TS según Quast y Quast modificado

Quast

Este modelo para captar la contribución del hormigón a tracción entre las fisuras se basa en una curva tensión-deformación definida del hormigón en la zona de tracción (diagrama parábola-rectángulo).

Las hipótesis básicas del enfoque de Quast pueden resumirse de la siguiente manera:

• Contribución total del hormigón a tracción hasta alcanzar la deformación de fisuración ε_cr,R o la resistencia a tracción de cálculo del hormigón f_ct,R.
• Contribución rigidez a tracción reducida del hormigón en la zona de tracción según la deformación existente del hormigón.
• No se considera rigidez a tracción después del inicio de la fluencia de la barra de armadura determinante.

En resumen, esto significa que la resistencia a tracción de cálculo f_ct,R no es una magnitud fija, sino que se refiere a la deformación existente en la fibra de acero (a tracción) determinante. La resistencia máxima a tracción f_ct,R disminuye linealmente desde la deformación de fisuración definida ε_cr,R hasta alcanzar la deformación correspondiente al límite elástico del acero de armadura en la fibra de acero determinante (con n_VMB = 1) hasta cero. Esto se consigue mediante la curva tensión-deformación mostrada en la siguiente imagen en la zona de tracción del hormigón (diagrama parábola-rectángulo) y la determinación de un factor de reducción VMB (contribución rigidez a tracción del hormigón).

En la siguiente imagen se representan esquemáticamente los estados de tensión para un esfuerzo creciente con rigidez a tracción.

La curva tensión-deformación en la zona de tracción puede describirse con las siguientes ecuaciones:

para 0 < ε < ε_cr,R para ε > ε_cr,R

• La plenitud de la parábola en el primer tramo puede controlarse mediante el exponente n_PR.
• El exponente debería ajustarse de modo que la transición del área de presión a la zona de tracción se realice en lo posible con el mismo módulo de elasticidad.

Para determinar el factor de reducción VMB se utiliza la deformación en la fibra de acero sometida a mayor tracción. La posición del punto de referencia se ilustra en el gráfico siguiente.

El factor de reducción VMB disminuye con el aumento de la deformación del acero. En el diagrama del factor VMB (véase la imagen inferior) se observa que el factor VMB se reduce exactamente a cero al inicio de la fluencia de la armadura.

La evolución del factor de reducción VMB en estado II (ε > ε_cr,R) puede controlarse mediante el exponente n_VMB.

• Los valores empíricos según Pfeiffer [2] son n_VMB = 1 (lineal) hasta n_VMB = 2 (parábola) para elementos sometidos a flexión.
• Quast [3] utiliza en su modelo el exponente n_VMB = 1 (lineal) y así obtiene buenas concordancias en la recalculación de ensayos de pilares.
• Según Pfeiffer [2], con n_VMB = 2 pueden representarse ensayos de tracción pura con una concordancia aceptable.

La suposición de un diagrama parábola-rectángulo para la zona de tracción fisurada del hormigón debe considerarse como una ayuda de cálculo. A primera vista existen grandes diferencias con las curvas tensión-deformación determinadas experimentalmente en el lado de tracción del hormigón puro.

Al examinar las tensiones existentes en la sección de hormigón armado sometida a flexión, se muestra que el diagrama parábola-rectángulo es, en efecto, bastante capaz de describir las deformaciones y tensiones en promedio. En una viga a flexión se forma un cuerpo de hormigón entre dos fisuras. Este actúa como una especie de muro, en el que se reintroducen gradualmente fuerzas de tracción a través de la armadura. De este modo se produce una evolución muy irregular de tensión y deformación. En promedio, sin embargo, puede crearse un plano de deformación con una evolución parábola-rectángulo, mediante el cual puede captarse la curvatura media.

