TS de acordo com Quast e Quast modificado

Quast

Este modelo para considerar a contribuição da tração do betão entre as fissuras baseia-se numa linha tensão-deformação definida do betão na zona de tração (diagrama parábola-retângulo).

As premissas fundamentais da abordagem de Quast podem ser resumidas da seguinte forma:

• Contribuição plena do betão à tração até ser atingida a deformação de fissuração ε_cr,R ou a resistência à tração de cálculo do betão f_ct,R.
• Contribuição reduzida de rigidez do betão na zona de tração em função da deformação existente do betão.
• Sem consideração de rigidez à tração (tension stiffening) após o início da fluência do varão de armadura determinante.

Em resumo, isto significa que a resistência à tração de cálculo f_ct,R não é um valor fixo, mas se refere à deformação existente na fibra de aço (de tração) determinante. A resistência máxima à tração f_ct,R diminui a partir da deformação de fissuração definida ε_cr,R até ser atingida a deformação de cedência do aço de armadura na fibra de aço determinante, de forma linear (para n_VMB = 1), até zero. Isto é alcançado através da linha tensão-deformação na zona de tração do betão (diagrama parábola-retângulo) mostrada na figura seguinte e pela determinação de um fator de redução VMB (contribuição de rigidez do betão).

Na figura seguinte são apresentados esquematicamente os estados de tensão para solicitação crescente com rigidez à tração.

A linha tensão-deformação na zona de tração pode ser descrita pelas seguintes equações:

para 0 < ε < ε_cr,R para ε > ε_cr,R

• A plenitude da parábola no primeiro troço pode ser controlada pelo expoente n_PR.
• O expoente deve ser ajustado de forma que a transição da compressão para a tração ocorra, tanto quanto possível, com o mesmo módulo de elasticidade.

Para a determinação do fator de redução VMB é utilizada a deformação na fibra de aço mais solicitada à tração. A posição do ponto de referência é ilustrada na figura seguinte.

O fator de redução VMB diminui com o aumento da deformação do aço. No diagrama do fator VMB (ver figura abaixo) pode constatar-se que o fator VMB é reduzido exatamente a zero no início da fluência da armadura.

A evolução do fator de redução VMB no Estado II (ε > ε_cr,R) pode ser controlada pelo expoente n_VMB.

• Segundo os valores de experiência de Pfeiffer [2], os valores são n_VMB = 1 (linear) até n_VMB = 2 (parábola) para componentes estruturais solicitados à flexão.
• Quast [3] utiliza no seu modelo o expoente n_VMB = 1 (linear) e alcança com isso boas concordâncias na retrocálculo de ensaios de pilares.
• Segundo Pfeiffer [2], com n_VMB = 2 podem representar-se ensaios de tração pura com concordância aceitável.

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A adoção de um diagrama parábola-retângulo para a zona de tração fissurada do betão deve ser considerada como um auxílio de cálculo. À primeira vista existem grandes diferenças relativamente a linhas tensão-deformação determinadas experimentalmente no lado da tração do betão simples.

Ao analisar as tensões existentes numa secção de betão armado solicitada à flexão, verifica-se que o diagrama parábola-retângulo é, de facto, capaz de descrever melhor as deformações e tensões em termos médios. Numa viga de flexão forma-se entre duas fissuras um corpo de betão. Este atua como uma espécie de painel, no qual são gradualmente reintroduzidas forças de tração através da armadura. Assim, estabelece-se uma evolução muito irregular da tensão e da deformação. Em média, no entanto, pode ser definido um plano de deformação com uma evolução parábola-retângulo, através do qual a curvatura média pode ser considerada.

Para o modelo de Quast foram propostos os seguintes valores de cálculo a adotar

• para a resistência à tração f_ct,R

• para a deformação de fissuração ε_cr,R

O valor de cálculo para a resistência à tração f_ct,R é, portanto, menor do que as prescrições do Eurocódigo. Isto justifica-se pela descrição da linha de trabalho e pela determinação do fator de redução VMB, na qual a tensão de tração assumida e a força de tração resultante são apenas lentamente reduzidas após a ultrapassagem da deformação de tração. Com uma deformação de 2 ⋅ ε_cr resulta ainda uma tensão de tração atuante de cerca de 0.95 ⋅ f_ct,R. Assim, na flexão, a redução da rigidez pode ser bem prevista. Em tração pura, os valores acima mencionados para f_ct,R são demasiado baixos. Aqui devem, segundo Pfeiffer [2], ser adotados os valores do EC 2 para o valor de cálculo da resistência à tração. Os valores recomendados por Quast [3] de f_ct,R = 1/20 ⋅ f_cm podem ser alcançados adotando 60 % das resistências à tração indicadas no EC 2. Com a adoção de f_ct,R = 0.6 ⋅ fctm, por um lado, a fissuração da secção é prevista demasiado cedo. Por outro lado, é, com isso, já considerada uma redução da resistência à tração sob carga permanente (ca. 70 %) ou uma carga temporariamente mais elevada (p. ex. a aplicação de curta duração da combinação de ações rara), que conduz a uma zona de tração danificada. Os vários valores de cálculo para a zona de tração do betão podem ser descritos da seguinte forma:

Abordagem modificada segundo Quast

A abordagem modificada segundo Quast utiliza a mesma resistência à tração de cálculo f_ct,R que a abordagem segundo Quast (ver secção anterior), mas uma curva-alvo σ̂(ε) própria e mais simples: cresce linearmente de zero até à resistência à tração f_ct,R (na deformação f_ct,R/E, com o módulo de elasticidade E do betão) e mantém-se depois constante. Não existe parte parabólica; o expoente n_t e a deformação de fissuração ε_cr,R da abordagem segundo Quast não são utilizados. Além disso, difere a forma de aplicação à tensão do betão:

• Na abordagem segundo Quast, a tensão do betão na zona de tração é definida diretamente no valor da curva-alvo (σ_c = σ̂(ε), ver curva-alvo na secção „Quast"); isto pode significar, relativamente à tensão do modelo de material básico não modificado, tanto um aumento como uma redução.
• Na abordagem modificada, a curva-alvo é, em vez disso, puramente aditiva adicionada à tensão do betão σ_c,Basis(ε) fornecida pelo modelo de material básico (p. ex. modelo de dano).

A tensão do betão pode, portanto, através da rigidez à tração, apenas ser aumentada, nunca reduzida. Este procedimento aditivo é numericamente mais robusto do que a variante impositiva segundo Quast, pois não conduz a um salto abrupto de rigidez quando a tensão do material básico já ultrapassa a curva-alvo.

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Implementação no programa: Extensão local anisotrópica de rigidez à tração

Ao utilizar um modelo de dano do betão, a rigidez à tração é representada pela extensão local anisotrópica de rigidez à tração [4]. Neste caso, é sobreposta à resposta do material básico do betão, em cada ponto de integração do betão, uma tensão de tração relacionada com a armadura, cuja evolução-alvo é determinada, opcionalmente, segundo a abordagem de Quast ou segundo a abordagem modificada de Quast. A correção é calculada localmente (ponto de integração a ponto de integração) e anisotrópica (separadamente nas duas direções principais de deformação); o ângulo entre a direção da armadura e a respetiva direção principal de tração entra explicitamente em consideração.

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Fator de ativação

Em cada ponto de integração do betão são determinadas as deformações principais ε₁, ε₂ e o respetivo ângulo principal de deformação θ_p; apenas as direções de tração são relevantes para a rigidez à tração (ver abaixo, fator de posição). Cada camada de armadura j contribui, através de três fatores parciais multiplicativos, para o fator de ativação α_k da direção principal k:

• g_j (fator de capacidade): diminui com o aumento da deformação da armadura e torna-se zero ao ser atingida a deformação de cedência da armadura; a deformação da armadura e a deformação de cedência são, nesse caso, ambas deslocadas pela deformação de fissuração do betão (ver abaixo, fator de capacidade).
• a_j,k (fator angular): no modelo de dano anisotrópico cos²(Δθ) para a direção principal 1 e sin²(Δθ) para a direção principal 2, sendo Δθ o ângulo entre a camada de armadura e a direção principal 1; a soma de ambos os fatores é sempre 1. No modelo de dano isotrópico aplica-se, em vez disso, a projeção baseada na deformação descrita acima, que fornece o mesmo valor para ambas as direções principais.
• p_j (fator de posição): 1 dentro da zona de influência da camada de armadura considerada (distância d_j ≤ distância de influência c_j, simétrico a ambos os lados da armadura); fora desta zona, o fator já não depende da distância, mas da relação entre as deformações equivalentes na camada de armadura e na camada de betão considerada (ver abaixo, fator de posição).

Deformação equivalente

Nos fatores g_j e p_j não entra a deformação como pura deformação do varão da armadura ou como pura deformação do betão, mas como deformação equivalente, que considera o coeficiente de Poisson μ do betão e o estado de deformação no respetivo local na direção da armadura:

É avaliada duas vezes: no local da camada de armadura j (ε_eq,s,j) e na camada de betão considerada (ε_eq,c), em cada caso no sistema de coordenadas local da mesma camada de armadura j. Sendo ε_∥ a deformação na direção da camada de armadura e ε_⊥ a deformação perpendicular a esta. As direções principais da secção não entram aqui em consideração; ε_∥ não é, portanto, sempre o maior dos dois valores. Desta forma, a redução da capacidade segue a abertura real do betão ao longo da armadura. Estas deformações equivalentes entram na fórmula da contribuição para o fator de ativação.

