TS secondo Quast e Quast modificato

Nell'estensione locale anisotropa della rigidezza a trazione, il fattore di capacità g_j per ogni strato di armatura svolge un ruolo analogo. Esso utilizza lo stesso esponente n_VMB e, nel metodo secondo Quast, la deformazione di fessurazione ε_cr,R. La curva obiettivo σ̂(ε) stessa viene valutata nel programma senza questa riduzione; la riduzione entra quindi solo una volta, tramite g_j. Vedere sezione "Implementazione nel programma".#/

L'ipotesi di un diagramma parabola-rettangolo per la zona di trazione fessurata del calcestruzzo è da considerare un ausilio di calcolo. A prima vista esistono grandi differenze rispetto alle curve tensione-deformazione determinate sperimentalmente sul lato di trazione del solo calcestruzzo.

Tension Stiffening secondo Quast – Confronto tra modello e test di laboratorio

Nell'esame delle tensioni presenti nella sezione in calcestruzzo armato sollecitata a flessione si mostra che il diagramma parabola-rettangolo è in effetti in grado di descrivere in media meglio le deformazioni e le tensioni. In una trave inflessa si forma tra due fessure un corpo di calcestruzzo. Esso agisce come una sorta di pannello nel quale tramite l'armatura vengono nuovamente introdotte gradualmente forze di trazione. Di conseguenza si sviluppa un andamento molto irregolare di tensione e deformazione. In media è tuttavia possibile costruire un piano di deformazione con un andamento parabola-rettangolo, mediante il quale può essere rilevata la curvatura media.

Stato tensionale esistente del calcestruzzo armato in flessione

Per il modello di Quast sono stati proposti nel seguente modo i valori di calcolo da applicare

• per la resistenza a trazione f_ct,R

• per la deformazione di fessurazione ε_cr,R

Il valore di calcolo per la resistenza a trazione f_ct,R è quindi inferiore alle prescrizioni dell'Eurocodice. Ciò è giustificato dalla descrizione della linea di lavoro e dalla determinazione del fattore di riduzione VMB, in cui la tensione di trazione assunta e la risultante forza di trazione dopo il superamento della deformazione di trazione vengono ridotte solo lentamente. Con una deformazione di 2 ⋅ ε_cr risulta ancora una tensione di trazione attiva di circa 0.95 ⋅ f_ct,R. In questo modo, in caso di sollecitazione a flessione, la riduzione della rigidezza può essere ben prevista. In caso di pura trazione, i valori sopra indicati per f_ct,R sono troppo bassi. In questo caso dovrebbero essere applicati secondo Pfeiffer [2] i valori dell'EC 2 per il valore di calcolo della resistenza a trazione. I valori raccomandati da Quast [3] per f_ct,R = 1/20 ⋅ f_cm possono essere raggiunti con l'applicazione del 60 % delle resistenze a trazione indicate nell'EC 2. Con l'applicazione di f_ct,R = 0.6 ⋅ fctm da un lato viene prevista troppo presto la fessurazione della sezione. D'altro canto, però, viene già considerata in questo modo una riduzione della resistenza a trazione sotto carico continuo (ca. 70 %) oppure un carico temporaneamente più elevato (ad es. l'applicazione di breve durata della combinazione rara di azioni) che conduce a una zona in trazione danneggiata. I singoli valori di calcolo per la zona di trazione del calcestruzzo possono essere descritti come segue:

Approccio modificato secondo Quast

L'approccio modificato secondo Quast utilizza la stessa resistenza a trazione calcolata f_ct,R dell'approccio secondo Quast (vedere sezione precedente), ma una propria curva obiettivo σ̂(ε) più semplice: essa cresce linearmente da zero fino alla resistenza a trazione f_ct,R (alla deformazione f_ct,R/E, con il modulo di elasticità E del calcestruzzo) e rimane poi costante. Non esiste una componente parabolica; l'esponente n_t e la deformazione di fessurazione ε_cr,R dell'approccio secondo Quast non vengono utilizzati. Inoltre differisce la modalità di applicazione sulla tensione del calcestruzzo:

• Nell'approccio secondo Quast la tensione del calcestruzzo nella zona in trazione viene impostata direttamente sul valore della curva obiettivo (σ_c = σ̂(ε), vedere curva obiettivo nella sezione „Quast"); ciò può significare rispetto alla tensione del modello di materiale di base non modificato sia un aumento sia una riduzione.
• Nell'approccio modificato la curva obiettivo viene invece puramente additivamente sommata alla tensione del calcestruzzo σ_c,Basis(ε) fornita dal modello di materiale di base (ad es. modello di danno).

