation de la direction principale k |
Courbe de contrainte cible : deux variantes
La contrainte cible dans la direction principale k est obtenue comme suit :
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αk |
Facteur d'activation de la direction principale k |
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εk |
Déformation principale dans la direction k |
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σtarget,k |
Tension cible dans la direction principale k |
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σ̂(ε) |
Courbe de contrainte cible, selon Quast ou selon Quast modifiée, voir la section respective |
Pour la courbe de contrainte cible sous-jacente σ̂(ε), deux variantes sont disponibles au choix, basées sur les deux sous-chapitres suivants :
| Variante | Courbe de contrainte cible issue de | Comportement | Recommandation |
|---|---|---|---|
| selon Quast | Section "Quast" | imposant : peut ajouter aussi bien que supprimer de la contrainte de traction afin de conduire la réponse moyenne vers la valeur cible | pour la calibration sur un comportement moyen contrainte-déformation en traction prédéfini |
| selon Quast modifié | Section "Modifizierter Ansatz nach Quast" | purement additif (Δσk ≥ 0) : n'ajoute de la contrainte de traction que si la valeur cible dépasse la contrainte actuelle du béton | réglage par défaut (numériquement plus robuste) |
Remarques pour les modèles existants
Quast
Ce modèle de prise en compte de la contribution du béton à la traction entre les fissures est basé sur une courbe contrainte-déformation définie du béton dans le domaine de traction (diagramme rectangulaire).
Les hypothèses fondamentales de l'approche de Quast peuvent être résumées comme suit :
- Contribution totale du béton à la traction jusqu'à l'atteinte de la déformation de fissuration du béton εcr ou de la résistance en traction calculée du béton fct,R.
- Contribution rigidifiante réduite du béton dans la zone en traction en fonction de la déformation du béton présente.
- Aucune prise en compte du raidissement en traction après l'apparition du fluage de la barre d'armature déterminante.
En résumé, cela signifie que la résistance en traction calculée fct,R n'est pas une grandeur fixe, mais se réfère à la déformation présente dans la fibre d'acier (en traction) déterminante. La résistance en traction maximale fct,R diminue linéairement jusqu'à zéro à partir de la déformation de fissuration du béton définie εcr jusqu'à l'atteinte de la déformation à la limite d'élasticité de l'acier de béton armé dans la fibre d'acier déterminante. Ceci est réalisé au moyen de la courbe contrainte-déformation illustrée dans l'image suivante dans le domaine de traction du béton (diagramme rectangulaire) et de la détermination d'un facteur de réduction VMB (contribution rigidifiante du béton).
L'image suivante représente schématiquement les états de contrainte pour une sollicitation croissante avec raidissement en traction.
La courbe contrainte-déformation dans le domaine de traction peut être décrite par les équations suivantes :
pour 0 < ε < εcr pour ε > εcr- La plénitude de la parabole dans la première section peut être contrôlée par l'exposant nPR.
- L'exposant doit être ajusté de sorte que la transition du domaine de compression vers le domaine de traction s'effectue autant que possible avec le même module d'élasticité.
Pour la détermination du facteur de réduction VMB, la déformation de la fibre d'acier la plus sollicitée en traction est utilisée. La position du point de référence est illustrée dans le graphique suivant.
Le facteur de réduction VMB diminue avec l'augmentation de la déformation de l'acier. Dans le diagramme du facteur VMB (voir image ci-dessous), on constate que le facteur VMB est réduit exactement à zéro au début du fluage des armatures.
L'évolution du facteur de réduction VMB dans l'état II (ε > εcr) peut être contrôlée par l'exposant nVMB.
- D'après l'expérience, selon Pfeiffer [2], les valeurs nVMB = 1 (linéaire) à nVMB = 2 (parabole) s'appliquent aux éléments sollicités en flexion.
- Quast [3] utilise dans son modèle l'exposant nVMB = 1 (linéaire) et obtient ainsi une bonne concordance lors du recalcul d'essais sur poteaux.
- Selon Pfeiffer [2], des essais de traction pure peuvent être représentés avec nVMB = 2 avec une concordance acceptable.