Para el modelo de Quast se propusieron los siguientes valores de cálculo a aplicar

• para la resistencia a tracción f_ct,R

• para la deformación de fisuración ε_cr,R

El valor de cálculo de la resistencia a tracción f_ct,R es, por tanto, menor que las especificaciones del Eurocódigo. Esto se justifica por la descripción de la línea de trabajo y la determinación del factor de reducción VMB, en la que la tensión de tracción supuesta y la fuerza de tracción resultante después de superar la deformación de tracción solo se reducen lentamente. Con una deformación de 2 ⋅ ε_cr resulta todavía una tensión de tracción actuante de aproximadamente 0.95 ⋅ f_ct,R. De este modo, en caso de flexión, la reducción de la rigidez puede predecirse bien. En caso de tracción pura, los valores indicados para f_ct,R son demasiado bajos. Aquí deberían aplicarse, según Pfeiffer [2], los valores del EC 2 para el valor de cálculo de la resistencia a tracción. Los valores recomendados por Quast [3] de f_ct,R = 1/20 ⋅ f_cm pueden alcanzarse aplicando el 60 % de las resistencias a tracción indicadas en el EC 2. Al aplicar f_ct,R = 0.6 ⋅ fctm, por una parte se predice demasiado pronto la fisuración de la sección. Por otra parte, con ello ya se tiene en cuenta una reducción de la resistencia a tracción bajo carga continua (aprox. 70 %) o una carga temporalmente mayor (p. ej., la aplicación a corto plazo de la combinación de acciones rara), que conduce a una zona de tracción dañada. Los valores de cálculo individuales para la zona de tracción del hormigón pueden describirse como sigue:

Enfoque modificado según Quast

El enfoque modificado según Quast utiliza la misma resistencia a tracción de cálculo f_ct,R que el enfoque según Quast (véase la sección anterior), pero una curva objetivo σ̂(ε) propia y más sencilla: crece linealmente desde cero hasta la resistencia a tracción f_ct,R (con la deformación f_ct,R/E, siendo E el módulo de elasticidad del hormigón) y a partir de entonces permanece constante. No hay parte parabólica; no se utilizan el exponente n_t ni la deformación de fisuración ε_cr,R del enfoque según Quast. Además, la forma de aplicación a la tensión del hormigón difiere:

• En el enfoque según Quast, la tensión del hormigón en la zona de tracción se fija directamente al valor de la curva objetivo (σ_c = σ̂(ε), véase la curva objetivo en la sección „Quast"); esto puede significar, en comparación con la tensión del modelo de material básico no modificado, tanto un aumento como una reducción.
• En el enfoque modificado, la curva objetivo se aplica en su lugar puramente aditivamente a la tensión del hormigón σ_c,Basis(ε) suministrada por el modelo de material básico (p. ej., modelo de daño).

La tensión del hormigón puede, por tanto, mediante la rigidez a tracción solo aumentarse, nunca reducirse. Este procedimiento aditivo es numéricamente más robusto que la variante impositiva según Quast, ya que no conduce a un salto brusco de rigidez cuando la tensión del material básico ya supera la curva objetivo.

Implementación en el programa: Extensión local anisótropa de rigidez a tracción

Al utilizar un modelo de daño del hormigón, la rigidez a tracción se representa mediante la extensión local anisótropa de rigidez a tracción [4]. En ello, se superpone a la respuesta del material básico del hormigón en cada punto de integración del hormigón una tensión de tracción debida a la armadura, cuya evolución objetivo se determina opcionalmente según el enfoque de Quast o según el enfoque modificado de Quast. La corrección se calcula localmente (punto de integración por punto de integración) y anisotrópicamente (por separado en ambas direcciones principales de deformación); el ángulo entre la dirección de armadura y la respectiva dirección principal de tracción entra explícitamente en el cálculo.