La tensione del calcestruzzo può quindi essere aumentata dalla rigidezza a trazione, mai ridotta. Questo procedimento additivo è numericamente più robusto della variante coercitiva secondo Quast, poiché non conduce a un improvviso salto di rigidezza quando la tensione del materiale di base supera già la curva obiettivo.

#banner@text#L'implementazione di entrambe le varianti nel programma, inclusa la ponderazione tramite il fattore di attivazione, è descritta nella sezione sezione "Implementazione nel programma". L'approccio modificato secondo Quast è ivi raccomandato come impostazione predefinita.#/

Implementazione nel programma: estensione locale anisotropa della rigidezza a trazione

Nell'utilizzo di un modello di danno del calcestruzzo, la rigidezza a trazione viene rappresentata tramite l'estensione locale anisotropa della rigidezza a trazione [4]. In tal modo la risposta del materiale di base del calcestruzzo in ogni punto di integrazione del calcestruzzo viene sovrapposta da una tensione di trazione dovuta all'armatura, il cui andamento obiettivo viene determinato a scelta secondo l'approccio secondo Quast o secondo l'approccio modificato secondo Quast. La correzione viene calcolata localmente (punto di integrazione per punto di integrazione) e anisotropamente (separatamente in entrambe le direzioni principali di deformazione); l'angolo tra la direzione dell'armatura e la rispettiva direzione principale di trazione entra in modo esplicito.

#banner@text#Ambito di validità secondo il tipo di elemento: Per gli elementi di superficie (conchiglie, piastre) con sezione stratificata, la valutazione avviene come descritto in modo completamente anisotropo, separatamente in entrambe le direzioni principali di deformazione. Per gli elementi asta e per gli elementi solidi il procedimento non è attualmente disponibile. Anche la simulazione esplicita dell'armatura tramite il tipo di asta „Barra di armatura" non è attualmente inclusa; viene considerata esclusivamente l'armatura longitudinale come armatura della superficie e come armatura a barre.#/

#banner@text#Ambito di validità secondo il modello di materiale: Nell'utilizzo di un modello di danno anisotropo del calcestruzzo ("Danno anisotropo") la rigidezza a trazione viene rappresentata come sopra descritto tramite l'estensione locale anisotropa della rigidezza a trazione. Per il modello di danno isotropo ("Danno isotropo", Isotropic Damage), al posto del fattore angolare a_j,k viene utilizzata una proiezione delle due attuali deformazioni principali di trazione sulla direzione dell'armatura, con gli stessi pesi geometrici cos²(Δθ) rispettivamente sin²(Δθ); il risultato viene normalizzato sulla maggiore delle due deformazioni principali di trazione e fornisce un unico valore di attivazione, che viene utilizzato in modo identico per entrambe le direzioni principali. Il fattore angolare non viene quindi eliminato del tutto, ma convertito in una proiezione basata sulle deformazioni, poiché un modello di danno isotropo stesso non fornisce alcuna informazione su quale direzione sia effettivamente fessurata. I vantaggi dell'approccio, tra cui il migliorato comportamento di convergenza, restano preservati.#/

Fattore di attivazione

In ogni punto di integrazione del calcestruzzo vengono determinate le deformazioni principali ε₁, ε₂ e il relativo angolo di deformazione principale θ_p; solo le direzioni di trazione sono rilevanti per la rigidezza a trazione (vedere sotto, fattore di posizione). Ogni strato di armatura j contribuisce tramite tre fattori parziali moltiplicativi al fattore di attivazione α_k della direzione principale k:

• g_j (fattore di capacità): decresce con l'aumentare della deformazione dell'armatura e diventa zero al raggiungimento della tensione di snervamento dell'armatura; la deformazione dell'armatura e la tensione di snervamento vengono in tal caso ciascuna spostate della deformazione di fessurazione del calcestruzzo (vedere sotto, fattore di capacità).
• a_j,k (fattore angolare): nel modello di danno anisotropo cos²(Δθ) per la direzione principale 1 e sin²(Δθ) per la direzione principale 2, dove Δθ è l'angolo tra lo strato di armatura e la direzione principale 1; la somma di entrambi i fattori è sempre 1. Nel modello di danno isotropo vale invece la proiezione basata sulle deformazioni sopra descritta, che fornisce per entrambe le direzioni principali lo stesso valore.
• p_j (fattore di posizione): 1 all'interno della zona di influenza dello strato di armatura considerato (distanza d_j ≤ distanza di influenza c_j, simmetricamente su entrambi i lati dell'armatura); al di fuori di questa zona il fattore non dipende più dalla distanza, ma dal rapporto delle deformazioni equivalenti nello strato di armatura e nello strato di calcestruzzo considerato (vedere sotto, fattore di posizione).

Deformazione equivalente

Nei fattori g_j e p_j la deformazione non entra come pura deformazione dell'asta dell'armatura rispettivamente come pura deformazione del calcestruzzo, ma come deformazione equivalente, che considera il coefficiente di Poisson μ del calcestruzzo e lo stato di deformazione nel rispettivo punto in direzione dell'armatura:

Essa viene valutata due volte: nel punto dello strato di armatura j (ε_eq,s,j) e nello strato di calcestruzzo considerato (ε_eq,c), ciascuna nel sistema di coordinate locale dello stesso strato di armatura j. In tal caso ε_∥ è la deformazione in direzione dello strato di armatura e ε_⊥ la deformazione perpendicolare ad essa. Le direzioni principali della sezione non entrano qui; ε_∥ non è quindi sempre il maggiore dei due valori. In questo modo il decadimento della capacità segue l'effettiva apertura del calcestruzzo lungo l'armatura. Queste deformazioni equivalenti entrano nella formula del contributo al fattore di attivazione.

Fattore di capacità

Il fattore di capacità cade da 1 a 0 quando la deformazione equivalente dell'armatura cresce dalla deformazione di fessurazione ε_cr,R fino alla tensione di snervamento ε_y,j dell'armatura; la deformazione dell'armatura e la tensione di snervamento sono quindi spostate della deformazione di fessurazione del calcestruzzo:

Se vale ε_y,j ≤ ε_cr,R, è g_j = 0. L'esponente n_VMB (input „Esponente della parabola del fattore di riduzione dopo la prima fessura") è un input di materiale, che viene utilizzato in modo identico per il metodo secondo Quast e per il metodo secondo Quast modificato e deve essere sempre indicato. La deformazione di fessurazione ε_cr,R è nel metodo secondo Quast l'input „Deformazione di fessurazione calcolata" (vedere sezione sezione "Quast"). Nell'approccio modificato secondo Quast il fattore di capacità viene calcolato con ε_cr,R = 0, lo spostamento è omesso.

Il fattore di capacità agisce sugli incrementi di carico come un valore di danno: se g_j è diminuito una volta, non aumenta nuovamente negli incrementi di carico successivi. Il risultato di un calcolo a più passi può quindi essere inferiore al valore della formula per la deformazione dell'incremento di carico attuale, ma mai superiore.