L'hypothèse d'un diagramme rectangulaire pour la zone en traction fissurée du béton est à considérer comme une aide au calcul. À première vue, il existe de grandes différences avec les courbes contrainte-déformation déterminées expérimentalement sur la face en traction du béton seul.
Lors de l'examen des contraintes présentes dans la section en béton armé sollicitée en flexion, il apparaît que le diagramme rectangulaire est tout à fait plus apte à décrire les déformations et les contraintes en moyenne. Dans une poutre de flexion, un corps de béton se forme entre deux fissures. Celui-ci agit comme une sorte de voile dans lequel des efforts de traction sont progressivement réintroduits par les armatures. Il en résulte une évolution très irrégulière de la contrainte et de la déformation. En moyenne, il est toutefois possible d'établir un plan de déformation avec une évolution parabolique-rectangulaire permettant de saisir la courbure moyenne.
Pour le modèle de Quast, les valeurs de calcul à prendre en compte ont été proposées comme suit
- pour la résistance en traction fct,R
- pour la déformation de fissuration du béton εcr,R
La valeur de calcul de la résistance en traction fct,R est donc inférieure aux prescriptions de l'Eurocode. Ceci s'explique par la description de la loi de travail et par la détermination du facteur de réduction VMB, dans laquelle la contrainte de traction supposée et l'effort de traction qui en résulte ne sont réduits que lentement après dépassement de la déformation de traction. Pour une déformation de 2 ⋅ εcr, il subsiste une contrainte de traction agissante d'environ 0.95 ⋅ fct,R. La réduction de la rigidité peut ainsi être bien prédite en cas de sollicitation en flexion. En cas de sollicitation de traction pure, les valeurs ci-dessus pour fct,R sont trop faibles. Ici, selon Pfeiffer [2], les valeurs de l'EC 2 pour la valeur de calcul de la résistance en traction devraient être prises en compte. Les valeurs recommandées par Quast [3] pour fct,R = 1/20 ⋅ fcm peuvent être atteintes en retenant 60 % des résistances en traction indiquées dans l'EC 2. Avec l'hypothèse fct,R = 0.6 ⋅ fctm, la fissuration de la section est certes prédite trop tôt d'une part. D'autre part, une réduction de la résistance en traction sous charge permanente (env. 70 %) ou une charge temporairement plus élevée (par ex. l'application à court terme de la combinaison d'actions rare), conduisant à une zone en traction endommagée, est déjà prise en compte de cette manière. Les différentes valeurs de calcul pour la zone en traction du béton peuvent être décrites comme suit :
Approche modifiée selon Quast
L'approche modifiée selon Quast utilise la même définition de la résistance en traction calculée fct,R et de la déformation de fissuration du béton εcr,R que l'approche selon Quast (voir section précédente). La différence réside dans le mode d'application à la contrainte du béton, et non dans la courbe cible elle-même :
- Dans l'approche selon Quast, la contrainte du béton dans la zone en traction est directement fixée à la valeur de la courbe cible (σc = σ̂(ε), voir courbe cible dans la section « Quast ») ; cela peut représenter, par rapport à la contrainte du modèle de matériau de base non modifié, aussi bien une augmentation qu'une réduction.
- Dans l'approche modifiée, la courbe cible est au contraire ajoutée de manière purement additive à la contrainte du béton σc,Basis(ε) fournie par le modèle de matériau de base (par ex. modèle d'endommagement).
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σ̂(ε) |
Courbe de contrainte visée, selon Quast ou modifiée selon Quast, voir la section respective |
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σc |
Contrainte du béton dans la zone en traction |
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σc,Basis(ε) |
Contrainte du béton du modèle de matériau de base, par exemple modèle d'endommagement |
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Δσc |
Majoration additionnelle de raidissement en traction sur la contrainte du béton |
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σc |
Contrainte du béton dans la zone en traction |
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σc,Basis(ε) |
Contrainte du béton du modèle de matériau de base, par exemple modèle d'endommagement |
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Δσc |
Majoration additive de rigidité en traction sur la contrainte du béton |
La contrainte du béton ne peut donc être que augmentée par le raidissement en traction, jamais réduite. Cette procédure additive est numériquement plus robuste que la variante imposante selon Quast, car elle ne conduit pas à un saut brusque de rigidité lorsque la contrainte du matériau de base dépasse déjà la courbe cible.