Fator de capacidade

O fator de capacidade cai de 1 para 0 quando a deformação equivalente da armadura cresce da deformação de fissuração ε_cr,R até à deformação de cedência ε_y,j da armadura; a deformação da armadura e a deformação de cedência ficam assim deslocadas pela deformação de fissuração do betão:

Se ε_y,j ≤ ε_cr,R, então g_j = 0. O expoente n_VMB (entrada „Expoente da parábola do fator de redução após a primeira fissura") é uma entrada de material, que é utilizada de forma igual tanto para o método segundo Quast como para o método segundo Quast modificado e deve ser sempre indicada. A deformação de fissuração ε_cr,R é, no método segundo Quast, a entrada „Deformação de fissuração de cálculo" (ver secção secção "Quast"). Na abordagem modificada segundo Quast, o fator de capacidade é calculado com ε_cr,R = 0, pelo que o deslocamento não se aplica.

O fator de capacidade atua ao longo dos incrementos de carga como um valor de dano: Uma vez que g_j tenha diminuído, este não volta a aumentar em incrementos de carga posteriores. O resultado de um cálculo em vários passos pode, portanto, ser menor do que o valor da fórmula para a deformação do incremento de carga atual, mas nunca maior.

Fator de posição

Dentro da zona de influência da camada de armadura, ou seja, para camadas de betão a uma distância d_j ≤ c_j da camada, aplica-se p_j = 1; a zona situa-se simetricamente a ambos os lados da armadura. Sendo d_j a distância da camada de betão considerada à camada de armadura j e c_j a distância de influência. A distância de influência é igual à distância do centro da camada à superfície da secção mais próxima, c_j = max(0, h/2 − |z_s,j|), com a espessura da secção h e a posição z_s,j da camada de armadura referida à superfície média, e é determinada individualmente para cada camada de armadura. Não é o recobrimento de betão introduzido: conta até ao centro da camada, e camadas mais profundas têm uma distância de influência maior. Se uma camada se situar no centro da secção, então c_j = h/2, e p_j é 1 em toda a secção. Mais afastado da armadura (d_j > c_j), o fator resulta da relação entre as deformações equivalentes no local da armadura e na camada de betão considerada, limitado a [0, 1]:

Esta evolução não é uma função fixa de d_j/c_j: Ambas as deformações equivalentes dependem do estado de deformação atual, pelo que a forma se altera com o caso de carga. O gráfico mostra-a para um exemplo de curva de deformação linear ao longo da espessura da secção.

O fator de posição é calculado para cada ponto da secção e cada camada de armadura, também para pontos do lado oposto da secção. Se num ponto existe efetivamente rigidez à tração, decide, de forma independente, uma deformação equivalente própria: Apenas com deformação equivalente positiva (tração) pode a rigidez à tração estar ativa para a respetiva direção principal; com zero ou compressão nunca, independentemente do valor de p_j. A deformação equivalente é formada a partir da deformação do modelo de material básico na direção principal considerada, sobreposta a uma parte acoplada através do coeficiente de Poisson com base nas deformações principais reais. Não é a deformação equivalente ε_eq,s,j ou ε_eq,c e não depende de nenhuma camada de armadura específica.

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As contribuições de todas as camadas de armadura são agrupadas através de normas-p em dois fatores da direção principal k: o fator geométrico a_k e o fator de capacidade agrupado g_k. Os pesos das camadas de armadura são w_j = p_j ⋅ a_j,k:

O fator de capacidade não é, portanto, calculado em média, mas agrupado ponderado com o mesmo expoente p do fator geométrico: Camadas com maior peso entram de forma claramente mais forte, e qual a camada determinante num ponto pode, por isso, alterar-se entre incrementos de carga. Apenas após o agrupamento é que g_k é limitado inferiormente a 5 %, para que uma única camada de armadura já em fluência, mas geometricamente relevante, não retire totalmente a ativação a uma camada de betão pouco solicitada. O limite inferior não atua nem sobre os g_j individuais nem dentro da norma-p. O fator de ativação da direção principal k resulta de ambos os fatores e é limitado a [0, 1]:

Sem o limite inferior e sem a limitação a 1, o produto a_k ⋅ g_k é igual à norma-p das contribuições Δα_j,k da fórmula da contribuição para o fator de ativação.

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Implementação segundo Quast e Quast modificado

A tensão-alvo na direção principal k resulta em:

Para a curva de tensão-alvo subjacente σ̂(ε) existem duas variantes à escolha, cujos fundamentos teóricos são descritos nas secções anteriores. Ambas as curvas não contêm qualquer redução através do fator de capacidade; esta atua exclusivamente através de g_j:

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Implementação segundo Quast

Com ativação plena, a implementação corresponde à prescrição direta da curva-alvo para a tensão do betão descrita na secção „Quast". De forma geral, a tensão do betão na direção principal k resulta como sobreposição ponderada da tensão-alvo e da tensão σ_c,Basis do modelo de material básico:

Com a_k = 1 e g_k = 1, trata-se da prescrição direta da curva-alvo; com a_k = 0, a tensão do modelo de material básico mantém-se inalterada.

Implementação segundo Quast modificado

Com ativação plena, a implementação corresponde ao acréscimo puramente aditivo da secção „Abordagem modificada segundo Quast". Com ativação parcial, o acréscimo entra proporcionalmente, de acordo com os fatores parciais do fator de ativação, na tensão do betão.

Limites do método

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