Lokale anisotrope Zugversteifungserweiterung
Bei Verwendung eines Betonschädigungsmodells wird die Zugversteifung durch die lokale anisotrope Zugversteifungserweiterung abgebildet [4]. Dieses Verfahren tritt bei anisotropem Schädigungsmodell an die Stelle des bisherigen, global wirkenden Ansatzes: Statt die Zugzone des Querschnitts einmalig durch eine für den gesamten Querschnitt geltende Spannungs-Dehnungslinie zu beschreiben, überlagert es der Grundmaterialantwort des Betons an jedem Betonintegrationspunkt eine bewehrungsbedingte Zugspannung. Die Korrektur wird lokal (integrationspunktweise) und anisotrop (getrennt in beiden Hauptdehnungsrichtungen) berechnet; der Winkel zwischen Bewehrungsrichtung und jeweiliger Hauptzugrichtung geht dabei explizit ein.
Aktivierungsfaktor
An jedem Betonintegrationspunkt werden die Hauptdehnungen ε1, ε2 und der zugehörige Hauptdehnungswinkel θp ermittelt; nur Zugrichtungen (εk > 0) sind für die Zugversteifung relevant. Jede Bewehrungslage j trägt über drei multiplikative Teilfaktoren zum Aktivierungsfaktor αk der Hauptrichtung k bei:
|
Δαj,k |
Beitrag der Bewehrungslage j zum Aktivierungsfaktor der Hauptrichtung k |
|
gj |
Kapazitätsfaktor der Bewehrungslage j |
|
aj,k |
Winkelfaktor zwischen Bewehrungslage j und Hauptrichtung k |
|
pj |
Positionsfaktor der Bewehrungslage j |
|
εs,j |
Dehnung der Bewehrungslage j |
|
εc |
Betondehnung |
|
z |
Lage über die Querschnittsdicke (Tiefenkoordinate) |
|
Δθ |
Winkel zwischen Bewehrungsrichtung und Hauptzugrichtung |
- gj (Kapazitätsfaktor): sinkt mit zunehmender Bewehrungsdehnung und wird beim Erreichen der Fließdehnung der Bewehrung null.
- aj,k (Winkelfaktor): beim anisotropen Schädigungsmodell 1 bei paralleler, 0 bei senkrechter Ausrichtung von Bewehrung und Hauptzugrichtung, für die jeweils andere Hauptrichtung das Komplement. Beim isotropen Schädigungsmodell gilt eine andere Berechnung ohne Komplementbildung, die für beide Hauptrichtungen denselben Wert liefert und bei genau 90° unter zweiachsigem Zug noch von null verschieden sein kann; siehe Banner „Geltungsbereich nach Materialmodell" oben.
- pj (Positionsfaktor): 1 innerhalb der Betondeckungszone der betrachteten Bewehrungslage, außerhalb abnehmend (Dehnungsverträglichkeit zwischen Beton und Bewehrung).
Die Beiträge aller Bewehrungslagen werden über einen geglätteten p-Norm-Aggregator kombiniert und auf [0, 1] begrenzt:
|
Δαj,k |
Beitrag der Bewehrungslage j zum Aktivierungsfaktor der Hauptrichtung k |
|
p |
Exponent des p-Norm-Aggregators, üblicher Wert p = 8. Achtung, nicht zu verwechseln mit dem Positionsfaktor pj, gleicher Buchstabe, andere Bedeutung. |
|
αk |
Aktivierungsfaktor der Hauptrichtung k |
Zielspannungskurve: zwei Varianten
Die Zielspannung in Hauptrichtung k ergibt sich zu:
|
αk |
Aktivierungsfaktor der Hauptrichtung k |
|
εk |
Hauptdehnung in Richtung k |
|
σtarget,k |
Zielspannung in Hauptrichtung k |
|
σ̂(ε) |
Zielspannungskurve, nach Quast oder nach Quast modifiziert, siehe jeweiligen Abschnitt |
Für die zugrunde liegende Zielspannungskurve σ̂(ε) stehen zwei Varianten zur Wahl, die auf den beiden nachfolgenden Unterkapiteln basieren:
| Variante | Zielspannungskurve aus | Verhalten | Empfehlung |
|---|---|---|---|
| nach Quast | Abschnitt "Quast" | erzwingend: kann Zugspannung sowohl hinzufügen als auch entfernen, um die mittlere Antwort auf den Zielwert zu führen | bei Kalibrierung auf ein vorgegebenes mittleres Zugspannungs-Dehnungsverhalten |
| nach Quast modifiziert | Abschnitt "Modifizierter Ansatz nach Quast" | rein additiv (Δσk ≥ 0): fügt Zugspannung nur hinzu, wenn der Zielwert die aktuelle Betonspannung übersteigt | Standardeinstellung (numerisch robuster) |
Hinweise für Bestandsmodelle
Quast
Dieses Modell zur Erfassung der Mitwirkung des Betons auf Zug zwischen den Rissen basiert auf einer definierten Spannungs-Dehnungs-Linie des Betons im Zugbereich (Parabel-Rechteck-Diagramm).
Die grundlegenden Annahmen des Ansatzes von Quast können folgendermaßen zusammengefasst werden:
- Volle Mitwirkung des Betons auf Zug bis zum Erreichen der Rissdehnung εcr bzw. der rechnerischen Betonzugfestigkeit fct,R.
- Reduzierte versteifende Mitwirkung des Betons in der Zugzone entsprechend der vorhandenen Betondehnung.
- Kein Ansatz von Tension Stiffening nach dem Einsetzen des Fließens des maßgebenden Bewehrungsstabes.
Zusammenfassend bedeutet dies, dass die rechnerische Zugfestigkeit fct,R keine fixe Größe ist, sondern sich auf die vorhandene Dehnung in der maßgebenden Stahl(zug)faser bezieht. Die maximale Zugfestigkeit fct,R nimmt ab der definierten Rissdehnung εcr bis zum Erreichen der Fließdehnung des Bewehrungsstahls in der maßgebenden Stahlfaser linear auf null ab.
Erreicht wird dies durch die im nachfolgenden Bild gezeigte Spannungs-Dehnungs-Linie im Zugbereich des Betons (Parabel-Rechteck-Diagramm) und die Ermittlung eines Reduktionsfaktors VMB (Versteifende Mitwirkung des Betons).
Im nächsten Bild sind schematisch die Spannungszustände für steigende Beanspruchung mit Tension Stiffening dargestellt.
Die Spannungs-Dehnungs-Linie im Zugbereich kann mit folgenden Gleichungen beschrieben werden:
für ε > εcr
- Die Völligkeit der Parabel im ersten Abschnitt kann durch den Exponenten nPR gesteuert werden.
- Der Exponent sollte dafür so angepasst werden, dass der Übergang vom Druck- in den Zugbereich möglichst mit gleichem E-Modul erfolgt.
Zur Bestimmung des Reduktionsfaktors VMB wird die Dehnung an der am stärksten gezogenen Stahlfaser verwendet. Die Lage des Referenzpunkts ist der anschließenden Grafik veranschaulicht.
Der Abminderungsfaktor VMB nimmt mit steigender Stahldehnung ab. Im Diagramm für den Faktor VMB (siehe Bild unterhalb) ist ersichtlich, dass der Faktor VMB genau zum Fließbeginn der Bewehrung auf null reduziert wird.
Der Verlauf für den Abminderungsfaktor VMB im Zustand II (ε > εcr) kann über den Exponenten nVMB gesteuert werden.
- Erfahrungswerte sind nach Pfeiffer [2] die Werte nVMB = 1 (linear) bis nVMB = 2 (Parabel) für biegebeanspruchte Bauteile.
- Quast [3] benutzt in seinem Modell den Exponenten nVMB = 1 (linear) und erzielt damit gute Übereinstimmungen bei der Nachrechnung von Stützenversuchen.
- Nach Pfeiffer [2] lassen sich mit nVMB = 2 reine Zugversuche mit akzeptabler Übereinstimmung abbilden.
Die Annahme eines Parabel-Rechteck-Diagramms für die gerissene Betonzugzone ist als Rechenhilfe zu betrachten. Auf den ersten Blick bestehen große Unterschiede zu experimentell ermittelten Spannungs-Dehnungs-Linien auf der Zugseite des reinen Betons.
Bei der Betrachtung der vorhandenen Spannungen im biegebeanspruchten Stahlbetonquerschnitt zeigt sich, dass das Parabel-Rechteck-Diagramm durchaus besser in der Lage ist, die Dehnungen und Spannungen im Mittel zu beschreiben.
Bei einem Biegebalken bildet sich zwischen zwei Rissen ein Betonkörper. Dieser wirkt als eine Art Scheibe, in die durch die Bewehrung allmählich wieder Zugkräfte eingeleitet werden. Dadurch stellt sich ein sehr unregelmäßiger Verlauf von Spannung und Dehnung ein. Im Mittel lässt sich jedoch eine Dehnungsebene mit einem Parabel-Rechteck-Verlauf erstellen, durch den die mittlere Verkrümmung erfasst werden kann.
Für das Modell von Quast wurden die anzusetzenden Rechenwerte folgendermaßen vorgeschlagen
- für die Zugfestigkeit fct,R
- für die Rissdehnung εcr,R
Der Rechenwert für die Zugfestigkeit fct,R ist somit kleiner als die Vorgaben des Eurocodes. Dies ist begründet durch die Beschreibung der Arbeitslinie und der Ermittlung des Reduktionsfaktors VMB, bei der die angenommene Zugspannung und die resultierende Zugkraft nach Überschreitung der Zugdehnung nur langsam abgemindert werden. Bei einer Dehnung von 2 ⋅ εcr ergibt sich noch eine wirkende Zugspannung von etwa 0.95 ⋅ fct,R. Damit kann bei Biegebeanspruchung die Reduzierung der Steifigkeit gut vorhergesagt werden. Bei einer reinen Zugbeanspruchung sind die o. g. Werte für fct,R zu gering. Hier sollten nach Pfeiffer [2] die Werte aus EC 2 für den Rechenwert der Zugfestigkeit angesetzt werden.
Die von Quast [3] empfohlenen Werte für fct,R = 1/20 ⋅ fcm sind durch den Ansatz von 60 % der in EC 2 angegebenen Zugfestigkeiten zu erreichen. Bei dem Ansatz von fct,R = 0.6 ⋅ fctm wird einerseits das Aufreißen des Querschnittes zu früh vorhergesagt. Andererseits ist aber dadurch eine Reduktion der Zugfestigkeit unter Dauerlast (ca. 70 %) oder eine temporär höhere Last (z. B. das kurzzeitige Aufbringen der seltenen Einwirkungskombination), die zu einer geschädigten Zugzone führt, bereits berücksichtigt.
Die einzelnen Rechenwerte für die Zugzone des Betons lassen sich wie folgt beschreiben:
Modifizierter Ansatz nach Quast
Der modifizierte Ansatz nach Quast verwendet dieselbe Definition der rechnerischen Zugfestigkeit fct,R und der Rissdehnung εcr,R wie der Ansatz nach Quast (siehe vorherigen Abschnitt). Der Unterschied liegt in der Art der Anwendung auf die Betonspannung, nicht in der Zielkurve selbst:
- Beim Ansatz nach Quast wird die Betonspannung in der Zugzone direkt auf den Wert der Zielkurve gesetzt (σc = σ̂(ε), siehe Zielkurve im Abschnitt „Quast"); dies kann gegenüber der Spannung des unmodifizierten Grundmaterialmodells sowohl eine Erhöhung als auch eine Abminderung bedeuten.
- Beim modifizierten Ansatz wird die Zielkurve stattdessen rein additiv auf die vom Grundmaterialmodell (z. B. Schädigungsmodell) gelieferte Betonspannung σc,Basis(ε) aufgeschlagen.
|
σ̂(ε) |
Zielspannungskurve, nach Quast oder nach Quast modifiziert, siehe jeweiligen Abschnitt |
|
σc |
Betonspannung in der Zugzone |
|
σc,Basis(ε) |
Betonspannung des Grundmaterialmodells, zum Beispiel Schädigungsmodell |
|
Δσc |
Additiver Zugversteifungs-Zuschlag auf die Betonspannung |
|
σc |
Betonspannung in der Zugzone |
|
σc,Basis(ε) |
Betonspannung des Grundmaterialmodells, zum Beispiel Schädigungsmodell |
|
Δσc |
Additiver Zugversteifungs-Zuschlag auf die Betonspannung |
Die Betonspannung kann durch die Zugversteifung also nur erhöht, nie abgemindert werden. Dieses additive Vorgehen ist numerisch robuster als die erzwingende Variante nach Quast, da es nicht zu einem abrupten Steifigkeitssprung führt, wenn die Grundmaterialspannung die Zielkurve bereits überschreitet.