Factor de activación

En cada punto de integración del hormigón se determinan las deformaciones principales ε₁, ε₂ y el ángulo de deformación principal correspondiente θ_p; solo las direcciones de tracción son relevantes para la rigidez a tracción (véase más abajo, factor de posición). Cada capa de la armadura j contribuye mediante tres subfactores multiplicativos al factor de activación α_k de la dirección principal k:

• g_j (factor de capacidad): disminuye con el aumento de la deformación de la armadura y se hace cero al alcanzar la deformación correspondiente al límite elástico de la armadura; la deformación de la armadura y la deformación correspondiente al límite elástico se desplazan en cada caso por la deformación de fisuración del hormigón (véase más abajo, factor de capacidad).
• a_j,k (factor angular): en el modelo de daño anisotrópico cos²(Δθ) para la dirección principal 1 y sin²(Δθ) para la dirección principal 2, siendo Δθ el ángulo entre la capa de la armadura y la dirección principal 1; la suma de ambos factores es siempre 1. En el modelo de daño isotrópico, se aplica en su lugar la proyección basada en deformaciones descrita anteriormente, que proporciona el mismo valor para ambas direcciones principales.
• p_j (factor de posición): 1 dentro de la zona de influencia de la capa de la armadura considerada (distancia d_j ≤ distancia de influencia c_j, simétrica a ambos lados de la armadura); fuera de esta zona, el factor ya no depende de la distancia, sino de la relación entre las deformaciones equivalentes en la capa de la armadura y en la capa de hormigón considerada (véase más abajo, factor de posición).

Deformación equivalente

En los factores g_j y p_j, la deformación no entra como deformación pura de barra de la armadura o como deformación pura del hormigón, sino como deformación equivalente, que tiene en cuenta el coeficiente de Poisson μ del hormigón y el estado de deformación en el lugar respectivo en la dirección de la armadura:

Se evalúa dos veces: en el lugar de la capa de la armadura j (ε_eq,s,j) y en la capa de hormigón considerada (ε_eq,c), en cada caso en el sistema de coordenadas local de la misma capa de la armadura j. En ello, ε_∥ es la deformación en la dirección de la capa de la armadura y ε_⊥ la deformación perpendicular a ella. Las direcciones principales de la sección no entran aquí; por tanto, ε_∥ no siempre es el mayor de los dos valores. De este modo, la reducción de la capacidad sigue la apertura real del hormigón a lo largo de la armadura. Estas deformaciones equivalentes entran en la fórmula de la contribución al factor de activación.

Factor de capacidad

El factor de capacidad cae de 1 a 0 cuando la deformación equivalente de la armadura crece desde la deformación de fisuración ε_cr,R hasta la deformación correspondiente al límite elástico ε_y,j de la armadura; la deformación de la armadura y la deformación correspondiente al límite elástico quedan, por tanto, desplazadas por la deformación de fisuración del hormigón:

Si ε_y,j ≤ ε_cr,R, entonces g_j = 0. El exponente n_VMB (entrada „exponente de la parábola del factor de reducción tras la primera fisura") es una entrada de material que se utiliza por igual para el procedimiento según Quast y para el procedimiento según Quast modificado y que debe indicarse siempre. La deformación de fisuración ε_cr,R es, en el procedimiento según Quast, la entrada „deformación de fisuración de cálculo" (véase la sección sección "Quast"). En el enfoque modificado según Quast se calcula con ε_cr,R = 0 para el factor de capacidad; el desplazamiento se suprime.

El factor de capacidad actúa a través de los pasos de carga como un valor de daño: una vez que g_j ha disminuido, no vuelve a aumentar en pasos de carga posteriores. El resultado de un cálculo multiescalón puede, por tanto, ser menor que el valor de la fórmula para la deformación del paso de carga actual, pero nunca mayor.

