TS nach Quast und Quast modifiziert

Quast

Dieses Modell zur Erfassung der Mitwirkung des Betons auf Zug zwischen den Rissen basiert auf einer definierten Spannungs-Dehnungs-Linie des Betons im Zugbereich (Parabel-Rechteck-Diagramm).

Die grundlegenden Annahmen des Ansatzes von Quast können folgendermaßen zusammengefasst werden:

• Volle Mitwirkung des Betons auf Zug bis zum Erreichen der Rissdehnung ε_cr,R bzw. der rechnerischen Betonzugfestigkeit f_ct,R.
• Reduzierte versteifende Mitwirkung des Betons in der Zugzone entsprechend der vorhandenen Betondehnung.
• Kein Ansatz von Tension Stiffening nach dem Einsetzen des Fließens des maßgebenden Bewehrungsstabes.

Zusammenfassend bedeutet dies, dass die rechnerische Zugfestigkeit f_ct,R keine fixe Größe ist, sondern sich auf die vorhandene Dehnung in der maßgebenden Stahl(zug)faser bezieht. Die maximale Zugfestigkeit f_ct,R nimmt ab der definierten Rissdehnung ε_cr,R bis zum Erreichen der Fließdehnung des Bewehrungsstahls in der maßgebenden Stahlfaser linear (bei n_VMB = 1) auf null ab.
Erreicht wird dies durch die im nachfolgenden Bild gezeigte Spannungs-Dehnungs-Linie im Zugbereich des Betons (Parabel-Rechteck-Diagramm) und die Ermittlung eines Reduktionsfaktors VMB (Versteifende Mitwirkung des Betons).

Im nächsten Bild sind schematisch die Spannungszustände für steigende Beanspruchung mit Tension Stiffening dargestellt.

Die Spannungs-Dehnungs-Linie im Zugbereich kann mit folgenden Gleichungen beschrieben werden:

für 0 < ε < ε_cr,R
für ε > ε_cr,R

• Die Völligkeit der Parabel im ersten Abschnitt kann durch den Exponenten n_PR gesteuert werden.
• Der Exponent sollte dafür so angepasst werden, dass der Übergang vom Druck- in den Zugbereich möglichst mit gleichem E-Modul erfolgt.

Zur Bestimmung des Reduktionsfaktors VMB wird die Dehnung an der am stärksten gezogenen Stahlfaser verwendet. Die Lage des Referenzpunkts wird in der anschließenden Grafik veranschaulicht.

Der Abminderungsfaktor VMB nimmt mit steigender Stahldehnung ab. Im Diagramm für den Faktor VMB (siehe Bild unterhalb) ist ersichtlich, dass der Faktor VMB genau zum Fließbeginn der Bewehrung auf null reduziert wird.

Der Verlauf für den Abminderungsfaktor VMB im Zustand II (ε > ε_cr,R) kann über den Exponenten n_VMB gesteuert werden.

• Erfahrungswerte sind nach Pfeiffer [2] die Werte n_VMB = 1 (linear) bis n_VMB = 2 (Parabel) für biegebeanspruchte Bauteile.
• Quast [3] benutzt in seinem Modell den Exponenten n_VMB = 1 (linear) und erzielt damit gute Übereinstimmungen bei der Nachrechnung von Stützenversuchen.
• Nach Pfeiffer [2] lassen sich mit n_VMB = 2 reine Zugversuche mit akzeptabler Übereinstimmung abbilden.

Die Annahme eines Parabel-Rechteck-Diagramms für die gerissene Betonzugzone ist als Rechenhilfe zu betrachten. Auf den ersten Blick bestehen große Unterschiede zu experimentell ermittelten Spannungs-Dehnungs-Linien auf der Zugseite des reinen Betons.

Bei der Betrachtung der vorhandenen Spannungen im biegebeanspruchten Stahlbetonquerschnitt zeigt sich, dass das Parabel-Rechteck-Diagramm durchaus besser in der Lage ist, die Dehnungen und Spannungen im Mittel zu beschreiben.
Bei einem Biegebalken bildet sich zwischen zwei Rissen ein Betonkörper. Dieser wirkt als eine Art Scheibe, in die durch die Bewehrung allmählich wieder Zugkräfte eingeleitet werden. Dadurch stellt sich ein sehr unregelmäßiger Verlauf von Spannung und Dehnung ein. Im Mittel lässt sich jedoch eine Dehnungsebene mit einem Parabel-Rechteck-Verlauf erstellen, durch den die mittlere Verkrümmung erfasst werden kann.

