TS według Quast i Quast zmodyfikowane

Quast

Model ten służący do uwzględnienia udziału betonu przy rozciąganiu pomiędzy rysami opiera się na zdefiniowanej krzywej naprężenie-odkształcenie betonu w strefie rozciągania (wykres paraboliczno-prostokątny).

Podstawowe założenia podejścia Quasta można podsumować następująco:

• Pełny udział betonu przy rozciąganiu do osiągnięcia odkształcenia rysy ε_cr,R oraz obliczeniowej wytrzymałości betonu na rozciąganie f_ct,R.
• Zredukowany usztywniający udział betonu w strefie rozciągania odpowiadający występującemu odkształceniu betonu.
• Brak uwzględnienia usztywnienia przy rozciąganiu po wystąpieniu uplastycznienia decydującego pręta zbrojeniowego.

Podsumowując, oznacza to, że obliczeniowa wytrzymałość na rozciąganie f_ct,R nie jest wartością stałą, lecz odnosi się do występującego odkształcenia w decydującej włóknie stalowym (rozciąganym). Maksymalna wytrzymałość na rozciąganie f_ct,R maleje od zdefiniowanego odkształcenia rysy ε_cr,R do osiągnięcia odkształcenia odpowiadającego granicy plastyczności stali zbrojeniowej w decydującej włóknie stalowej liniowo (przy n_VMB = 1) do zera. Osiąga się to za pomocą pokazanej na poniższym obrazie krzywej naprężenie-odkształcenie w strefie rozciągania betonu (wykres paraboliczno-prostokątny) oraz wyznaczenia współczynnika redukcji VMB (usztywniający udział betonu).

Na kolejnym obrazie schematycznie przedstawiono stany naprężeń dla rosnącego obciążenia z usztywnieniem przy rozciąganiu.

Krzywą naprężenie-odkształcenie w strefie rozciągania można opisać następującymi równaniami:

dla 0 < ε < ε_cr,R dla ε > ε_cr,R

• Pełność paraboli w pierwszym odcinku może być sterowana za pomocą wykładnika n_PR.
• Wykładnik powinien zostać tak dobrany, aby przejście od zakresu ściskania do zakresu rozciągania następowało możliwie przy tym samym module sprężystości.

Do wyznaczenia współczynnika redukcji VMB wykorzystuje się odkształcenie w najbardziej rozciąganej włóknie stalowej. Położenie punktu odniesienia zilustrowano na poniższej grafice.

Współczynnik redukcji VMB maleje wraz ze wzrostem odkształcenia stali. Na wykresie współczynnika VMB (patrz obraz poniżej) widać, że współczynnik VMB zostaje zredukowany dokładnie do zera przy początku uplastycznienia zbrojenia.

Przebieg współczynnika redukcji VMB w stanie II (ε > ε_cr,R) może być sterowany za pomocą wykładnika n_VMB.

• Wartości empiryczne według Pfeiffera [2] to n_VMB = 1 (liniowo) do n_VMB = 2 (parabola) dla elementów obciążonych zginaniem.
• Quast [3] stosuje w swoim modelu wykładnik n_VMB = 1 (liniowo) i osiąga w ten sposób dobrą zgodność przy ponownym przeliczeniu prób słupów.
• Według Pfeiffera [2] przy n_VMB = 2 można odwzorować czyste próby rozciągania z akceptowalną zgodnością.

Przyjęcie wykresu paraboliczno-prostokątnego dla zarysowanej strefy rozciągania betonu należy traktować jako pomoc obliczeniową. Na pierwszy rzut oka istnieją duże różnice w stosunku do eksperymentalnie wyznaczonych krzywych naprężenie-odkształcenie po stronie rozciągania czystego betonu.

Przy analizie występujących naprężeń w zginanym przekroju żelbetowym okazuje się, że wykres paraboliczno-prostokątny jest zdecydowanie lepiej w stanie opisać odkształcenia i naprężenia w ujęciu średnim. W belce zginanej pomiędzy dwiema rysami tworzy się korpus betonowy. Działa on jako rodzaj tarczy, do której poprzez zbrojenie stopniowo ponownie wprowadzane są siły rozciągające. Wskutek tego powstaje bardzo nieregularny przebieg naprężenia i odkształcenia. W ujęciu średnim można jednak utworzyć płaszczyznę odkształceń z paraboliczno-prostokątnym przebiegiem, za pomocą której można uchwycić średnie zakrzywienie.