Factor de posición

Dentro de la zona de influencia de la capa de la armadura, es decir, para capas de hormigón con una distancia d_j ≤ c_j de la capa, se aplica p_j = 1; la zona está simétrica a ambos lados de la armadura. En ello, d_j es la distancia de la capa de hormigón considerada a la capa de la armadura j y c_j la distancia de influencia. La distancia de influencia es igual a la distancia del centro de la capa a la superficie de sección más próxima, c_j = max(0, h/2 − |z_s,j|), con el espesor de sección h y la posición z_s,j de la capa de la armadura referida a la superficie media, y se determina individualmente para cada capa de la armadura. No es el recubrimiento de hormigón introducido: se cuenta hasta el centro de la capa, y las capas más profundas tienen una mayor distancia de influencia. Si una capa se encuentra en el centro de la sección, c_j = h/2, y p_j es 1 en toda la sección. A mayor distancia de la armadura (d_j > c_j), el factor resulta de la relación entre las deformaciones equivalentes en el lugar de la armadura y en la capa de hormigón considerada, limitada a [0, 1]:

Esta evolución no es una función fija de d_j/c_j: ambas deformaciones equivalentes dependen del estado de deformación actual, es decir, la forma cambia con el caso de carga. El gráfico la muestra para una evolución lineal de deformación ejemplar a lo largo del espesor de sección.

El factor de posición se calcula para cada punto de la sección y cada capa de la armadura, también para puntos en el lado opuesto de la sección. Si en un punto actúa en absoluto rigidez a tracción lo decide, independientemente de ello, una deformación equivalente propia: solo con una deformación equivalente positiva (tracción) puede estar activa la rigidez a tracción para la dirección principal respectiva, con cero o compresión nunca, independientemente del valor de p_j. La deformación equivalente se forma a partir de la deformación del modelo de material básico en la dirección principal considerada, superpuesta con una parte acoplada mediante el coeficiente de Poisson sobre la base de las deformaciones principales reales. No es la deformación equivalente ε_eq,s,j o ε_eq,c y no depende de ninguna capa de la armadura específica.

Las contribuciones de todas las capas de la armadura se fusionan mediante normas-p en dos factores de la dirección principal k: el factor geométrico a_k y el factor de capacidad fusionado g_k. Los pesos de las capas de la armadura son w_j = p_j ⋅ a_j,k:

El factor de capacidad no se promedia, por tanto, sino que se fusiona ponderado con el mismo exponente p que el factor geométrico: las capas con mayor peso entran considerablemente más fuerte, y qué capa es determinante en un punto puede, por tanto, cambiar entre pasos de carga. Solo después de la fusión se limita g_k por abajo al 5 %, para que una única capa de la armadura ya fluyente pero geométricamente relevante no tire la activación en una capa de hormigón apenas solicitada completamente a cero. El contorno inferior no actúa ni sobre los g_j individuales ni dentro de la norma-p. El factor de activación de la dirección principal k resulta de ambos factores y se limita a [0, 1]:

Sin el contorno inferior y sin la limitación a 1, el producto a_k ⋅ g_k es igual a la norma-p de las contribuciones Δα_j,k de la fórmula de la contribución al factor de activación.

Implementación en Quast y Quast modificado

La tensión objetivo en la dirección principal k resulta como:

Para la curva de tensión objetivo subyacente σ̂(ε) hay dos variantes a elegir, cuyos fundamentos teóricos se describen en las secciones anteriores. Ambas curvas no contienen ninguna reducción mediante el factor de capacidad; esta actúa exclusivamente a través de g_j:

Implementación en Quast

Con activación total, la implementación corresponde a la prescripción directa de la curva objetivo para la tensión del hormigón descrita en la sección „Quast". En general, la tensión del hormigón en la dirección principal k resulta como superposición ponderada de la tensión objetivo y la tensión σ_c,Basis del modelo de material básico:

Con a_k = 1 y g_k = 1, esta es la prescripción directa de la curva objetivo; con a_k = 0, la tensión del modelo de material básico permanece inalterada.

Implementación en Quast modificado

Con activación total, la implementación corresponde al suplemento puramente aditivo de la sección „Enfoque modificado según Quast". Con activación parcial, el suplemento entra proporcionalmente, según los subfactores del factor de activación, en la tensión del hormigón.

Límites del procedimiento