Für das Modell von Quast wurden die anzusetzenden Rechenwerte folgendermaßen vorgeschlagen

• für die Zugfestigkeit f_ct,R

• für die Rissdehnung ε_cr,R

Der Rechenwert für die Zugfestigkeit f_ct,R ist somit kleiner als die Vorgaben des Eurocodes. Dies ist begründet durch die Beschreibung der Arbeitslinie und der Ermittlung des Reduktionsfaktors VMB, bei der die angenommene Zugspannung und die resultierende Zugkraft nach Überschreitung der Zugdehnung nur langsam abgemindert werden. Bei einer Dehnung von 2 ⋅ ε_cr ergibt sich noch eine wirkende Zugspannung von etwa 0.95 ⋅ f_ct,R. Damit kann bei Biegebeanspruchung die Reduzierung der Steifigkeit gut vorhergesagt werden. Bei einer reinen Zugbeanspruchung sind die o. g. Werte für f_ct,R zu gering. Hier sollten nach Pfeiffer [2] die Werte aus EC 2 für den Rechenwert der Zugfestigkeit angesetzt werden.
Die von Quast [3] empfohlenen Werte für f_ct,R = 1/20 ⋅ f_cm sind durch den Ansatz von 60 % der in EC 2 angegebenen Zugfestigkeiten zu erreichen. Bei dem Ansatz von f_ct,R = 0.6 ⋅ fctm wird einerseits das Aufreißen des Querschnittes zu früh vorhergesagt. Andererseits ist aber dadurch eine Reduktion der Zugfestigkeit unter Dauerlast (ca. 70 %) oder eine temporär höhere Last (z. B. das kurzzeitige Aufbringen der seltenen Einwirkungskombination), die zu einer geschädigten Zugzone führt, bereits berücksichtigt.
Die einzelnen Rechenwerte für die Zugzone des Betons lassen sich wie folgt beschreiben:

Modifizierter Ansatz nach Quast

Der modifizierte Ansatz nach Quast verwendet dieselbe rechnerische Zugfestigkeit f_ct,R wie der Ansatz nach Quast (siehe vorherigen Abschnitt), aber eine eigene, einfachere Zielkurve σ̂(ε): Sie steigt linear von null bis zur Zugfestigkeit f_ct,R an (bei der Dehnung f_ct,R/E, mit dem Elastizitätsmodul E des Betons) und bleibt danach konstant. Es gibt keinen Parabelanteil; der Exponent n_t und die Rissdehnung ε_cr,R des Ansatzes nach Quast werden nicht verwendet. Zusätzlich unterscheidet sich die Art der Anwendung auf die Betonspannung:

• Beim Ansatz nach Quast wird die Betonspannung in der Zugzone direkt auf den Wert der Zielkurve gesetzt (σ_c = σ̂(ε), siehe Zielkurve im Abschnitt „Quast"); dies kann gegenüber der Spannung des unmodifizierten Grundmaterialmodells sowohl eine Erhöhung als auch eine Abminderung bedeuten.
• Beim modifizierten Ansatz wird die Zielkurve stattdessen rein additiv auf die vom Grundmaterialmodell (z. B. Schädigungsmodell) gelieferte Betonspannung σ_c,Basis(ε) aufgeschlagen.

Die Betonspannung kann durch die Zugversteifung also nur erhöht, nie abgemindert werden. Dieses additive Vorgehen ist numerisch robuster als die erzwingende Variante nach Quast, da es nicht zu einem abrupten Steifigkeitssprung führt, wenn die Grundmaterialspannung die Zielkurve bereits überschreitet.

Umsetzung im Programm: Lokale anisotrope Zugversteifungserweiterung

Bei Verwendung eines Betonschädigungsmodells wird die Zugversteifung durch die lokale anisotrope Zugversteifungserweiterung abgebildet [4]. Dabei wird der Grundmaterialantwort des Betons an jedem Betonintegrationspunkt eine bewehrungsbedingte Zugspannung überlagert, deren Zielverlauf wahlweise nach dem Ansatz nach Quast oder nach dem modifizierten Ansatz nach Quast bestimmt wird. Die Korrektur wird lokal (integrationspunktweise) und anisotrop (getrennt in beiden Hauptdehnungsrichtungen) berechnet; der Winkel zwischen Bewehrungsrichtung und jeweiliger Hauptzugrichtung geht dabei explizit ein.