Dla modelu Quasta zaproponowano następujące wartości obliczeniowe

• dla wytrzymałości na rozciąganie f_ct,R

• dla odkształcenia rysy ε_cr,R

Wartość obliczeniowa wytrzymałości na rozciąganie f_ct,R jest zatem mniejsza niż wytyczne Eurokodu. Uzasadnione jest to opisem linii pracy oraz wyznaczeniem współczynnika redukcji VMB, przy którym przyjęte naprężenie rozciągające i wynikająca z niego siła rozciągająca po przekroczeniu odkształcenia rozciągającego są redukowane tylko powoli. Przy odkształceniu 2 ⋅ ε_cr pozostaje jeszcze działające naprężenie rozciągające około 0.95 ⋅ f_ct,R. Dzięki temu przy obciążeniu zginaniem redukcja sztywności może być dobrze przewidziana. Przy czystym rozciąganiu powyższe wartości dla f_ct,R są zbyt małe. Tutaj według Pfeiffera [2] należy przyjąć wartości z EC 2 dla wartości obliczeniowej wytrzymałości na rozciąganie. Zalecane przez Quasta [3] wartości dla f_ct,R = 1/20 ⋅ f_cm można osiągnąć przyjmując 60 % podanych w EC 2 wytrzymałości na rozciąganie. Przy przyjęciu f_ct,R = 0.6 ⋅ fctm z jednej strony pękanie przekroju jest przewidywane zbyt wcześnie. Z drugiej strony uwzględniona jest w ten sposób już redukcja wytrzymałości na rozciąganie przy obciążeniu stałym (ok. 70 %) lub tymczasowo wyższe obciążenie (np. krótkotrwałe wprowadzenie rzadkiej kombinacji oddziaływań), które prowadzi do uszkodzonej strefy rozciągania. Poszczególne wartości obliczeniowe dla strefy rozciągania betonu można opisać następująco:

Zmodyfikowane podejście według Quasta

Zmodyfikowane podejście według Quasta wykorzystuje tę samą obliczeniową wytrzymałość na rozciąganie f_ct,R co podejście według Quasta (patrz poprzednia sekcja), ale własną, prostszą krzywą docelową σ̂(ε): Rośnie ona liniowo od zera do wytrzymałości na rozciąganie f_ct,R (przy odkształceniu f_ct,R/E, z modułem sprężystości E betonu) i po tym pozostaje stała. Nie ma części parabolicznej; wykładnik n_t oraz odkształcenie rysy ε_cr,R podejścia według Quasta nie są używane. Ponadto różni się sposób zastosowania do naprężenia w betonie:

• W podejściu według Quasta naprężenie w betonie w strefie rozciągania jest bezpośrednio ustawiane na wartość krzywej docelowej (σ_c = σ̂(ε), patrz krzywa docelowa w sekcji „Quast"); może to oznaczać zarówno zwiększenie, jak i redukcję w porównaniu z naprężeniem niemodyfikowanego modelu materiału bazowego.
• W zmodyfikowanym podejściu krzywa docelowa jest natomiast czysto addytywnie dodawana do naprężenia w betonie σ_c,Basis(ε) dostarczonego przez model materiału bazowego (np. model uszkodzeń).

Naprężenie w betonie może więc poprzez usztywnienie przy rozciąganiu być tylko zwiększane, nigdy redukowane. To addytywne postępowanie jest numerycznie stabilniejsze niż wymuszający wariant według Quasta, ponieważ nie prowadzi do nagłego skoku sztywności, gdy naprężenie materiału bazowego już przekracza krzywą docelową.

Implementacja w programie: Lokalne anizotropowe rozszerzenie usztywnienia przy rozciąganiu

Przy użyciu modelu uszkodzeń betonu usztywnienie przy rozciąganiu jest odwzorowane poprzez lokalne anizotropowe rozszerzenie usztywnienia przy rozciąganiu [4]. W tym celu na odpowiedź materiału bazowego betonu w każdym punkcie integracji betonu nakładane jest naprężenie rozciągające wynikające ze zbrojenia, którego przebieg docelowy jest wyznaczany w zależności od wyboru według podejścia Quasta lub według zmodyfikowanego podejścia Quasta. Korekta jest obliczana lokalnie (dla poszczególnych punktów integracji) i anizotropowo (oddzielnie w obu kierunkach głównych odkształceń); kąt między kierunkiem zbrojenia a danym kierunkiem głównym rozciągania jest przy tym jawnie uwzględniany.

