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Ann-Kathrin Dannwerth, B.Sc.

2025-01-23

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混凝土设计模块

基础理论

分析参数

设计规范

设计

结果

文档

直接变形计算

通过有效刚度法（ESM）

1. 理论背景说明

在混凝土设计中的变形分析中，采用一种适用于承受轴力和弯矩的二维结构及一维构件的解析方法。该方法基于在截面层面上确定有效刚度（有效刚度法），并考虑裂缝状态以及拉力刚化和简单长期效应（收缩和徐变）等影响。

1.1. 基本材料和几何假定

对于混凝土设计中的直接变形分析，采用线弹性受压行为以及直到达到抗拉强度前的线弹性行为。这些假定足以满足正常使用极限状态验算。若应力超过混凝土抗压强度，则按 EN 1992-1-1，第 7.3.4 节进行损伤发展。
计算基于一种简单的各向同性断裂力学模型，该模型分别针对两个配筋方向进行定义。根据 EN 1992-1-1，通过按第 7.4.3 节、公式 (7.18) 在未开裂状态（状态 I）与开裂状态（状态 II）之间插值，计算有效材料刚度矩阵。因此，钢筋混凝土被建模为正交各向异性材料。同时考虑了拉力刚化以及简单长期效应（收缩和徐变）。
材料刚度矩阵的计算适用于 2D-XY（u_z / φ_x / φ_y）和 3D 模型类型。对于 3D 模型，还会在刚度矩阵中考虑理想重心偏心的影响。

1.2. 内力

如上所述，刚度计算基于线弹性假定。内力沿与配筋方向 ф 正交的方向并映射到两个表面 s（上表面和下表面）。所得内力——弯矩 m_s,ф 和轴力 n_s,ф（扭矩通过变换被消除）——取决于：
(a) 模型类型；
(b) 计算方法；
(c) 判定准则。

1.3. 临界表面

为确定临界表面，将分别考察每个配筋方向 ф。应力状态在下表面（沿局部 +z 轴方向）和上表面（沿局部 -z 轴方向）进行分析。混凝土拉应力较大的表面被视为控制表面。临界表面上的内力称为 n_ф 和 m_ф。

变换到配筋方向 ф 的轴力 n_ф,s 对两个表面具有相同数值（n_ф = n_ф,上 = n_ф,下）。因此，轴力对临界表面的确定无关紧要；仅考虑弯矩以确定控制表面。弯矩 m_ф,s 的符号根据弯矩在相应表面上引起拉应力还是压应力来确定。临界表面即弯矩较大的表面（即受拉更大的一侧）。

在计算刚度时，仅考虑临界表面上的内力 n_ф 和 m_ф。此前，“下表面”一词指局部 +z 轴。以下，“下表面”则指该截面的控制侧。

1.4. 截面特性

截面特性分别针对两个配筋方向以及两个截面状态 c（开裂/未开裂）进行确定。对于状态 I（未开裂截面），假定混凝土在受拉时呈线弹性行为。对于状态 II（开裂截面），不考虑混凝土抗拉强度。

几何参数的计算对于状态 I 不依赖于内力，因此可以直接计算。对于状态 II，则通过迭代计算中性轴深度。出于数值原因，程序对两个控制表面（上、下）均采用最小配筋率 ρ_min = 10^-4，但仅在轴力分量为正时适用。这意味着在没有配筋时，将采用一个虚拟的最小配筋面积。如此小的数值对结果（刚度）没有明显影响。

在配筋方向 ф 和裂缝状态 c 下，计算得到的理想截面特性（相对于混凝土截面）为：
(a) 关于理想重心的惯性矩 I_c,ф
(b) 关于截面几何重心的惯性矩 I_0,c,ф
(c) 截面积 A_c,ф
(d) 理想重心偏心距 e_c,ф

1.5. 长期效应

收缩和徐变是混凝土的时间相关特性。根据 EN 1992-1-1，应分别考虑长期效应。

1.5.1. 徐变

徐变效应通过降低混凝土弹性模量 E_c 来考虑，其中采用按 EN 1992-1-1、公式 (7.20) 的有效徐变系数 ϕ_eff：

E_{c, eff} = \frac{E_{cm}}{1 + φ}

有效模量按照欧洲规范见 7.4.3 (5) 式7.20

1.5.2. 收缩

在按 EN 1992-1-1 进行挠度计算时，有两个方面会受到收缩效应的影响。

1.5.2.1. 材料刚度的降低
每个配筋方向 φ 的材料刚度通过所谓的收缩影响系数 k_sh,c,φ 进行降低。对于两个裂缝状态 c（开裂/未开裂），由自由收缩变形 ε_sh 确定收缩轴力 n_sh,c,φ 和弯矩 m_sh,c,φ：

n_{sh, ϕ} = - ε_{sh} \cdot E_{s} (a_{s 1} + a_{s 2})

m_{sh, ϕ} = n_{sh} \cdot e_{sh}

m_sh,φ	理想截面重心处收缩附加弯矩沿ф配筋方向
n_sh,φ	沿钢筋方向 ф 的收缩轴向力
a_S1	钢筋底部
a_S2	上层配筋
E_s	钢筋的弹性模量
ε_sh	收缩应变
e_sh	收缩力偏心距(状态 I 和状态 II)从理想截面重心

混凝土收缩引起的钢筋附加轴向力和附加弯矩

内力分析：N_sh 和 M_sh

图 1.1: 内力 n_sh,ф 和 m_sh,ф
利用这些由收缩产生的内力，计算分析点处的附加曲率 κ_sh,c,ф——不考虑周围模型的影响。随后收缩影响系数

k_{sh, c, φ} = (κ_{sh, c, φ} + κ_{φ}) / κ_{φ}

κ_ф	外部荷载引起的曲率，混凝土收缩效应方向与钢筋方向垂直。
κ_sh,c,ф	收缩引起的弯曲(以及钢筋布置)不受沿钢筋方向的徐变影响

受混凝土收缩引起的弯曲(与钢筋布置) - 不考虑沿钢筋方向混凝土的徐变

系数 k_sh,c,ф 限制在 k_sh,c,ф ∈ (1, 100) 范围内。因此，出于数值和物理原因，k_sh,c,ф 不得将刚度降低超过 100 倍。最小值 k_sh,c,ф = 1.0 表示当收缩与荷载引起的曲率 κ_d 方向相反时，收缩影响不予考虑。若收缩被停用，则系数 k_sh,c,ф = 1.0。
收缩对膜刚度的影响不予考虑。

1.5.2.2. 分配系数的计算
收缩的第二个影响涉及按 EN 1992-1-1、第 7.4.3 节、公式 (7.18) 计算分配系数（损伤参数） ζ。以下章节将详细说明分配系数。

1.6. 分配系数

分配系数 ζ_d 的计算以配筋方向 ф 表示。首先，程序在假定材料行为为线弹性的前提下计算最大混凝土拉应力 σ_max,ф。如果启用长期效应（徐变或收缩），则必须计算两次最大应力；否则仅计算一次。

短期计算: 检查荷载作用后是否立即出现裂缝。
长期计算: 考虑在所研究时间段结束时徐变或收缩对裂缝行为的影响。

计算步骤:
当启用徐变时: 计算短期几何参数和最大应力。
当启用收缩时: 只需重新计算短期应力。随后将最终最大应力 σ_max,ф 作为长期应力 σ_max,lt,ф 与短期应力 σ_max,st,ф 的最大值计算：

σ_{\max, lt, φ} = \frac{n_{φ} + n_{sh, φ}}{A_{I, φ}} + \frac{m_{φ} - n_{φ} \cdot (z_{I, φ} - h / 2) + m_{sh, I, φ}}{I_{I, φ} \cdot (h - z_{I, φ})}

σ_{\max, st, φ} = \frac{n_{φ}}{A_{I, st, φ}} + \frac{m_{φ} - n_{φ} \cdot (z_{I, st, φ} - h / 2)}{I_{II, st, φ} \cdot (h - z_{I, st, φ})}

σ_{\max, φ} = \max (σ_{\max, st, φ}, σ_{\max, lt, φ})

n_ф	由于外部荷载引起的轴向力
n_sh,ф	收缩引起的附加轴向力
m_ф	外荷载引起的弯矩
m_sh,I,ф	I 类收缩引起的附加弯矩
h	截面深度
z_I,ф	理想截面重心到状态 I 下受压混凝土表面的距离
A_I,ф	理想截面面积
I_I,ф	阶段 I 理想惯性矩
z_I,st,ф	理想截面的重心到压缩区混凝土表面的距离（配筋方向 ф，短期荷载）
A_I,st,φ	方向 ф 的理想截面面积在受短期荷载作用时的状态 I
I_I,st,ф	短期加载下沿配筋方向 f 的理想惯性矩

最终最大应力

收缩力对最大拉应力 σ_max,ф 的影响通过收缩产生的附加内力来考虑。分配系数 ζ_d,ф 的计算取决于在变形计算中是否按 EN 1992-1-1 考虑拉力刚化。

1.6.1. 考虑拉力刚化时的分配系数 ζ_d,ф

当 σ_{\max, ф} > f_{ctm} : ζ_{d, ϕ} = 1 - β \cdot {(\frac{fctm}{σ_{maxϕ}})}^{n}

当 σ_{\max, ф} \leq f_{ctm} : ζ_{d, ϕ} = 0

β	考虑荷载持续时间的参数
f_ctm	平均抗拉强度
n	= 2 针对 EN 1992-1-1

考虑拉伸刚化的分配系数 ζ

1.6.2. 不考虑拉力刚化时的分配系数 ζ_d,ф

1.6.3. 裂缝状态识别

裂缝状态识别可在正常使用极限状态配置（Serviceability Configuration）中设置。可用选项如下：
(a) 裂缝状态根据相应荷载计算；
(b) 裂缝状态基于正常使用极限状态设计情况的相应特征组合（CO）；
(c) 裂缝状态作为所有正常使用极限状态设计情况的包络确定；
(d) 裂缝状态与荷载无关。

正常使用极限状态配置 | 裂缝状态检测

图 1.2: 正常使用极限状态配置
如果选择裂缝状态根据相应荷载计算选项，则裂缝状态（分配系数 ζ_d）仅根据当前荷载（荷载组合）计算。
如果选择裂缝状态基于正常使用极限状态设计情况的相应特征组合（CO）选项，则分配系数 ζ_d 按所有相应荷载中的最大值计算。相应荷载可在荷载组合定义中设置。

对应的荷载组合

图 1.3: 相应荷载
如果选择裂缝状态作为所有正常使用极限状态设计情况的包络确定选项，则分配系数 ζ_d 作为所有设计情况中的最大值计算。如果选择裂缝状态与荷载无关选项，则分配系数始终为 1.0。

1.6.4. 设计情况

一般情况下，挠度按准永久荷载计算。但也可以选择所需的设计情况（在正常使用极限状态配置中，选项“用户定义分配设计情况类型”），以便计算挠度。
可选择以下正常使用极限状态设计情况类型：
- 准永久，
- 经常，
- 特征。
每种类型都可以设置一个挠度限值（见图 1.2）。此外，所需设计情况也会在混凝土设计中进行定义。

Design Settings for Concrete Design

图 1.4: 混凝土设计中的设计情况设置
对于裂缝状态识别（尤其是在选择从相应荷载或从所有正常使用极限状态设计情况中识别时），混凝土设计中的设置至关重要。
换句话说：
- 如果某个设计情况在正常使用极限状态配置中被停用，但在混凝土设计设置中被启用，则会考虑该设计情况。
- 如果某个设计情况在正常使用极限状态配置中被启用，但在混凝土设计设置中被停用，则不会考虑该设计情况。

1.7. 用于变形分析的截面特性

在用于变形分析的材料刚度矩阵 D 中，程序需要各配筋方向、取决于裂缝状态的截面特性。这些为：
(a) 关于理想重心的惯性矩 I_ф；
(b) 关于截面几何重心的惯性矩 I_0,c；
(c) 理想截面积 A_ф；
(d) 理想重心相对于几何重心的偏心距 e_ф。
通过按 EN 1992-1-1、公式 (7.18) 在开裂与未开裂状态之间插值，计算平均应变 ε_ф 和平均曲率 κ_ф：

ε_{ϕ} = ζ_{d, ϕ} \cdot ε_{II, ϕ} + (1 - ζ_{d, ϕ}) \cdot ε_{I, ϕ}

κ_{ϕ} = ζ_{d, ϕ} \cdot κ_{II, ϕ} + (1 - ζ_{d, ϕ}) \cdot κ_{I, ϕ}

平均应变和平均曲率

未开裂与开裂状态 c（状态 I 和 II）下的变形按下式计算：

ε_{c, ϕ} = \frac{n_{ϕ}}{E \cdot A_{c, ϕ}}

κ_{c, ϕ} = k_{sh, c, ϕ} \cdot \frac{m_{ϕ} - n_{ϕ} \cdot e_{c, ϕ}}{E \cdot I_{c, ϕ}}

未开裂和开裂状态下的变形 c

理想截面特性按截面的理想重心计算。收缩的影响通过系数 k_sh,c,ф 考虑：

A_{f, ϕ} = \frac{A_{I, ϕ} \cdot A_{II, ϕ}}{ζ_{d, ϕ} \cdot A_{I, ϕ} + (1 - ζ_{d, ϕ}) \cdot A_{II, ϕ}}

I_{f, ϕ} = \frac{I_{I, ϕ} \cdot I_{III, ϕ}}{ζ_{d, ϕ} \cdot I_{II, ϕ} \cdot k_{sh, II, ϕ} + (1 - ζ_{d, ϕ}) \cdot I_{III, ϕ} \cdot k_{sh, I, ϕ}}

受收缩影响的理想截面特性

如果轴力不为零，则考虑偏心距后，按截面几何重心计算截面特性：

e_{f, ϕ} = \frac{m_{ϕ} - κ_{ϕ} \cdot E \cdot I_{ϕ}}{n_{ϕ}}

I_{0, f, ϕ} = I_{ϕ} + A_{ϕ} \cdot e_{ϕ}^{2}

利用偏心与截面几何中心相关的截面属性

1.8. 杆件的材料刚度矩阵 D

轴向刚度 EA 和弯曲刚度 EI_y,0 仅在配筋方向 ф = 1（杆件方向）上按下式计算：

{EA}_{f} = E_{c, eff} \cdot A_{f}

{EI}_{y, 0, f} = E_{c, eff} \cdot I_{y, 0, f}

轴向刚度和抗弯刚度

1.9. 面的材料刚度矩阵 D

在计算截面特性时，根据下式在两个方向上分别降低初始泊松比 ν_init：

ν_{ϕ} = (1 - ζ_{d, ϕ}) \cdot ν_{init}

截面属性

材料刚度矩阵按正交各向异性板壳理论计算。

1.9.1. 弯曲刚度 - 板和壳

配筋方向 ф 的弯曲刚度确定如下：
壳：

粘滞风阻尼系数

d	= {1,2} 根据方向

壳体在配筋方向的抗弯刚度 ф

板：

D_{d, d} = \frac{I_{f, d} \cdot E_{c, eff}}{1 - ν_{1} \cdot ν_{2}}

d	= {1,2} 按照方向

板的钢筋方向的抗弯刚度 ф

材料刚度矩阵的非对角项对于板和壳相同：

D_{1, 2} = D_{2, 1} = \sqrt{ν_{1} \cdot ν_{2} \cdot D_{1, 1} \cdot D_{2, 2}}

板壳材料刚度矩阵的非对角线成分

对于壳，由惯性矩引起的弯曲刚度差异通过材料刚度矩阵中的偏心分量进行补偿。

1.9.2. 板和壳的扭转刚度

板和壳的刚度矩阵项按如下方式计算：

D_{3, 3} = \frac{1 - \sqrt{v_{1} \cdot ν_{2}}}{2} \cdot \sqrt{D_{1, 1} \cdot D_{2, 2}}

板和壳的刚度矩阵

1.9.3. 板和壳的剪切刚度

在变形分析中，剪切刚度矩阵项不予折减。它们由理想截面的剪切模量 G 和截面高度 h 确定。其表达式对壳和板相同：

D_{3 + d, 3 + d} = 5 / 6 \cdot G \cdot h

d	= {1,2} 根据方向

剪切刚度矩阵

1.9.4. 壳的膜刚度

配筋方向 ф 的膜刚度按如下方式计算：

D_{5 + d, 5 + d} = \frac{A_{f, d} \cdot E_{c, eff}}{1 - ν_{1} \cdot ν_{2}}

d	= {1,2} 按方向

配筋方向膜刚度

材料刚度矩阵的非对角部分由下式确定：

D_{6, 7} = D_{7, 6} = \sqrt{ν_{1} \cdot ν_{2} \cdot D_{6, 6} \cdot D_{7, 7}}

材料刚度矩阵的非对角线部分

剪切刚度分量为：

D_{8, 8} = G \cdot h

材料刚度矩阵的剪切刚度部分

1.9.5. 偏心距 – 壳

配筋方向 ф 中关于重心（理想截面）偏心距的刚度矩阵项按如下方式计算：

D_{d, d + 5} = D_{d + 5, d} = D_{5 + d, 5 + d} \cdot e_{f, d}

d	= {1,2} 按照方向

钢筋方向的理想截面的重心偏心刚度矩阵的元素

材料刚度矩阵的非对角部分由下式确定：

D_{1, 7} = \frac{\sqrt{ν_{1} \cdot ν_{2}}}{2} \cdot (e_{f, 1} + e_{f, 2}) \cdot \sqrt{D_{6, 6} \cdot D_{7, 7}}

材料刚度矩阵的非对角分量

扭转的偏心分量按如下方式计算：

D_{3, 8} = \frac{1}{2} \cdot G \cdot h \cdot (e_{f, 1} + e_{f, 2})

扭转作用的偏心分量

1.9.6. 正定性检验

通过采用修正的（考虑零块）SYLVESTER 准则对材料刚度矩阵 D 的正定性进行检验。
如果刚度矩阵 D 不是正定的，则材料刚度矩阵的非对角项将逐步置零。极端情况下，仅保留主对角线上的正分量。

1.10. 挠度计算

通过预先计算的刚度矩阵 D 确定对象（杆件或面）的挠度。设计比由挠度和限值计算得出。

1.10.1. 相应荷载

如果将某个相应荷载分配给主荷载，则最终挠度按各个值之和计算。主荷载组合在不考虑时间相关特性（徐变和收缩）时计算，因此应为短期（经常或特征）荷载。相应荷载组合则始终按时间相关特性计算，因此应为长期（准永久）荷载。如果分配了多个相应荷载，则取挠度值最大的那个。
总挠度按如下计算：

u_{z} = u_{z, tot, QP, lt} + (u_{z, tot, st} - u_{z, tot, QP, st})

u_z,tot,QP,lt	准永久荷载的长期挠度(考虑徐变和收缩)
u_z,tot,QP,st	拟永久荷载的短期挠度（不考虑徐变和收缩）
u_z,tot,st	当前(频率或特征)荷载的短期挠度(无徐变和收缩)

总挠度

1.11 RFEM 5 与 RFEM 6 的差异

混凝土压区高度的计算
在 RFEM 5 中，混凝土压区高度基于净截面高度计算，而在 RFEM 6 中则使用毛截面高度。此方法确保了更快、更清晰的计算，同时也使结果更易于追溯。通过这种简化，计算精度仍保持在较高水平，因此在实际应用中结果不会有显著差异。RFEM 6 因而在保持精确结果的同时提供了更高效的解决方案。

钢筋分布系数
描述截面内应力分布的分布系数在 RFEM 5 中仅基于长期作用应力确定。这意味着只考虑了长时间作用的应力。在 RFEM 6 中，计算方法得到了进一步发展，现在同时考虑长期应力和短期应力中的最大值。这一更改可更真实地反映截面内的实际应力状态。

上级章节

变形限制

进一步链接

Modell eines Stahlbetonbalkens, der durch Kriechen und Schwinden beeinflusst wird

考虑徐变和收缩的钢筋混凝土梁的直接变形计算

钢筋混凝土构件变形中的分布系数 ξ