Aktivierungsfaktor

An jedem Betonintegrationspunkt werden die Hauptdehnungen ε₁, ε₂ und der zugehörige Hauptdehnungswinkel θ_p ermittelt; nur Zugrichtungen sind für die Zugversteifung relevant (siehe unten, Positionsfaktor). Jede Bewehrungslage j trägt über drei multiplikative Teilfaktoren zum Aktivierungsfaktor α_k der Hauptrichtung k bei:

• g_j (Kapazitätsfaktor): sinkt mit zunehmender Dehnung der Bewehrung und wird beim Erreichen der Fließdehnung der Bewehrung null; Bewehrungs- und Fließdehnung werden dabei jeweils um die Rissdehnung des Betons verschoben (siehe unten, Kapazitätsfaktor).
• a_j,k (Winkelfaktor): beim anisotropen Schädigungsmodell cos²(Δθ) für die Hauptrichtung 1 und sin²(Δθ) für die Hauptrichtung 2, wobei Δθ der Winkel zwischen Bewehrungslage und Hauptrichtung 1 ist; die Summe beider Faktoren ist stets 1. Beim isotropen Schädigungsmodell gilt stattdessen die oben beschriebene dehnungsbasierte Projektion, die für beide Hauptrichtungen denselben Wert liefert.
• p_j (Positionsfaktor): 1 innerhalb der Einflusszone der betrachteten Bewehrungslage (Abstand d_j ≤ Einflussabstand c_j, symmetrisch zu beiden Seiten der Bewehrung); außerhalb dieser Zone hängt der Faktor nicht mehr vom Abstand ab, sondern vom Verhältnis der äquivalenten Dehnungen an der Bewehrungslage und an der betrachteten Betonschicht (siehe unten, Positionsfaktor).

Äquivalente Dehnung

In den Faktoren g_j und p_j geht die Dehnung nicht als reine Stabdehnung der Bewehrung beziehungsweise als reine Betondehnung ein, sondern als äquivalente Dehnung, die die Querdehnzahl μ des Betons und den Dehnungszustand am jeweiligen Ort in Richtung der Bewehrung berücksichtigt:

Sie wird zweimal ausgewertet: am Ort der Bewehrungslage j (ε_eq,s,j) und in der betrachteten Betonschicht (ε_eq,c), jeweils im lokalen Koordinatensystem derselben Bewehrungslage j. Dabei ist ε_∥ die Dehnung in Richtung der Bewehrungslage und ε_⊥ die Dehnung senkrecht dazu. Die Hauptrichtungen des Querschnitts gehen hier nicht ein; ε_∥ ist daher nicht immer der größere der beiden Werte. Dadurch folgt der Abbau der Kapazität der tatsächlichen Öffnung des Betons entlang der Bewehrung. Diese äquivalenten Dehnungen gehen in die Formel des Aktivierungsfaktor-Beitrags ein.

Kapazitätsfaktor

Der Kapazitätsfaktor fällt von 1 auf 0, wenn die äquivalente Dehnung der Bewehrung von der Rissdehnung ε_cr,R bis zur Fließdehnung ε_y,j der Bewehrung anwächst; Bewehrungs- und Fließdehnung sind damit um die Rissdehnung des Betons verschoben:

Gilt ε_y,j ≤ ε_cr,R, ist g_j = 0. Der Exponent n_VMB (Eingabe „Exponent der Reduktionsfaktor-Parabel nach Erstriss") ist eine Materialeingabe, die für das Verfahren nach Quast und für das Verfahren nach Quast modifiziert gleichermaßen verwendet wird und immer anzugeben ist. Die Rissdehnung ε_cr,R ist beim Verfahren nach Quast die Eingabe „Rechnerische Rissdehnung" (siehe Abschnitt Abschnitt "Quast"). Beim modifizierten Ansatz nach Quast wird für den Kapazitätsfaktor mit ε_cr,R = 0 gerechnet, die Verschiebung entfällt.

Der Kapazitätsfaktor wirkt über die Laststufen wie ein Schädigungswert: Hat g_j einmal abgenommen, steigt er in späteren Laststufen nicht wieder an. Das Ergebnis einer Mehrschrittrechnung kann daher kleiner sein als der Wert der Formel für die Dehnung der aktuellen Laststufe, aber nie größer.

Positionsfaktor

Innerhalb der Einflusszone der Bewehrungslage, das heißt für Betonschichten mit einem Abstand d_j ≤ c_j von der Lage, gilt p_j = 1; die Zone liegt symmetrisch zu beiden Seiten der Bewehrung. Dabei ist d_j der Abstand der betrachteten Betonschicht von der Bewehrungslage j und c_j der Einflussabstand. Der Einflussabstand ist gleich dem Abstand der Lagenmitte von der nächstgelegenen Querschnittsoberfläche, c_j = max(0, h/2 − |z_s,j|), mit der Querschnittsdicke h und der Lage z_s,j der Bewehrungslage bezogen auf die Mittelfläche, und wird für jede Bewehrungslage einzeln bestimmt. Er ist nicht die eingegebene Betondeckung: Er zählt bis zur Lagenmitte, und tiefer liegende Lagen haben einen größeren Einflussabstand. Liegt eine Lage in der Querschnittsmitte, ist c_j = h/2, und p_j ist über den gesamten Querschnitt 1. Weiter von der Bewehrung entfernt (d_j > c_j) ergibt sich der Faktor aus dem Verhältnis der äquivalenten Dehnungen am Ort der Bewehrung und in der betrachteten Betonschicht, begrenzt auf [0, 1]:

Dieser Verlauf ist keine feste Funktion von d_j/c_j: Beide äquivalenten Dehnungen hängen vom aktuellen Dehnungszustand ab, die Form ändert sich also mit dem Lastfall. Die Grafik zeigt ihn für einen beispielhaften linearen Dehnungsverlauf über die Querschnittsdicke.

Der Positionsfaktor wird für jeden Punkt des Querschnitts und jede Bewehrungslage berechnet, auch für Punkte auf der gegenüberliegenden Querschnittsseite. Ob an einem Punkt überhaupt Zugversteifung wirkt, entscheidet davon unabhängig eine eigene Vergleichsdehnung: Nur bei positiver Vergleichsdehnung (Zug) kann die Zugversteifung für die jeweilige Hauptrichtung aktiv sein, bei null oder Druck nie, unabhängig vom Wert von p_j. Die Vergleichsdehnung wird aus der Dehnung des Grundmaterialmodells in der betrachteten Hauptrichtung gebildet, überlagert mit einem über die Querdehnzahl gekoppelten Anteil auf Basis der tatsächlichen Hauptdehnungen. Sie ist nicht die äquivalente Dehnung ε_eq,s,j oder ε_eq,c und hängt von keiner bestimmten Bewehrungslage ab.

Die Beiträge aller Bewehrungslagen werden über p-Normen zu zwei Faktoren der Hauptrichtung k zusammengeführt: dem geometrischen Faktor a_k und dem zusammengeführten Kapazitätsfaktor g_k. Die Gewichte der Bewehrungslagen sind w_j = p_j ⋅ a_j,k:

Der Kapazitätsfaktor wird also nicht gemittelt, sondern mit demselben Exponenten p wie der geometrische Faktor gewichtet zusammengeführt: Lagen mit größerem Gewicht gehen deutlich stärker ein, und welche Lage an einem Punkt maßgebend ist, kann sich deshalb zwischen Laststufen ändern. Erst nach dem Zusammenführen wird g_k nach unten auf 5 % begrenzt, damit eine einzelne, bereits fließende, geometrisch aber relevante Bewehrungslage die Aktivierung an einer kaum beanspruchten Betonschicht nicht vollständig auf null zieht. Die Untergrenze wirkt weder auf die einzelnen g_j noch innerhalb der p-Norm. Der Aktivierungsfaktor der Hauptrichtung k ergibt sich aus beiden Faktoren und wird auf [0, 1] begrenzt:

Ohne die Untergrenze und ohne die Begrenzung auf 1 ist das Produkt a_k ⋅ g_k gleich der p-Norm der Beiträge Δα_j,k aus der Formel für den Aktivierungsfaktor-Beitrag.

Umsetzung bei Quast und Quast modifiziert

Die Zielspannung in Hauptrichtung k ergibt sich zu:

Für die zugrunde liegende Zielspannungskurve σ̂(ε) stehen zwei Varianten zur Wahl, deren theoretische Grundlagen in den vorhergehenden Abschnitten beschrieben sind. Beide Kurven enthalten keine Abminderung durch den Kapazitätsfaktor; diese wirkt ausschließlich über g_j:

Umsetzung bei Quast

Bei voller Aktivierung entspricht die Umsetzung der im Abschnitt „Quast" beschriebenen direkten Vorgabe der Zielkurve für die Betonspannung. Allgemein ergibt sich die Betonspannung in Hauptrichtung k als gewichtete Überlagerung der Zielspannung und der Spannung σ_c,Basis des Grundmaterialmodells:

Bei a_k = 1 und g_k = 1 ist das die direkte Vorgabe der Zielkurve, bei a_k = 0 bleibt die Spannung des Grundmaterialmodells unverändert.

Umsetzung bei Quast modifiziert

Bei voller Aktivierung entspricht die Umsetzung dem rein additiven Zuschlag des Abschnitts „Modifizierter Ansatz nach Quast". Bei teilweiser Aktivierung geht der Zuschlag anteilig, entsprechend den Teilfaktoren des Aktivierungsfaktors, in die Betonspannung ein.

Grenzen des Verfahrens