Współczynnik aktywacji

W każdym punkcie integracji betonu wyznaczane są główne odkształcenia ε₁, ε₂ oraz związany z nimi kąt głównych odkształceń θ_p; tylko kierunki rozciągania są istotne dla usztywnienia przy rozciąganiu (patrz poniżej, współczynnik położenia). Każda warstwa zbrojenia j wnosi wkład do współczynnika aktywacji α_k kierunku głównego k poprzez trzy mnożne czynniki składowe:

• g_j (współczynnik pojemności): maleje ze wzrostem odkształcenia zbrojenia i osiąga zero przy osiągnięciu odkształcenia odpowiadającego granicy plastyczności zbrojenia; odkształcenie zbrojenia oraz odkształcenie uplastycznienia są przy tym każdorazowo przesunięte o odkształcenie rysy betonu (patrz poniżej, współczynnik pojemności).
• a_j,k (współczynnik kątowy): w anizotropowym modelu uszkodzeń cos²(Δθ) dla kierunku głównego 1 i sin²(Δθ) dla kierunku głównego 2, gdzie Δθ jest kątem między warstwą zbrojenia a kierunkiem głównym 1; suma obu współczynników wynosi zawsze 1. W izotropowym modelu uszkodzeń stosuje się zamiast tego opisaną powyżej projekcję opartą na odkształceniach, która dostarcza tę samą wartość dla obu kierunków głównych.
• p_j (współczynnik położenia): 1 wewnątrz strefy wpływu rozpatrywanej warstwy zbrojenia (odległość d_j ≤ odległość wpływu c_j, symetrycznie po obu stronach zbrojenia); poza tą strefą współczynnik nie zależy już od odległości, lecz od stosunku równoważnych odkształceń w warstwie zbrojenia i w rozpatrywanej warstwie betonu (patrz poniżej, współczynnik położenia).

Odkształcenie równoważne

We współczynnikach g_j i p_j odkształcenie wchodzi nie jako czyste odkształcenie pręta zbrojenia odpowiednio czyste odkształcenie betonu, lecz jako odkształcenie równoważne, które uwzględnia współczynnik Poissona μ betonu oraz stan odkształcenia w danym miejscu w kierunku zbrojenia:

Jest ono oceniane dwukrotnie: w miejscu warstwy zbrojenia j (ε_eq,s,j) oraz w rozpatrywanej warstwie betonu (ε_eq,c), każdorazowo w lokalnym układzie współrzędnych tej samej warstwy zbrojenia j. Przy tym ε_∥ jest odkształceniem w kierunku warstwy zbrojenia, a ε_⊥ odkształceniem prostopadłym do niej. Kierunki główne przekroju nie wchodzą tutaj; ε_∥ nie jest zatem zawsze większą z obu wartości. Dzięki temu degradacja pojemności podąża za faktycznym otwarciem betonu wzdłuż zbrojenia. Te odkształcenia równoważne wchodzą do wzoru na wkład współczynnika aktywacji.

Współczynnik pojemności

Współczynnik pojemności spada z 1 do 0, gdy odkształcenie równoważne zbrojenia rośnie od odkształcenia rysy ε_cr,R do odkształcenia odpowiadającego granicy plastyczności ε_y,j zbrojenia; odkształcenie zbrojenia oraz odkształcenie uplastycznienia są przy tym przesunięte o odkształcenie rysy betonu:

Jeśli ε_y,j ≤ ε_cr,R, to g_j = 0. Wykładnik n_VMB (wprowadzanie „Wykładnik paraboli współczynnika redukcji po pierwszej rysie") jest daną materiałową, która jest używana zarówno dla metody według Quasta, jak i dla metody według Quasta zmodyfikowanej i zawsze musi być podana. Odkształcenie rysy ε_cr,R jest przy metodzie według Quasta wprowadzaniem „Obliczeniowe odkształcenie rysy" (patrz sekcja sekcja „Quast"). Przy zmodyfikowanym podejściu według Quasta dla współczynnika pojemności przyjmuje się ε_cr,R = 0, przesunięcie nie występuje.

Współczynnik pojemności działa w kolejnych krokach obciążenia jak wartość uszkodzenia: Jeśli g_j raz zmalał, nie wzrasta ponownie w późniejszych krokach obciążenia. Wynik obliczenia wielokrokowego może być zatem mniejszy niż wartość ze wzoru dla odkształcenia aktualnego kroku obciążenia, ale nigdy większy.

Współczynnik położenia

Wewnątrz strefy wpływu warstwy zbrojenia, to znaczy dla warstw betonu w odległości d_j ≤ c_j od warstwy, obowiązuje p_j = 1; strefa leży symetrycznie po obu stronach zbrojenia. Przy tym d_j jest odległością rozpatrywanej warstwy betonu od warstwy zbrojenia j, a c_j odległością wpływu. Odległość wpływu jest równa odległości środka warstwy od najbliższej powierzchni przekroju, c_j = max(0, h/2 − |z_s,j|), z grubością przekroju h i położeniem z_s,j warstwy zbrojenia odniesionym do powierzchni środkowej, i jest wyznaczana osobno dla każdej warstwy zbrojenia. Nie jest to wprowadzona otulina betonowa: liczona jest do środka warstwy, a głębiej położone warstwy mają większą odległość wpływu. Jeśli warstwa leży w środku przekroju, to c_j = h/2, a p_j wynosi 1 w całym przekroju. W większej odległości od zbrojenia (d_j > c_j) współczynnik wynika ze stosunku odkształceń równoważnych w miejscu zbrojenia i w rozpatrywanej warstwie betonu, ograniczony do [0, 1]:

Ten przebieg nie jest stałą funkcją d_j/c_j: Oba odkształcenia równoważne zależą od aktualnego stanu odkształcenia, kształt zmienia się więc z obciążeniem. Grafika pokazuje go dla przykładowego liniowego przebiegu odkształceń w grubości przekroju.

Współczynnik położenia jest obliczany dla każdego punktu przekroju i każdej warstwy zbrojenia, również dla punktów na przeciwnej stronie przekroju. Czy w danym punkcie w ogóle działa usztywnienie przy rozciąganiu, decyduje niezależnie od tego osobne odkształcenie zastępcze: Tylko przy dodatnim odkształceniu zastępczym (rozciąganie) usztywnienie przy rozciąganiu może być aktywne dla danego kierunku głównego, przy zerze lub ściskaniu nigdy, niezależnie od wartości p_j. Odkształcenie zastępcze jest tworzone z odkształcenia modelu materiału bazowego w rozpatrywanym kierunku głównym, nałożone ze składową skorelowaną poprzez współczynnik Poissona na podstawie rzeczywistych głównych odkształceń. Nie jest ono odkształceniem równoważnym ε_eq,s,j ani ε_eq,c i nie zależy od żadnej konkretnej warstwy zbrojenia.

Wkłady wszystkich warstw zbrojenia są scalane poprzez normy p do dwóch współczynników kierunku głównego k: współczynnika geometrycznego a_k i scalonego współczynnika pojemności g_k. Wagi warstw zbrojenia wynoszą w_j = p_j ⋅ a_j,k:

Współczynnik pojemności nie jest więc uśredniany, lecz scalany z ważeniem tym samym wykładnikiem p co współczynnik geometryczny: Warstwy o większej wadze wchodzą wyraźnie silniej, i która warstwa jest w danym punkcie decydująca, może się dlatego zmieniać pomiędzy krokami obciążenia. Dopiero po scaleniu g_k jest ograniczane od dołu do 5 %, aby pojedyncza, już uplastyczniona, ale geometrycznie istotna warstwa zbrojenia nie zredukowała całkowicie do zera aktywacji w słabo obciążonej warstwie betonu. Dolna granica nie działa ani na poszczególne g_j, ani wewnątrz normy p. Współczynnik aktywacji kierunku głównego k wynika z obu współczynników i jest ograniczony do [0, 1]:

Bez dolnej granicy i bez ograniczenia do 1 iloczyn a_k ⋅ g_k jest równy normie p wkładów Δα_j,k ze wzoru na wkład współczynnika aktywacji.

Implementacja dla Quasta i Quasta zmodyfikowanego

Naprężenie docelowe w kierunku głównym k wynosi:

Do wyboru są dwie warianty leżącej u podstaw krzywej naprężeń docelowych σ̂(ε), których podstawy teoretyczne są opisane w poprzednich sekcjach. Obie krzywe nie zawierają redukcji przez współczynnik pojemności; działa ona wyłącznie poprzez g_j:

Implementacja dla Quasta

Przy pełnej aktywacji implementacja odpowiada opisanemu w sekcji „Quast" bezpośredniemu narzuceniu krzywej docelowej dla naprężenia w betonie. Ogólnie naprężenie w betonie w kierunku głównym k wynika jako ważone nałożenie naprężenia docelowego i naprężenia σ_c,Basis modelu materiału bazowego:

Przy a_k = 1 i g_k = 1 jest to bezpośrednie narzucenie krzywej docelowej, przy a_k = 0 naprężenie modelu materiału bazowego pozostaje niezmienione.

Implementacja dla Quasta zmodyfikowanego

Przy pełnej aktywacji implementacja odpowiada czysto addytywnemu dodatkowi z sekcji „Zmodyfikowane podejście według Quasta". Przy częściowej aktywacji dodatek wchodzi proporcjonalnie, odpowiadając czynnikom składowym współczynnika aktywacji, do naprężenia w betonie.

Granice metody