Fattore di posizione

All'interno della zona di influenza dello strato di armatura, cioè per gli strati di calcestruzzo con una distanza d_j ≤ c_j dallo strato, vale p_j = 1; la zona è simmetrica su entrambi i lati dell'armatura. In tal caso d_j è la distanza dello strato di calcestruzzo considerato dallo strato di armatura j e c_j la distanza di influenza. La distanza di influenza è pari alla distanza del centro dello strato dalla superficie della sezione più vicina, c_j = max(0, h/2 − |z_s,j|), con lo spessore della sezione h e la posizione z_s,j dello strato di armatura riferita alla superficie mediana, e viene determinata separatamente per ogni strato di armatura. Essa non è il copriferro inserito: conta fino al centro dello strato, e gli strati più profondi hanno una distanza di influenza maggiore. Se uno strato si trova al centro della sezione, è c_j = h/2, e p_j è 1 sull'intera sezione. Più lontano dall'armatura (d_j > c_j) il fattore risulta dal rapporto delle deformazioni equivalenti nel punto dell'armatura e nello strato di calcestruzzo considerato, limitato a [0, 1]:

Questo andamento non è una funzione fissa di d_j/c_j: entrambe le deformazioni equivalenti dipendono dallo stato di deformazione attuale, la forma cambia quindi con il caso di carico. La grafica lo mostra per un andamento di deformazione lineare esemplificativo attraverso lo spessore della sezione.

Il fattore di posizione viene calcolato per ogni punto della sezione e per ogni strato di armatura, anche per i punti sul lato opposto della sezione. Se in un punto agisce affatto la rigidezza a trazione, viene deciso indipendentemente da ciò da una propria deformazione di confronto: solo con deformazione di confronto positiva (trazione) la rigidezza a trazione può essere attiva per la rispettiva direzione principale, a zero o a pressione mai, indipendentemente dal valore di p_j. La deformazione di confronto viene formata dalla deformazione del modello di materiale di base nella direzione principale considerata, sovrapposta con una quota accoppiata tramite il coefficiente di Poisson sulla base delle effettive deformazioni principali. Essa non è la deformazione equivalente ε_eq,s,j o ε_eq,c e non dipende da alcuno strato di armatura specifico.

#banner@text#Due diverse misure di deformazione: I fattori g_j e p_j utilizzano una deformazione lungo l'asse di uno specifico strato di armatura. Se un punto è sollecitato a trazione viene invece risposto con una deformazione nelle direzioni principali della sezione e vale indipendentemente dallo strato di armatura.#/

Tension Stiffening | Fattore di attivazione: Capacità, Angolo e Posizione

I contributi di tutti gli strati di armatura vengono fusi tramite norme p in due fattori della direzione principale k: il fattore geometrico a_k e il fattore di capacità fuso g_k. I pesi degli strati di armatura sono w_j = p_j ⋅ a_j,k:

Il fattore di capacità non viene quindi mediato, ma fuso in modo ponderato con lo stesso esponente p del fattore geometrico: gli strati con peso maggiore entrano in modo decisamente più forte, e quale strato sia determinante in un punto può quindi cambiare tra gli incrementi di carico. Solo dopo la fusione g_k viene limitato inferiormente al 5 %, affinché un singolo strato di armatura già snervato ma geometricamente rilevante non porti completamente a zero l'attivazione in uno strato di calcestruzzo appena sollecitato. Il limite inferiore non agisce né sui singoli g_j né all'interno della norma p. Il fattore di attivazione della direzione principale k risulta da entrambi i fattori e viene limitato a [0, 1]:

Senza il limite inferiore e senza la limitazione a 1, il prodotto a_k ⋅ g_k è pari alla norma p dei contributi Δα_j,k dalla formula per il contributo al fattore di attivazione.

#banner@text#Se nella direzione principale di trazione determinante non è presente armatura o non è presente armatura compatibile con la direzione (α_k = 0), la correzione della rigidezza a trazione per questa direzione è omessa del tutto; il materiale di base fornisce allora il comportamento a trazione invariato.#/

Implementazione per Quast e Quast modificato

La tensione obiettivo nella direzione principale k risulta come:

Per la curva di tensione obiettivo sottostante σ̂(ε) sono disponibili due varianti, i cui fondamenti teorici sono descritti nelle sezioni precedenti. Entrambe le curve non contengono alcuna riduzione tramite il fattore di capacità; questa agisce esclusivamente tramite g_j: